近世代数课件-第二章群论§2元素的阶.ppt

2019/12/10,近世代数,第二章群论2元素的阶,2019/12/10,元素的指数,有意义，据此,可定义群的元素的指数:设,为正整数,则规定:,显然有，,，其中,为任意整数.,2019/12/10,定义1,的最小正整数,；若不存在这样的,显然，群中单位元的阶为1，其他元的阶,为无限.,都大于1，,2019/12/10,例1,关于数的普通乘法做成,4次单位根群.,2019/12/10,例2,正有理数乘群,单位元的阶是1，,其他元的阶均为无限.,例3非零有理数乘群,1的阶是1，,-1的阶是2，,其余元的阶均为无限.,2019/12/10,定理1,有限群,中每个元素的阶均有限.,，在,中必有相等的.设,则,，从而阶有限.,证明：设,2019/12/10,注：,无限群中元素的阶可能无限，也可能有限，,关于普通乘法作成无限交换群，,甚至可能都有限.,例4,，则,其中每个元素的阶都有限.,2019/12/10,定理2,证明：令,，,，则,.,.,（2）若,2019/12/10,定理3,若群中,，则,设,，则,证明：,2019/12/10,两个推论：,推论1在群中，若,则,，其中s，t均为正整数.,推论2在群中，若,，则,2019/12/10,定理4,证明：,，于是,若,2019/12/10,例5|ab|一定等于|a|b|吗？,是有理数域Q上的全体二阶满秩,方阵关于矩阵乘法做成的群.,2019/12/10,例5|ab|一定等于|a|b|吗？,是有理数域Q上的全体二阶满秩,方阵关于矩阵乘法做成的群.,2019/12/10,思考题：,设G是群，且|G|1.证明：若G中除e外其余元素的阶都相同，则这个相同的阶不是无限，就是素数.,