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第一章直角三角形的边角关系1.1锐角三角函数第1课时正切知识要点基础练知识点1正切的意义1.如图,已知在RtABC中,C=90,AB=5,AC=2,则tan A的值为(B)A.2B.12C.55D.2552.如图,在平面直角坐标系中,直线OA经过点A(3,4),则tan 的值是(D)A.35B.45C.34D.43【变式拓展】(义乌中考)如图,点A(t,3)在第一象限,OA与x轴所夹的锐角为,tan =32,则t的值是(C)A.1B.1.5C.2D.3知识点2坡度(坡比)与坡角3.(丽水中考)如图,河坝横断面迎水坡AB的坡比为13(坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比),坝高BC=3 m,则坡面AB的长度是(B)A.9 mB.6 mC.63 mD.33 m4.甲坡面的坡度为13,乙坡面的坡度为14,则甲坡面比较陡.知识点3求直角三角形的边长5.如图,在ABC中,C=90,AC=2,tan A=3,则AB=210.6.如图,在RtABC中,BAC=90,ADBC于点D,若tan B=23,求BDCD的值.解:由条件知B=CAD,tanCAD=tan B=23,又tan B=ADBD,tanCAD=CDAD,ADBDCDAD=CDBD=49,BDCD=94.综合能力提升练7.如图,在网格中,小正方形的边长均为1,点A,B,C都在格点上,则ABC的正切值是(D)A.2B.255C.55D.128.如图,延长RtABC的斜边AB到点D,使BD=AB,连接CD,若tanBCD=13,则tan A=(A)A.32B.1C.13D.239.在RtABC中,C=90,则tan Atan B的值一定(D)A.小于1B.不小于1C.大于1D.等于110.(日照中考)如图,在RtBAD中,延长斜边BD到点C,使DC=12BD,连接AC,若tan B=53,则tanCAD的值为(D)A.33B.35C.13D.1511.如图,在ABC中,ACB=90,CDAB于点D,若CDAC=23,则tan BCD的值是(A)A.255B.23C.21313D.21312.(广州中考)如图,在RtABC中,C=90,BC=15,tan A=158,则AB=17.13.如图,在边长相同的小正方形网格中,点A,B,C,D都在这些小正方形的顶点上,AB,CD相交于点P,则APPB的值为3,tan APD的值为2.提示:取CD的中点E,连接BE,由正方形的性质得BE=DE,由BDAC得BDPACP,所以APPB=PCDP=ACBD=3,所以DP=PE=12BE,所以tan APD=tan BPE=2.14.如图,四边形ABCD,A1B1BA,A5B5B4A4都是边长为1的小正方形.已知ACB=a,A1CB1=a1,A5CB5=a5.求tan atan a1+tan a1tan a2+tan a2tan a3+tan a3tan a4+tan a4tan a5的值.解:根据锐角三角函数的定义,得tan a=ABBC=1,tan a1=A1B1CB1=12,tan a2=A2B2CB2=13,tan a5=A5B5CB5=16,则tan atan a1+tan a1tan a2+tan a2tan a3+tan a3tan a4+tan a4tan a5=112+1213+1314+1415+1516=1-12+12-13+13-14+14-15+15-16=1-16=56.15.(无锡中考)在如图的正方形方格纸中,每个小的四边形都是相同的正方形,点A,B,C,D都在格点处,AB与CD相交于点O,求tanBOD的值.解:平移AB到AB交CD于点O,连接BM,如图所示.设每个小正方形的边长为a,则OB2=(2a)2+(4a)2=20a2,OM2=a2+a2=2a2,BM2=(3a)2+(3a)2=18a2.OB2=OM2+BM2,OBM是直角三角形,此时OM=2a,BM=32a,tanBOD=tanBOM=BMOM=32a2a=3.拓展探究突破练16.如图,在直角坐标系中放入矩形纸片ABCO.将纸片翻折后,点B恰好落在x轴上,记为点B,折痕为CE,已知tanOBC=34,CE=510,求点E的坐标.解:在RtBOC中,根据tanOBC=OCOB=34,设OC=3x,则OB=4x,由勾股定理得BC=OC2+OB2=5x,根据矩形的性质可知OA=BC=BC=5x,AB=x,由折叠的性质可证BOCEAB,OBAE=OCAB=BCBE,即4xAE=3xx=5xBE,AE=43x,BE=53x,在RtBCE中,由勾股定理得BC2+BE2=CE2,即(5x)2+53x2=(510)2,解得x=3,OA=5x=15,AE=43x=4,点E的坐标为(15,4).第2课时正弦、余弦知识要点基础练知识点1正弦的定义1.在下列网格中,小正方形的边长均为1,点A,B,O都在格点上,则A的正弦值是(C)A.13B.12C.55D.1010【变式拓展】在正方形网格中,ABC的位置如图所示,则sin A的值为(D)A.13B.14C.255D.10102.如图,在ABC中,C=90,BC=4 cm,AB的垂直平分线MN交AC于点D,且CDDA=35,则sin A的值是(B)A.45B.55C.255D.353.在ABC中,已知AB=AC=1,BC=2,则sin B=22.知识点2余弦的定义4.(连云港中考)在RtABC中,C=90,若sin A=513,则cos A的值是(D)A.512B.813C.23D.12135.在RtABC中,C=90,cos B=45,则ACBCAB=345.知识点3正弦、余弦的简单应用6.设为锐角,且满足sin =3cos ,则sin cos 等于(D)A.16B.15C.29D.3107.如图,在平面直角坐标系内,O是原点,点A的坐标是(10,0),点B在第一象限内,BO=5,sinBOA=35.(1)求点B的坐标;(2)求cosBAO的值.解:过点B作BCx轴于点C.(1)由sinBOA=35得BCOB=35,BC=3,由勾股定理可得OC=4,点B的坐标是(4,3).(2)OC=4,AC=6,由勾股定理可得AB=35,cosBAO=ACAB=635=255.综合能力提升练8.如图,在RtABC中,C=90,AM是BC边上的中线,sin CAM=35,则tan B的值为(B)A.32B.23C.56D.439.如图,在RtABC中,ACB=90,BC=3,AC=15,AB的垂直平分线ED交BC的延长线于点D,垂足为E,连接AD,则sin CAD=(A)A.14B.13C.154D.151510.如图,在矩形ABCD中,AB=8,BC=12,E是BC的中点,连接AE,将ABE沿AE折叠,点B落在点F处,连接FC,则sinECF=(D)A.34B.43C.35D.4511.(宜昌中考)ABC在网格中的位置如图所示(每个小正方形的边长为1),ADBC于点D,下列四个选项中,错误的是(C)A.sin =cos B.tan C=2C.sin =cos D.tan =112.(杭州中考)在RtABC中,C=90,AB=2BC,下列结论:sin A=32;cos B=12;tan A=33;tan B=3,其中正确的是.(只需填上正确结论的序号)13.如图,在ABC中,AB=9,BC=6,ABC的面积等于9,求sin B.解:过点C作CDAB于点D,则由条件知12ABCD=9,AB=9,CD=2,sin B=CDBC=26=13.14.如图,在ABC中,AD是BC边上的高,E为AC的中点,BC=14,AD=12,sin B=45,求:(1)线段DC的长;(2)tanEDC的值.解:(1)在RtABD中,sin B=ADAB=12AB=45,AB=15.BD=AB2-AD2=152-122=9,CD=BC-BD=14-9=5.(2)在RtACD中,E为AC的中点,ED=EC,EDC=C,tanEDC=tan C=ADDC=125.15.如图,在正方形ABCD中,M是AD的中点,BE=3AE,试求sin ECM的值.解:设AE=x,则BE=3x,BC=4x,AM=2x,CD=4x,EC=(3x)2+(4x)2=5x,EM=x2+(2x)2=5x,CM=(2x)2+(4x)2=25x,EM2+CM2=EC2,CEM是直角三角形,sin ECM=EMEC=55.拓展探究突破练16.如图,在ABC中,AD是BC边上的高,tan B=cosDAC.(1)求证:AC=BD;(2)若sin C=1213,BC=12,求AD的长.解:(1)AD是BC边上的高,ABD和ACD都是直角三角形,tan B=cosDAC,ADBD=ADAC,AC=BD.(2)sin C=ADAC=1213,设AD=12k,AC=13k,则BD=13k,由勾股定理可求得CD=AC2-AD2=5k,BC=18k=12,解得k=23,AD=12k=8.
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