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1.4角平分线,第一章三角形的证明,第1课时角平分线,1.会叙述角平分线的性质及判定;（重点）2.能利用三角形全等，证明角平分线的性质定理，理解和掌握角平分线性质定理和它的逆定理，能应用这两个性质解决一些简单的实际问题;（难点）3.经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力,学习目标,情境引入,如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路和公路距离相等，离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建在何处？（比例尺为120000）,D,C,S,解：作夹角的角平分线OC，,截取OD=2.5cm,D即为所求.,O,导入新课,1.操作测量：取点P的三个不同的位置，分别过点P作PDOA，PEOB,点D、E为垂足，测量PD、PE的长.将三次数据填入下表：,2.观察测量结果，猜想线段PD与PE的大小关系，写出结：_,C,O,B,A,PD=PE,实验：OC是AOB的平分线，点P是射线OC上的任意一点,猜想：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.,讲授新课,验证猜想,已知：如图，AOC=BOC,点P在OC上，PDOA,PEOB,垂足分别为D,E.求证：PD=PE.,证明：,PDOA,PEOB，,PDO=PEO=90.,在PDO和PEO中，,PDO=PEO，,AOC=BOC，,OP=OP，,PDOPEO(AAS).,PD=PE.,角的平分线上的点到角的两边的距离相等,性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.,应用所具备的条件：,定理的作用：,证明线段相等.,应用格式：,OP是AOB的平分线，,PD=PE,（在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等）.,推理的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个.,PDOA,PEOB，,判一判：（1）如下左图，AD平分BAC（已知），,=，(),在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等,BDCD,(2)如上右图，DCAC，DBAB（已知）.,=,(),在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等,BDCD,例1：已知：如图，在ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD,DEAB,DFAC.垂足分别为E,F.求证：EB=FC.,证明：AD是BAC的角平分线，DEAB,DFAC，,DE=DF,DEB=DFC=90.,在RtBDE和RtCDF中，,RtBDERtCDF(HL).,EB=FC.,例2:如图，AM是BAC的平分线，点P在AM上，PDAB，PEAC，垂足分别是D、E，PD=4cm，则PE=_cm.,4,温馨提示：存在两条垂线段直接应用,变式：如图，在RtABC中，AC=BC,C90，AP平分BAC交BC于点P，若PC4,AB=14.（1）则点P到AB的距离为_.,4,温馨提示：存在一条垂线段构造应用,变式：如图，在RtABC中，AC=BC,C900，AP平分BAC交BC于点P，若PC4，AB=14.（2）求APB的面积.,（3）求PDB的周长.,ABPD=28.,由垂直平分线的性质，可知，PD=PC=4，,1.应用角平分线性质：,存在角平分线,涉及距离问题,2.联系角平分线性质：,面积,周长,条件,知识与方法,利用角平分线的性质所得到的等量关系进行转化求解,角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上,思考：交换角的平分线性质中的已知和结论，你能得到什么结论，这个新结论正确吗？,角平分线的性质：,角的平分线上的点到角的两边的距离相等.,思考：这个结论正确吗？,逆命题,已知：如图，PDOA，PEOB，垂足分别是D、E，PD=PE.求证：点P在AOB的角平分线上.,证明：,作射线OP，,点P在AOB角的平分线上.,在RtPDO和RtPEO中，,（全等三角形的对应角相等）.,OP=OP（公共边），,PD=PE（已知），,PDOA,PEOB.,PDO=PEO=90，,RtPDORtPEO（HL）.,AOP=BOP,证明猜想,判定定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.,应用所具备的条件：,定理的作用：判断点是否在角平分线上.,应用格式：,PDOA,PEOB，PD=PE.,点P在AOB的平分线上.,知识总结,例3:如图，已知CBD和BCE的平分线相交于点F，求证：点F在DAE的平分线上,证明：,过点F作FGAE于G，FHAD于H，FMBC于M.,点F在BCE的平分线上，FGAE，FMBC.,FGFM.,又点F在CBD的平分线上，FHAD，FMBC，,FMFH，,FGFH.,点F在DAE的平分线上.,G,H,M,A,B,C,F,E,D,例4如图，某地有两所大学和两条交叉的公路图中点M，N表示大学，OA，OB表示公路，现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相同，到两条公路的距离也相同，你能确定出仓库P应该建在什么位置吗？请在图中画出你的设计(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹),方法总结：到角两边距离相等的点在角的平分线上，到两点距离相等的点在两点连线的垂直平分线上.,解：如图所示：,归纳总结,OP平分AOB,PDOA于D,PEOB于E,PD=PE,OP平分AOB,PD=PE,PDOA于D,PEOB于E,角的平分线的判定,角的平分线的性质,当堂练习,2.ABC中,C=90,AD平分CAB,且BC=8,BD=5,则点D到AB的距离是.,3,E,1.如图，DEAB，DFBG，垂足分别是E，F，DE=DF，EDB=60，则EBF=度，BE=.,60,BF,3.已知用三角尺可按下面方法画角平分线：在已知AOB的两边上，分别取OM=ON,再分别过点M,N作OA,OB的垂线，交点为P，画射线OP,则OP平分AOB.为什么？,A,O,B,M,N,P,解：在RTMOP和RTNOP中，OM=ON，OP=OP，RTMOPRTNOP（HL）.MOP=NOP，即OP平分AOB.,课堂小结,角平分线,性质定理,一个点：角平分线上的点；二距离：点到角两边的距离；两相等：两条垂线段相等,辅助线添加,过角平分线上一点向两边作垂线段,判定定理,在一个角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上,
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