2019年高考数学真题分类汇编 5.3 解三角形 文.doc

2019年高考数学真题分类汇编 5.3 解三角形 文考点一正、余弦定理1.(xx江西,5,5分)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.若3a=2b,则的值为()A.- B. C.1 D.答案D2.(xx北京,12,5分)在ABC中,a=1,b=2,cos C=,则c=;sin A=.答案2;3.(xx湖北,13,5分)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知A=,a=1,b=,则B=.答案或4.(xx福建,14,4分)在ABC中,A=60,AC=2,BC=,则AB等于.答案15.(xx陕西,16,12分)ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.(1)若a,b,c成等差数列,证明:sin A+sin C=2sin(A+C);(2)若a,b,c成等比数列,且c=2a,求cos B的值.解析(1)证明:a,b,c成等差数列,a+c=2b.由正弦定理得sin A+sin C=2sin B.sin B=sin-(A+C)=sin(A+C),sin A+sin C=2sin(A+C).(2)由题设有b2=ac,c=2a,b=a,由余弦定理得cos B=.6.(xx山东,17,12分)ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a=3,cos A=,B=A+.(1)求b的值;(2)求ABC的面积.解析(1)在ABC中,由题意知,sin A=,因为B=A+,所以sin B=sin=cos A=.由正弦定理可得b=3.(2)由B=A+得cos B=cos=-sin A=-.由A+B+C=,得C=-(A+B).所以sin C=sin-(A+B)=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B=+=.因此ABC的面积S=absin C=33=.7.(xx重庆,18,13分)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a+b+c=8.(1)若a=2,b=,求cos C的值;(2)若sin Acos2+sin Bcos2=2sin C,且ABC的面积S=sin C,求a和b的值.解析(1)由题意可知c=8-(a+b)=.由余弦定理得cos C=-.(2)由sin Acos2+sin Bcos2=2sin C可得:sin A+sin B=2sin C,化简得sin A+sin Acos B+sin B+sin Bcos A=4sin C.因为sin Acos B+cos Asin B=sin(A+B)=sin C,所以sin A+sin B=3sin C.由正弦定理可知a+b=3c.又因为a+b+c=8,所以a+b=6.由于S=absin C=sin C,所以ab=9,从而a2-6a+9=0,解得a=3,b=3.8.(xx大纲全国,18,12分)ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知3acos C=2ccos A,tan A=,求B.解析由题设和正弦定理得3sin Acos C=2sin Ccos A.故3tan Acos C=2sin C,因为tan A=,所以cos C=2sin C,tan C=.(6分)所以tan B=tan180-(A+C)=-tan(A+C)=(10分)=-1,即B=135.(12分)考点二解三角形及其应用9.(xx四川,8,5分)如图,从气球A上测得正前方的河流的两岸B,C的俯角分别为75,30,此时气球的高是60 m,则河流的宽度BC等于()A.240(-1)mB.180(-1)mC.120(-1)mD.30(+1)m答案C10.(xx课标,16,5分)如图,为测量山高MN,选择A和另一座山的山顶C为测量观测点.从A点测得M点的仰角MAN=60,C点的仰角CAB=45以及MAC=75;从C点测得MCA=60.已知山高BC=100 m,则山高MN=m.答案15011.(xx安徽,16,12分)设ABC的内角A,B,C所对边的长分别是a,b,c,且b=3,c=1,ABC的面积为,求cos A与a的值.解析由三角形面积公式,得31sin A=,故sin A=.因为sin2A+cos2A=1,所以cos A=.当cos A=时,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A=32+12-213=8,所以a=2.当cos A=-时,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A=32+12-213=12,所以a=2.12.(xx课标,17,12分)四边形ABCD的内角A与C互补,AB=1,BC=3,CD=DA=2.(1)求C和BD;(2)求四边形ABCD的面积.解析(1)由题设及余弦定理得BD2=BC2+CD2-2BCCDcos C=13-12cos C,BD2=AB2+DA2-2ABDAcos A=5+4cos C.由,得cos C=,故C=60,BD=.(2)四边形ABCD的面积S=ABDAsin A+BCCDsin C=sin 60=2.13.(xx辽宁,17,12分)在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且ac.已知=2,cos B=,b=3.求:(1)a和c的值;(2)cos(B-C)的值.解析(1)由=2得cacos B=2.又cos B=,所以ac=6.由余弦定理,得a2+c2=b2+2accos B.又b=3,所以a2+c2=9+22=13.解得a=2,c=3或a=3,c=2.因为ac,所以a=3,c=2.(2)在ABC中,sin B=.由正弦定理,得sin C=sin B=.因为a=bc,所以C为锐角,因此cos C=.于是cos(B-C)=cos Bcos C+sin Bsin C=+=.14.(xx湖南,19,13分)如图,在平面四边形ABCD中,DAAB,DE=1,EC=,EA=2,ADC=,BEC=.(1)求sinCED的值;(2)求BE的长.解析设CED=.(1)在CDE中,由余弦定理,得EC2=CD2+DE2-2CDDEcosEDC.于是由题设知,7=CD2+1+CD,即CD2+CD-6=0,解得CD=2(CD=-3舍去).在CDE中,由正弦定理,得=.于是sin =,即sinCED=.(2)由题设知,0,于是由(1)知,cos =.而AEB=-,所以cosAEB=cos=coscos +sinsin =-cos +sin =-+=.在RtEAB中,cosAEB=,故BE=4.