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专题四突破解答题之3三角形,三角形是中考必考的内容.关于三角形的边、角和“三线”是中考命题的热点，既可以出现在小题中，也可以融入大题中，是研究几何综合题的基础，所以三角形的基本性质必须熟练掌握.全等三角形判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰(边)三角形的判定与性质是中考命题的热点，既可以出现在简单的解答题中，也可以与特殊四边形、圆和函数形成综合题.以三角形为背景的应用题也是中考必考内容，一般考查解直角三角形和勾股定理的应用居多.,与三角形有关的边角计算例1：如图Z41，ABC中，D为AB上一点，E为BC上一点，且ACCDBDBE，A50，则CDE的度数为,(,),图Z4-1,A.50,B.51,C.51.5,D.52.5,解析：ACCDBDBE，A50，,ACDA50，BDCB，BDEBED，BDCBCDA50，B25.,BBDEBED180，,CDE180CDABDE1805077.5,52.5.故选D.,答案：D,解题技巧熟悉等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形的外角性质，邻补角的定义等知识点的理解和掌握，并能熟练地运用这些性质进行计算是解此题的关键.,全等、相似和等腰三角形的证明与性质,例2：(2017年湖南株洲)如图Z4-2，正方形ABCD的顶点A在等腰直角三角形DEF的斜边EF上，EF与BC相交于点G，连接CF.,(1)求证：DAEDCF；(2)求证：ABGCFG.,图Z4-2,思路分析(1)由正方形ABCD与等腰直角三角形DEF，得到两对边相等，一对直角相等，利用SAS即可得证.(2)由第一问的全等三角形的对应角相等，根据等量代换得到BAGBCF，再由对顶角相等，利用两对角相等的三角形相似即可得证.,证明：(1)正方形ABCD，等腰直角三角形EDF，ADCEDF90，ADCD，DEDF.ADEADFADFCDF.ADECDF.,DAEDCF.(2)如图Z4-3，延长BA到M，交ED于点M，ADECDF.EADFCD，,即EAMMADBCDBCF.,图Z4-3,在ADE和CDF中，,MADBCD90，EAMBCF.EAMBAG，BAGBCF.AGBCGF，ABGCFG.,与三角形有关的综合题,例3：如图Z4-4，ABC是等腰直角三角形，C90，点D是AB的中点，点P是AB上的一个动点(点P与点A，B不重合)，矩形PECF的顶点E，F分别在BC，AC上.,(1)探究DE与DF的关系，并给出证明；,(2)当点P满足什么条件时，线段EF的长最短？(直接给出,结论，不必说明理由),图Z4-4,思路分析(1)连接CD，首先根据ABC是等腰直角三角形，C90，点D是AB的中点得到CDAD，CDAD，然后根据四边形PECF是矩形得到APF是等腰直角三角形，从而得到DCEDAF，证得DEDF，DEDF；而得到当DE和DF同时最短时，EF最短得到此时点P与点D重合线段EF最短.,解：(1)DEDF，DEDF.,证明如下：如Z4-5，连接CD.,图Z4-5,ABC是等腰直角三角形，C90，点D是AB的中,点，CDAD，CDAD.四边形PECF是矩形，,CEFP，FPCB.,APF是等腰直角三角形.AFPFEC.,DCEA45，DCEDAF(SAS).,DEDF，ADFCDE.CDA90，EDF90.,DEDF，DEDF.,(2)DEDF，DEDF，,当DE和DF同时最短时，EF最短.当DFAC，DEBC时，二者最短.此时点P与点D重合.,点P与点D重合时，线段EF最短.,名师点评与三角形相关的综合题一般与四边形、圆或函数紧密相连，运用旋转、对称等图形变化方式加以对问题的进一步探究是常见的命题方式.解决此类题型一般离不开三角形的基本性质.,解直角三角形与勾股定理的应用,例4：(2017年甘肃天水)如图Z4-6，一艘轮船位于灯塔P南偏西60方向的A处，它向东航行20海里到达灯塔P南偏西45方向上的B处，若轮船继续沿正东方向航行，求轮船航行途中与灯塔P的最短距离.(结果保留根号),图Z4-6,图Z4-7,解：如图Z4-7，ACPC，APC60，BPC45，AB20海里.设BCx海里，则ACABBC(20x)海里.在PBC中，BPC45，PBC为等腰直角三角形.PCBCx海里.,
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