2019-2020年九年级数学上册 24.4 解直角三角形教案 （新版）华东师大版.doc

2019-2020年九年级数学上册 24.4 解直角三角形教案 （新版）华东师大版第1课时解直角三角形及其应用 【知识与技能】使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形【过程与方法】通过综合运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力【情感态度】渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯 【教学重点】直角三角形的解法 【教学难点】三角函数在解直角三角形中的灵活运用一、创设情境，导入新知1勾股定理的内容是什么？2直角三角形中两锐角的关系是什么？3直角三角形中边角有什么关系？4ABC中，C90，(1)若A30，c10 cm，则a_，b_，B_(2)若A40，c10 cm，则由sinA，可得a_，由cosA得，b_二、合作探究，理解新知1引导学生对三角函数进行变形，如由sinA，得acsinA，c等我们已掌握RtABC的边角关系、三边关系、角角关系，利用这些关系，在知道其中的两个元素(至少有一个是边)后，就可求出其余的元素2“为什么两个已知元素中至少有一条边？”让全体学生思考，在作出准确回答后，教师请学生概括什么是解直角三角形？在直角三角形中，由已知的边角关系求出未知的边与角，叫做解直角三角形3对应练习(1)如图和，根据图中的数据解直角三角形；(2)在ABC中，C为直角，A、B、C所对的边分别为a、b、c，且b20，B35，解这个三角形(精确到0.1)(3)在ABC中，C为直角，A、B、C所对的边分别为a、b、c，且c20，B35，解这个三角形(精确到0.1)【教学说明】(1)引导学生用多种方法解并组织学生比较各种方法中哪些较好，选一种板演(2)完成之后引导学生小结“已知一边一角，如何解直角三角形？”答：先求另外一角，然后选取恰当的函数关系式求另两边计算时，利用所求的量如不比原始数据简便的话，最好用题中原始数据计算，这样误差小些，也比较可靠，防止第一步错导致一错到底(3)做完以上练习后归纳解直角三角形的类型：已知两条边；已知一条边和一个锐角(4)在解直角三角形的过程中，常会遇到近似计算，本书除特别说明外，边长保留四个有效数字，角度精确到1.知识运用例：如图所示，一棵大树在一次强烈的地震中于离地面5米处折断倒下，树顶落在离树根12米处大树在折断之前高多少？ 教师展示教材中例1(图24.4.1)我们在遇到实际问题时，总是首先把新问题与我们熟悉的问题联系起来，再把新问题转化成熟悉的问题来进行研究那么，怎样把这个实际问题变成我们熟悉的图形呢？ 学生动手尝试，分组交流后，举手回答师生共同画图转化为直角三角形 明确：对于现实问题通常化为数学模型来处理，这里体现数学建模的思想. 解：利用勾股定理可以求出折断倒下部分的长度为13. 13518(米) 所以，大树在折断之前高为18米三、尝试练习，掌握新知基础练习1在RtABC中，C90，a、b、c是ABC的三边，a5，b5 ，求c，A、B的值2教材第113页练习第1题拓展练习3在锐角ABC中，AB6，AC7，B60，求BC的长4请同学们完成探究在线高效课堂“随堂练习”部分四、课堂小结，梳理新知通过本节课的学习，你有什么收获？本节的重要内容是解直角三角形的有关知识，解直角三角形的依据是勾股定理、两锐角互余和边角之间的关系，一般有两种类型：已知两边，已知一边和一锐角，解题时要选择适当的关系式，尽可能使用原题数据和避免做除法运算五、深入练习，巩固新知请同学们完成探究在线高效课堂“课时作业”部分1教材习题24.4第1、2题2如图所示，是某单位的停车棚上方的角钢固定架，若BC15米，B28，点D、E、F将BC四等分问制成这样的钢架共需角钢多少米？(不考虑焊接损失，结果保留到1米)3如图，在ABC中，A30，tanB，AC2 ，求AB.第2课时方向角与解直角三角形第3课时仰角、俯角与解直角三角形 【知识与技能】1了解仰角、俯角、方向角的概念2能根据直角三角形的知识解决与仰角、俯角、方向角有关的实际问题【过程与方法】能够借助辅助线解决实际问题，掌握数形结合、抽象归纳的思想方法【情感态度】感知本节与实际生活的密切联系，认识知识应用于实践的意义 【教学重点】解直角三角形在实际中的应用 【教学难点】将某实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题一、创设情境，导入新知1什么叫解直角三角形？2如图，ABC中，B45，C60，ADBC于D，AD2，求BC的长二、合作探究，理解新知1方向角(1)引导学生复习与方向角有关的知识(2)例题例1：如图，A城气象部门测得今年第9号台风上午8时在A城南偏东30的海面生成，并以每小时40海里的速度向正北方向移动，上午10时测得台风中心移到了A城南偏东45的方向，若台风中心120海里的范围内将受台风影响，问A城是否会受9号台风影响？分析：A城是否会受台风影响，就是A城到台风移动路线BC的距离是否大于120海里解：过A作AEBC于E，设AEECx，则BEx，BC24080，BCBECE(1)x80.x40(1)109.3120.A城会受台风影响【教学说明】通过例题，学会解决与方向角有关的问题2俯角、仰角(1)几个概念：铅垂线；水平线；视线；仰角：视线在水平线的上方，视线与水平线的夹角；俯角：视线在水平线的下方，视线与水平线的夹角说明：学生阅读教材“读一读”教学时，可以让学生仰视灯或俯视桌面以体会仰角与俯角(2)例题例2：如图，为了测量电线杆的高度AB，在离电线杆22.7米的C处，用高1.20米的测角仪CD测得电线杆顶端B的仰角22，求电线杆AB的高(精确到0.1米)解：在RtBDE中，BEDEtanACtan22.7tan229.17，ABBEAEBEDC9.171.2010.4(米)答：电线杆的高度约为10.4米(3)练习教材第114页练习第1题三、尝试练习，掌握新知 1.如图，小雅家(图中点O处)门前有一条东西走向的公路，经测得有一水塔(图中点A处)在她家北偏东60度500 m处，那么水塔所在的位置到公路的距离AB是 () A250 m B250 m C. m D250 m 2教材第114页练习第2题 3.如图，某数学兴趣小组在活动课上测量学校旗杆高度，已知小明的眼睛与地面的距离AB是1.7 m，看旗杆顶部M的仰角为45；小红的眼睛与地面的距离CD是1.5 m，看旗杆顶部M的仰角为30.两人相距28米且位于旗杆两侧(点B、N、D在同一条直线上)请求出旗杆MN的高度(参考数据：1.4，1.7，结果保留整数) 【教学说明】完成上述问题后，让学生总结解决与仰角、俯角、方向角有关的问题时，常用以下两个基本图形 其中第一个图中满足：DE，第二个图中满足DE.可让学生推导出这两个式子4请同学们完成探究在线高效课堂“随堂练习”部分四、课堂小结，梳理新知通过本节课的学习，你有什么收获？请学生总结：通过学习两个例题及练习，初步学会把一些实际问题转化为数学问题，通过解直角三角形来解决，具体来说，本节课通过让学生把实际问题转化为数学问题，利用正切解直角三角形，从而把问题解决本课涉及一种重要数学思想：转化思想五、深入练习，巩固新知请同学们完成探究在线高效课堂“课时作业”部分1教材习题24.4第3、4题 2.在我市迎接奥运圣火的活动中，某校教学楼上悬挂着宣传条幅DC，小丽同学在点A处，测得条幅顶端D的仰角为30，再向条幅方向前进10米后，又在点B处测得条幅顶端D的仰角为45，已知测点A、B和C离地面高度都为1.44米，求条幅顶端D点距离地面的高度(计算结果精确到0.1米，参考数据：1.414，1.732)3如图，在小山的西侧A处有一热气球，以30米/分钟的速度沿着与垂直方向所成夹角为30的方向升空，40分钟后到达C处，这时热气球上的人发现，在A处的正东方向有一处着火点B，十分钟后，在D处测得着火点B的俯角为15，求热气球升空点A与着火点B的距离(结果保留根号，参考数据：sin15，cos15，tan152)第4课时利用坡角或坡比解直角三角形 【知识与技能】会运用解直角三角形有关知识解决与坡度、坡角有关的实际问题【过程与方法】逐步培养学生分析问题、解决问题的能力；渗透数形结合的数学思想和方法【情感态度】进一步感知本节与实际生活的密切联系，认识知识应用于实践的意义 【教学重点】解决有关坡度的实际问题 【教学难点】理解坡度的有关术语一、创设情境，导入新知前面我们研究了与仰角、俯角、方向角有关的问题，今天研究与坡度、坡角有关的问题二、合作探究，理解新知1坡度、坡角的概念展示教材中“读一读”，你看懂图24.4.5了吗？几个概念：(1)铅垂高度h；(2)水平长度l；(3)坡度(坡比)i：坡面的铅垂高度h和水平长度l的比i；(4)坡角：坡面与水平面的夹角；itan.显然，坡度i越大，坡角就越大，坡面就越陡2例题例1：如图，在山坡上种树，要求株距(相邻两树间的水平距离)是5.5 m，测得斜坡的倾斜角是24，求斜坡上相邻两树间的坡面距离是多少(精确到0.1 m)分析：(1)例题中出现许多术语株距、倾斜角，这些概念学生未接触过，比较生疏，而株距概念又是学生易记错之处，因此教师最好准备教具：用木板钉成一斜坡，再在斜坡上钉几个铁钉，利用这种直观教具更容易说明术语，符合学生的思维特点(2)引导学生将实际问题转化为数学问题画出图形(上图中的第二个图)已知：RtABC中，C90，AC5.5 m，A24，求AB.(3)学生运用解直角三角形知识完全可以独立解决例1.教师可请一名同学上黑板做，其余同学在练习本上做，教师巡视解：在RtABC中，cosA，AB6.0(米)答：斜坡上相邻两树间的坡面距离约是6.0米教师引导学生评价黑板上的解题过程，做到全体学生都掌握3练习：(1)沿山坡前进10米，相应升高5米，则山坡坡度_，坡角_(2)若一斜坡的坡面的余弦为，则坡度为_(3)堤坝横断面是等腰梯形(如图所示)若AB10，CD4，高h4，则坡度i_，AD_；若AB10，CD4，i，则h_知识运用例2：如图，一段路基的横断面是梯形，高为4.2米，上底的宽是12.51米，路基的坡面与地面的倾角分别是32和28.求路基下底的宽(精确到0.1米)先让学生思考：在遇到梯形时怎么把它分割成能够解决的图形呢？解：作DEAB，CFAB，垂足分别为E、F.由题意可知DECF4.2(米)，CDEF12.51(米) 在RtADE中，itan32，AE6.72(米) 在RtBFC中，同理可得BF7.90(米)ABAEEFBF6.7212.517.9027.1(米) 答：路基下底的宽约为27.1米 例3：沿水库拦水坝的背水坡，将坝顶加宽2 m，坡度由原来的12改为12.5，已知坝高6 m，坝长50 m，求： (1)加宽部分横断面的面积； (2)完成这一工程需要的土方是多少？ 分析：加宽部分的横断面AFEB为梯形，故通过作梯形的高构造直角三角形，利用坡度的变化求解 解：(1)设梯形ABCD为原大坝的横截面图，梯形AFEB为加宽部分， 过A、F分别作AGBC于G，FHBC于H. 在RtABG中，由iAB12，AG6，得BG12， 在RtEFH中，由iEF12.5，FH6，得EH15，EBEHBHEH(BGHG)15(122)5，S四边形AFEB(25)621 m2. (2)V50S四边形AFEB21501050 m3. 【教学说明】例3可根据学生情况、时间选择讲解三、尝试练习，掌握新知1在坡角为30的斜坡上两树间的水平距离AC为2 m，则两树间的坡面距离AB为()A4 m B. mC. m D4 m2某商场门前的台阶截面如图所示已知每级台阶的宽度(如CD)均为30 cm，每级台阶高度(如BE)均为20 cm.为了方便残疾人行走，商场决定将其中一个门的门前台阶改造成供轮椅行走的斜坡，并且设计斜坡的倾斜角为9，请计算从斜坡起点A到台阶前的点B的水平距离(参考数据：sin90.16.cos90.99，tan90.16)3如图，水库堤坝的横断面成梯形ABCD，DCAB.迎水坡AD长为2 米，上底DC长为2米，背水坡BC长也为2米，又测得DAB30，CBA60，求下底AB的长答案：解：过D、C分别作DEAB于E，CFAB于F.在RtADE中，A30，AD2 .DEADsin30，AEADcos303.在RtCBF中，BFBCcos601，ABAEEFBF3216(米)答：下底的长为6米4请同学们完成探究在线高效课堂“随堂练习”部分四、课堂小结，梳理新知通过本节课的学习，你有什么收获？教师请学生总结：1在这类实际应用题中，都是直接或间接地把问题放在直角三角形中，虽然有一些专业术语，但要明确各术语指的什么元素，要善于发现直角三角形，用三角函数等知识解决问题2利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：(1)将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形，转化为解直角三角形的问题)；(2)根据条件的特点，适当选用锐角三角函数去解直角三角形；(3)得到数学问题的答案；(4)得到实际问题的答案五、深入练习，巩固新知请同学们完成探究在线高效课堂“课时作业”部分 1.教材第116页练习 2.如图，梯形ABCD是拦水坝的横断面图(图中i1是指坡面的铅直高度DE与水平宽度CE的比)，B60，AB6，AD4，求拦水坝的横断面ABCD的面积(结果保留三位有效数字参考数据：1.732，1.414)