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6.3等比数列及其前n项和,知识梳理,考点自测,1.等比数列的定义一般地,如果一个数列从起,每一项与它的前一项的比等于常数,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的,公比通常用字母q(q0)表示.2.等比数列的通项公式设等比数列an的首项为a1,公比为q,则它的通项an=.3.等比中项如果成等比数列,那么G叫做a与b的等比中项,即G是a与b的等比中项a,G,b成等比数列.4.等比数列的前n项和公式等比数列an的公比为q(q0),其前n项和为Sn,当q=1时,Sn=na1;,第二项,同一个,公比,a1qn-1,a,G,b,G2=ab,知识梳理,考点自测,知识梳理,考点自测,1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”.(1)满足an+1=qan(nN*,q为常数)的数列an为等比数列.()(2)G为a,b的等比中项G2=ab.()(3)等比数列中不存在数值为0的项.()(4)如果an为等比数列,bn=a2n-1+a2n,那么数列bn也是等比数列.()(5)如果数列an为等比数列,那么数列lnan是等差数列.()(6)若数列an的通项公式是an=an,则其前n项和为(),知识梳理,考点自测,2.已知数列an中,a1=3,an+1-3an=0,bn=log3an,则数列bn的通项公式bn=()A.3n+1B.3nC.nD.n-13.已知an为等差数列,公差为1,且a5是a3与a11的等比中项,Sn是an的前n项和,则S12的值为()A.21B.42C.63D.54,C,解析:由an+1-3an=0,得an+1=3an,又a1=3,数列an是以3为首项,以3为公比的等比数列,则an=3n,bn=log3an=n.故选C.,D,知识梳理,考点自测,4.(2017全国)我国古代数学名著算法统宗中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯()A.1盏B.3盏C.5盏D.9盏,B,解析:设塔的顶层共有x盏灯,则各层的灯数构成一个公比为2的等比数列,由,可得x=3,故选B.,5.(2017北京朝阳二模)等比数列an的前n项和为Sn,已知a1=2,a4=-2,则an的通项公式an=.,2(-1)n-1,解析:a1=2,a4=-2,则a4=-2=a1q3,q3=-1,q=-1,即an=2(-1)n-1.,考点一,考点二,考点三,考点四,等比数列的基本运算例1(1)设an是由正数组成的等比数列,Sn为其前n项和.已知a2a4=1,S3=7,则S5等于(),(2)(2017陕西咸阳二模)在等比数列an中,已知a3,a7是方程x2-6x+1=0的两根,则a5=()A.1B.-1C.1D.3(3)(2017全国)设等比数列an满足a1+a2=-1,a1-a3=-3,则a4=.,B,A,-8,考点一,考点二,考点三,考点四,考点一,考点二,考点三,考点四,思考解决等比数列基本运算问题的常见思想方法有哪些?解题心得解决等比数列有关问题的常见思想方法:(1)方程思想:等比数列中有五个量a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”,通过列方程(组)求关键量a1和q,问题可迎刃而解.(2)分类讨论思想:因为等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论,所以当某一参数为公比进行求和时,就要对参数是否为1进行分类求和.(3)整体思想:应用等比数列前n项和公式时,常把qn或当成整体进行求解.,考点一,考点二,考点三,考点四,对点训练1(1)(2017山西太原二模,文4)已知公比q1的等比数列an前n项和Sn,a1=1,S3=3a3,则S5=(),(2)(2017安徽安庆二模)在等比数列an中,a3-3a2=2,且5a4为12a3和2a5的等差中项,则an的公比等于()A.3B.2或3C.2D.6,D,C,考点一,考点二,考点三,考点四,等比数列的判定与证明例2已知数列an的前n项和Sn=1+an,其中0.(1)证明an是等比数列,并求其通项公式;(2)若,求.,考点一,考点二,考点三,考点四,考点一,考点二,考点三,考点四,思考判断或证明一个数列是等比数列有哪些方法?解题心得1.证明数列an是等比数列常用的方法:,(3)通项公式法,若数列通项公式可写成an=cqn-1(c,q均是不为0的常数,nN*),则an是等比数列.2.若判断一个数列不是等比数列,则只要证明存在连续三项不成等比数列即可.,考点一,考点二,考点三,考点四,对点训练2(2017吉林市模拟)已知数列an中,a1=1,anan+1=,记T2n为an的前2n项的和,bn=a2n+a2n-1,nN*.(1)判断数列bn是否为等比数列,并求出bn;(2)求T2n.,考点一,考点二,考点三,考点四,考点一,考点二,考点三,考点四,等比数列性质的应用(多考向)考向1等比数列项的性质的应用,B,A,考点一,考点二,考点三,考点四,思考经常用等比数列的哪些性质简化解题过程?,考点一,考点二,考点三,考点四,考向2等比数列前n项和的性质的应用例4(1)设等比数列an的前n项和为Sn.若S2=3,S4=15,则S6=()A.31B.32C.63D.64(2)在公比为正数的等比数列an中,a1+a2=2,a3+a4=8,则S8等于()A.21B.42C.135D.170,C,D,考点一,考点二,考点三,考点四,解析:(1)S2=3,S4=15,由等比数列前n项和的性质,得S2,S4-S2,S6-S4成等比数列,(S4-S2)2=S2(S6-S4),即(15-3)2=3(S6-15),解得S6=63,故选C.(2)解法一:S8=(a1+a2)+(a3+a4)+(a5+a6)+(a7+a8)=2+8+32+128=170.,考点一,考点二,考点三,考点四,思考本题应用什么性质求解比较简便?解题心得1.在解答等比数列的有关问题时,为简化解题过程常常利用等比数列项的如下性质:(1)通项公式的推广:an=amqn-m;(2)等比中项的推广与变形:=aman(m+n=2p)及akal=aman(k+l=m+n).2.对已知条件为等比数列的前几项和,求其前多少项和的问题,应用公比不为-1的等比数列前n项和的性质:Sn,S2n-Sn,S3n-S2n仍成等比数列比较简便.,考点一,考点二,考点三,考点四,对点训练3(1)(2017广东广州综合测试)已知数列an为等比数列,若a4+a6=10,则a7(a1+2a3)+a3a9=()A.10B.20C.100D.200(2)(2017江西宜春二模)各项均为正数的等比数列an的前n项和为Sn,若S4=10,S12=130,则S8=()A.-30B.40C.40或-30D.40或-50,C,B,=(a4+a6)2=102=100.(2)由等比数列的性质,知S4,S8-S4,S12-S8成等比数列,则(S8-10)2=10(130-S8),整理可得(S8+30)(S8-40)=0,故S8=40.,考点一,考点二,考点三,考点四,等差数列与等比数列的综合问题例5(2017全国,文17)已知等差数列an的前n项和为Sn,等比数列bn的前n项和为Tn,a1=-1,b1=1,a2+b2=2.(1)若a3+b3=5,求bn的通项公式;(2)若T3=21,求S3.,解设an的公差为d,bn的公比为q,则an=-1+(n-1)d,bn=qn-1.由a2+b2=2得d+q=3.(1)由a3+b3=5,得2d+q2=6.,因此bn的通项公式为bn=2n-1.(2)由b1=1,T3=21得q2+q-20=0,解得q=-5或q=4.当q=-5时,由得d=8,则S3=21.当q=4时,由得d=-1,则S3=-6.,考点一,考点二,考点三,考点四,思考解决等差数列、等比数列的综合问题的基本思路是怎样的?解题心得等差数列和等比数列的综合问题,涉及的知识面很宽,题目的变化也很多,但是万变不离其宗,只要抓住基本量a1,d(q)充分运用方程、函数、转化等数学思想方法,合理调用相关知识,就不难解决这类问题.,考点一,考点二,考点三,考点四,对点训练4(2017湖南邵阳一模,文17)在等差数列an中,a2=1,a5=4.(1)求数列an的通项公式an;(2)设,求数列bn的前n项和Sn.,解(1)由题意知,a5-a2=3d=3,d=1,an=n-1(nN*).(2)由(1)得bn=2n-1,数列bn是以1为首项,公比为2的等比数列,考点一,考点二,考点三,考点四,1.等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题,数列中有五个量a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”,通过列方程(组)便可迎刃而解.2.判定等比数列的方法(1)定义法:(q是不为零的常数,nN*)an是等比数列.(2)通项公式法:an=cqn-1(c,q均是不为零的常数,nN*)an是等比数列.(3)等比中项法:=anan+2(anan+1an+20,nN*)an是等比数列.3.求解等比数列问题常用的数学思想(1)方程思想:如求等比数列中的基本量;(2)分类讨论思想:如求和时要分q=1和q1两种情况讨论,判断单调性时对a1与q分类讨论.,考点一,考点二,考点三,考点四,1.在等比数列中,易忽视每一项与公比都不为0.2.在求等比数列的前n项和时,易忽略q=1这一特殊情形.,
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