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习题课,三、幂级数和函数的求法,四、函数的幂级数和傅式级数展开法,一、数项级数的审敛法,二、求幂级数收敛域的方法,(在收敛域内进行),基本问题：判别敛散；,求收敛域；,求和函数；,级数展开.,为傅里叶级数.,为傅氏系数)时,时为数项级数;,时为幂级数;,一、数项级数的审敛法,1.利用部分和数列的极限判别级数的敛散性,2.正项级数审敛法,必要条件,不满足,发散,满足,比值审敛法,根值审敛法,收敛,发散,不定,比较审敛法,用它法判别,积分审敛法,部分和极限,3.任意项级数审敛法,为收敛级数,Leibniz审敛法:若,且,则交错级数,收敛,概念:,且余项,例1.若级数,均收敛,且,证明级数,收敛.,证:,则由题设,收敛,收敛,收敛,例2.判别下列级数的敛散性:,提示:(1),据比较审敛法的极限形式,原级数发散.,原级数发散,故原级数收敛,发散,收敛,用洛必达法则,原级数发散,时收敛;,时,为p级数,时收敛;,时发散.,时发散.,例3.设正项级数,和,也收敛.,法1由题设,根据比较审敛法的极限形式知结论正确.,都收敛,证明级数,法2因,故存在N0,当nN时,从而,再利用比较法可得结论,例4.设级数,收敛,且,是否也收敛？说明理由.,但对任意项级数却不一定收敛.,问级数,提示:对正项级数,由比较判别法可知,级数,收敛,收敛,级数,发散.,例如,取,例5.讨论下列级数的绝对收敛性与条件收敛性:,提示:(1),p1时,绝对收敛;,0p1时,条件收敛;,p0时,发散.,(2),故原级数绝对收敛.,因,单调递减,且,但对,所以原级数仅条件收敛.,由Leibniz审敛法知级数收敛;,因,所以原级数绝对收敛.,二、求幂级数收敛域的方法,标准形式幂级数:先求收敛半径R:,再讨论,非标准形式幂级数,通过换元转化为标准形式,直接用比值法或根值法,处的敛散性.,求下列级数的敛散域:,练习:,(自证),解:,当,因此级数在端点发散,时,时原级数收敛.,故收敛域为,解:因,故收敛域为,级数收敛;,一般项,不趋于0,级数发散;,例.,解:分别考虑偶次幂与奇次幂组成的级数,极限不存在,原级数=,其收敛半径,注意:此题,求部分和式极限,三、幂级数和函数的求法,求和,逐项求导或求积分,逐项求导或求积分,对和函数求积或求导,直接求和:直接变换,间接求和:转化成幂级数求和,再代值,求部分和等,初等变换法:分解、套用公式,（在收敛区间内）,数项级数求和,例3.求幂级数,易求出级数的收敛域为,练习:,解:原式=,的和.,求级数,四、函数的幂级数和傅式级数展开法,直接展开法,间接展开法,练习:,1)将函数,展开成x的幂级数.,利用已知展式的函数及幂级数性质,利用泰勒公式,解:,1.函数的幂级数展开法,2)设,将f(x)展开成,x的幂级数,的和.(2001考研),解:,于是,并求级数,例1,解,补充,例2,解,例,解,两边逐项积分,例4,解,对于级数（1）,例5,解,例7,解,例8,解,例9,分析,例10,解,例11,解,和函数的图形为,例12,解,由上式得,例13,解,
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