2019-2020年九年级数学上册第2章一元二次方程2.5一元二次方程的应用教案新版湘教版.doc

2019-2020年九年级数学上册第2章一元二次方程2.5一元二次方程的应用教案新版湘教版教学目标【知识与技能】使学生会用列一元二次方程的方法解应用题【过程与方法】让学生在经历运用一元二次方程解决一些代数问题的过程中体会一元二次方程的应用价值【情感态度】在应用一元二次方程的过程中，提高学生的分析问题、解决问题的能力【教学重点】建立一元二次方程模型解决一些代数问题【教学难点】把一些代数问题化归为解一元二次方程的问题教学过程一、情景导入，初步认知列方程解应用问题的步骤是什么？审题，设未知数，列方程，解方程，答【教学说明】七年级学过一元一次方程的应用，实际上是据实际题意，设未知数，列出一元一次方程求解，从而得到问题的解决但有的实际问题，列出的方程不是一元一次方程，是一元二次方程，这就是我们本节课所研究的问题，一元二次方程的应用二、思考探究，获取新知1某省农作物秸秆资源巨大，但合理使用量十分有限，因此该省准备引进适用的新技术来提高秸秆的合理使用率，若今年的使用率为40%，计划后年的使用率达到90%，求这两年秸秆使用率的年平均增长率(假设该省每年产生的秸秆总量不变)分析：由于今年到后年间隔两年，所以问题中涉及的等量关系是：今年的使用率(1年平均增长率)2后年的使用率解：设这两年秸秆使用率的年平均增长率为x，则根据等量关系，可列出方程：40%(1x)290%解得：x150%，x22.5根据题意可知：x50%答：这两年秸秆使用率的平均年增长率为50%.2为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为81元求平均每次降价的百分率分析：问题中涉及的等量关系是：原价(1平均每次降价的百分率)2现在的售价解：设平均每次降价的百分率为x，则根据等量关系，可列出方程：100(1x)281解得：x110%，x21.9根据题意可知：x10%答：平均每次降价的百分率为10%.3“议一议”运用一元二次方程模型解决实际问题的步骤有哪些？【归纳结论】运用一元二次方程模型解决实际问题的步骤：分析实际问题建立一元二次方程模型解一元二次方程一元二次方程的根的检验实际问题的解【教学说明】使学生感受、明白利用一元二次方程解决实际问题的过程与方法三、运用新知，深化理解1见教材P50例2.2一件商品的原价是121元，经过两次降价后的价格为100元如果每次降价的百分率都是x，根据题意列方程得_【答案】121(1x)21003某小区xx年屋顶绿化面积为xx平方米，计划xx年屋顶绿化面积要达到2880平方米如果每年屋顶绿化面积的增长率相同，那么这个增长率是多少？分析：本题需先设出这个增长率是x，再根据已知条件找出等量关系列出方程，求出x的值，即可得出答案解：设这个增长率是x，根据题意得：xx(1x)22880解得：x120%，x2220%(舍去)故答案为：20%.4某电脑公司xx年的各项经营收入中，经营电脑配件的收入为600万元，占全年经营总收入的40%，该公司预计xx年经营总收入要达到2160万元，且计划从xx年到xx年，每年经营总收入的年增长率相同，问xx年预计经营总收入为多少万元？解：设每年经营总收入的年增长率为a.列方程，60040%(1a)22160解方程，a10.2，a22.2，(不符合题意，舍去)每年经营总收入的年增长率为0.2，则xx年预计经营总收入为：60040%(10.2)60040%1.21800答：xx年预计经营总收入为1800万元5将进货单价为40元的商品按50元售出时，能卖出500个，已知这种商品每个涨价1元，其销售量就减少10个，若这种商品涨价x元，则可赚得y元的利润(1)写出x与y之间的关系式；(2)为了赚得8000元利润，售价应定为多少元，这时应进货多少个？解(1)商品的单价为50x元，每个的利润是(50x)40元，销售量是50010x个，则依题意得y(50x)40(50010x)，即y10x2400x5000.(2)依题意，得10x2400x50008000.整理，得x240x3000.解得x110，x230.所以商品的单价应定为501060(元)或503080(元)当商品的单价为60元时，其进货量只能是5001010400(个)；当商品每个单价为80元时，其进货量只能是5001030200(个)6“国运兴衰，系于教育”下图中给出了我国从xxxx年每年教育经费投入的情况(1)由图可见，xxxx年的五年内，我国教育经费投入呈现出_趋势；(2)如果我国的教育经费从xx年的5500亿元增加到xx年的7920亿元，那么这两年的教育经费平均年增长率为多少？解：(1)上升或增长(2)设平均每年增长率为x.依题意，5500(1x)27920解得x10.220%，x22.2(不合题意，舍去)答：这两年的教育经费平均年增长率为20%.【教学说明】进一步提高分析问题、解决问题的能力，深刻体会方程的思想方法在解应用问题中的用途四、师生互动、课堂小结先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结教师作以补充课后作业布置作业：教材“习题2.5”中第1、2题教学反思一元二次方程的应用增长率及利润问题与我们的生活密切相关，在解决增长率问题时，要弄清关键词语的含义和有关数量间的关系，掌握其规律，还应注意各种数据变化的基础，针对本节课的内容，制作了多媒体教学课件，让学生在探讨、练习中完成所学内容本节课中，同学们能积极投入到课堂教学中，认真思考、讨论，踊跃发言，课堂气氛活跃，在个别问题的回答上，学生大胆发言，配合默契，达到了积极的教学效果第2课时一元二次方程的应用(2)教学目标【知识与技能】会建立一元二次方程的模型解决实际问题，并能根据具体问题的实际意义，对方程解的合理性作出解释【过程与方法】进一步培养学生化实际问题为数学问题的能力和分析问题，解决问题的能力，培养学生用数学的意识【情感态度】让学生进一步感受一元二次方程的应用价值，提高学生的数学应用意识【教学重点】应用一元二次方程解决实际问题【教学难点】从实际问题中建立一元二次方程的模型教学过程一、情景导入，初步认知复习列方程解应用题的一般步骤：(1)审题：仔细阅读题目，分析题意，明确题目要求，弄清已知数、未知数以及它们之间的关系；(2)设未知数：用字母(如x)表示题中的未知数，通常是求什么量，就设这个量为x；(3)列方程：根据题中已知量和未知量之间的关系列出方程；(4)解方程：求出所给方程的解；(5)检验：既要检验所求方程的解是否满足所列出的方程，又要检验它是否能使实际问题有意义；(6)作答：根据题意，选择合理的答案2说一说，矩形的面积与它的两邻边长有什么关系？【教学说明】复习相关知识，为本节课的学习作准备二、思考探究，获取新知1思考：如图，在一长为40cm，宽为28cm的矩形铁皮的四角截去四个全等的小正方形后，折成一个无盖的长方体盒子，若已知长方体盒子的底面积为364平方厘米，求截去的四个小正方形的边长(1)引导学生审题，弄清已知数、未知数以及它们之间的关系；(2)确定本题的等量关系是：盒子的底面积盒子的底面长盒子的底面宽；(3)引导学生根据题意设未知数；(4)引导学生根据等量关系列方程；(5)引导学生求出所列方程的解；(6)检验所求方程的解的合理性；(7)根据题意作答【教学说明】设未知数和作答时都不要漏写单位，是多项式时要加括号再写单位2如图，一长为32m，宽为20m的矩形地面上修建有同样宽的道路(图中阴影部分)，余下部分进行了绿化，若已知绿化面积为540m2，求道路的宽分析：本题考查了一元二次方程的应用，这类题目体现了数形结合的思想，如图，需利用平移把不规则的图形变为规则图形，进而即可列出方程，求出答案还要注意根据题意考虑根的合理性，从而确定根的取舍本题可设道路宽为x米，利用平移把不规则的图形变为规则图形，如此一来，所有草坪面积之和就变为了(32x)(20x)平方米2，进而即可列出方程，求出答案解：设道路宽为x米(32x)(20x)540解得：x12，x250(不合题意，舍去)x2答：道路宽为2米3如图所示，在ABC中，C90，AC6cm.BC8cm，点P沿AC边从点A向终点C以1cm/s的速度移动，同时点Q沿CB边从C向终点B以2cm/s的速度移动，且当其中一点达到终点时，另一点也随之停止移动，问点P、Q出发几秒后，可使PCQ的面积为9cm2?解：设xs后，可使PCQ的面积为9cm2.由题意得，APxcm，PC(6x)cm，CQ2xcm则(6x)2x9.整理，得x26x90，解得x1x23.所以P、Q同时出发，3s后可使PCQ的面积为9cm2.【教学说明】使学生感受、明白在几何图形中利用一元二次方程解决实际问题的过程与方法三、运用新知，深化理解1如图，某中学为方便师生活动，准备在长30m，宽20m的矩形草坪上修两横两纵四条小路，横纵路的宽度之比为32，若使余下的草坪面积是原来草坪面积的四分之三，若横路宽为3xcm，则可列方程为_分析：若设小路的横路宽为3xm，则纵路宽为2xm，我们利用“图形经过移动，它的面积大小不会改变”的道理，把纵、横四条路移动一下(目的是求出路面的宽，至于实际施工，仍可按原图的位置修路)，则余下的草坪面积可用含x的代数式表示为(304x)(206x)m2，又由题意可知余下草坪的面积为原草坪面积的四分之三，可列方程则可列方程：(304x)(206x)3020【答案】(304x)(206x)30202在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是()Ax2130x14000Bx265x3500Cx2130x14000Dx265x3500【答案】B3如图，利用一面墙(墙的长度不超过45m)，用80m长的篱笆围一个矩形场地(1)怎样围才能使矩形场地的面积为750m2?(2)能否使所围矩形场地的面积为810m2，为什么？解：(1)设所围矩形ABCD的长AB为x米，则宽AD为(80x)米依题意，得x(80x)750.即，x280x15000，解此方程，得x130，x250.墙的长度不超过45m，x250不合题意，应舍去当x30时，(80x)(8030)25，所以，当所围矩形的长为30m、宽为25m时，能使矩形的面积为750m2.(2)不能因为由x(80x)810得x280x16200.又b24ac(80)2411620800，上述方程没有实数根因此，不能使所围矩形场地的面积为810m2.4如图，在一幅矩形地毯的四周镶有宽度相同的边如图，地毯中央的矩形图案长6米、宽3米，整个地毯的面积是40平方米求花边的宽分析：本题可根据地毯的面积为40平方米来列方程，其等量关系式可表示为：(矩形图案的长两个花边的宽)(矩形图案的宽两个花边的宽)地毯的面积解：设花边的宽为x米，根据题意得(2x6)(2x3)40，解得x11，x2，x2不合题意，舍去答：花边的宽为1米5我校原有一块正方形空地，后来在这块空地上划出部分区域栽种花草(如图)，原空地一边减少了1m，另一边减少了2m，使剩余的空地面积为12m2，求原正方形的边长分析：本题可设原正方形的边长为xm，则剩余的空地长为(x1)m，宽为(x2)m.根据长方形的面积公式方程可列出，进而可求出原正方形的边长解：设原正方形的边长为xm，依题意有(x1)(x2)12整理，得x23x100.(x5)(x2)0，x15，x22(不合题意，舍去)答：原正方形的边长5m.6小明家有一块长8m，宽6m的矩形空地，现准备在该空地上建造一个十字花园(图中阴影部分)，并使花园面积为空地面积的一半，小明设计了如图的方案，求图中的x值解：据题意，得(8x)(6x)86.解得x112，x22.x1不合题意，舍去x2.【教学说明】进一步提高分析问题、解决问题的能力，深刻体会方程的思想方法在解应用问题中的用途四、师生互动、课堂小结先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结教师作以补充课后作业布置作业：教材“习题2.5”中第3、4、7题教学反思本节课以学生熟悉的现实生活为问题的背景，让学生从具体的问题情境中抽象出数量关系，归纳出变化规律，并能用数学符号表示，最终解决实际问题这类注重联系实际考查学生数学应用能力的问题，体现时代性，并且结合社会热点、焦点问题，引导学生关注国家、人类和世界的命运既有强烈的德育功能，又可以让学生从数学的角度分析社会现象，体会数学在现实生活中的作用复习与提升教学目标【知识与技能】1一元二次方程的相关概念2灵活运用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程3能运用一元二次方程的根的判别式判定方程的根的情况4能简单运用一元二次方程的根与系数的关系解决相关问题5构造一元二次方程解决简单的实际问题【过程与方法】通过灵活运用解方程的方法，体会几种解法之间的联系与区别，进一步熟练根据方程特征找出最优解法【情感态度】通过实际问题的解决，进一步熟练运用方程解决实际问题，体会方程思想在解决问题中的作用【教学重点】运用知识、技能解决问题【教学难点】解题分析能力的提高教学过程一、知识框图，整体把握【教学说明】引导学生回顾本章知识点，展示本章知识结构图，使学生系统地了解本章知识及之间的关系二、释疑解惑，加深理解1一元二次方程的概念：如果一个方程通过移项可以使右边为0，而左边是只含有一个未知数的二次多项式，那么这样的方程叫作一元二次方程，它的一般形式是：ax2bxc0，(a，b，c是已知数且a0)，其中a，b，c分别叫作二次项系数、一次项系数、常数项2直接开平方法：对于形如(xn)2d(d0)的方程，可用直接开平方法解直接开平方法的步骤是：把方程变形成(xn)2d(d0)，然后直接开平方得xn和xn，分别解这两个一元一次方程，得到的解就是原一元二次方程的解3配方法：通过配成完全平方式的方法得到一元二次方程的根，这种方法称为配方法用配方法解一元二次方程的步骤：(1)把方程化为一般形式ax2bxc0；(2)把方程的常数项通过移项移到方程的右边；(3)若方程的二次项系数不为1时，方程两边同时除以二次项系数a；(4)方程两边同时加上一次项系数一半的平方；(5)此时方程的左边是一个完全平方式，然后利用平方根的定义把一元二次方程化为两个一元一次方程来解4公式法：求根公式x(b24ac0)利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法用公式法解一元二次方程的一般步骤：首先要把原方程化为一般形式，从而正确地确定a，b，c的值；其次要计算b24ac的值，当b24ac0时，再用求根公式求解5因式分解法：利用因式分解来解一元二次方程的方法叫做因式分解法因式分解法解一元二次方程的一般步骤：把方程化成一边为0，另一边是两个一次因式的乘积的形式，然后使每一个一次因式等于0，分别解两个一元一次方程，得到的两个解就是原一元二次方程的解6一元二次方程的根的判别式：我们把b24ac叫做一元二次方程的根的判别式，通常用符号“”表示即：b24ac(1)当b24ac0时，一元二次方程ax2bxc0(a0)有两个不相等实数根即x1，x2.(2)当b24ac0时，一元二次方程ax2bxc0(a0)有两个相等实数根(3)当b24ac1 Bk1且k0Ck1 Dk10，则(2827.10.1x)xx12解得x35(与x10矛盾，舍去)，x424(不合题意，舍去)答：公司计划当月盈利12万元，需要售出6辆汽车7如图，要设计一幅宽20cm，长60cm的长方形图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为43，如果要使所有彩条所占面积为原长方形图案面积的三分之一，应如何设计每个彩条的宽度？分析：由横、竖彩条的宽度比为43，可设每个横彩条的宽为4x，则每个竖彩条的宽为3x.为更好地寻找题目中的等量关系，将横、竖彩条分别集中，原问题转化为如图的情况，得到长方形ABCD.(1)结合以上分析完成填空：如图，用含x的代数式表示：AB_cm；AD_cm；长方形ABCD的面积为_cm2；(2)列出方程并完成本题解答分析：(1)一条竖纹宽度为3x，长方形宽减去两条竖纹宽度，即为AB长度，同理，长方形长减去两条横纹宽度，即为AD长度；长方形面积为2060(1)800；(2)在(1)的基础上，根据所有彩条所占面积为原长方形图案面积的三分之一列方程求解即可解：(1)由题意得，AB(206x)cm，AD(608x)cm，长方形面积为6020(1)800cm2.(2)由题意列方程得(206x)(608x)1200，解得，x，x10(舍去)答：每个横彩条的宽度为cm，每个竖彩条的宽度为cm.五、师生互动，课堂小结1回顾整理今日收获2你还有哪些困惑和疑问？课后作业布置作业：教材“复习题2”中第3、4、5、11、12题教学反思通过画知识框图，完成对一元二次方程的知识点的梳理，建构知识体系；让学生对典型例题、自身错题进行整理，从而使学生抓住本章的重点、突破学习的难点