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第七节数学归纳法,数学归纳法一个与自然数相关的命题,如果(1)当n取第一个值n0时命题成立;在假设当nk(kN,且kn0)时命题成立的前提下,推出当nk1时命题也成立,那么可以断定,这个命题对n取第一个值后面的所有正整数成立,疑难关注1数学归纳法是一种重要的数学思想方法,主要用于解决与正整数有关的数学问题证明时步骤(1)和(2)缺一不可,步骤(1)是步骤(2)的基础,步骤(2)是递推的依据2在用数学归纳法证明时,第(1)步验算nn0的n0不一定为1,而是根据题目要求,选择合适的起始值第(2)步,证明nk1时命题也成立的过程,一定要用到归纳假设,否则就不是数学归纳法,解析:边数最少的凸n边形是三角形答案:C,答案:D,3某个命题与自然数n有关,若nk(kN*)时命题成立,那么可推得当nk1时该命题也成立,现已知n5时,该命题不成立,那么可以推得()An6时该命题不成立Bn6时该命题成立Cn4时该命题不成立Dn4时该命题成立解析:解法一由nk(kN*)时命题成立,可推得当nk1时该命题也成立因而若n4成立,必有n5成立现知n5不成立,所以n4一定不成立解法二其逆否命题为“若当nk1时该命题不成立,则当nk时也不成立”为真,故“n5时不成立”“n4时不成立”答案:C,5(2013年徐州模拟)用数学归纳法证明“当n为正奇数时,xnyn能被xy整除”,当第二步假设n2k1(kN*)命题为真时,进而需证n_时,命题亦真解析:n为正奇数,假设n2k1成立后,需证明的应为n2k1时成立答案:2k1,考向一证明等式,1用数学归纳法证明123(2n1)(n1)(2n1)时,从nk到nk1,左边需增添的代数式是()A2k2B2k3C2k1D(2k2)(2k3)解析:当nk时,左边共有2k1个连续自然数相加,即123(2k1),所以当nk1时,左边共有2k3个连续自然数相加,即123(2k1)(2k2)(2k3)答案:D,考向三归纳、猜想、证明例3(2013年汉沽模拟)如图,P1(x1,y1),P2(x2,y2),Pn(xn,yn)(0y1y2yn)是曲线C:y23x(y0)上的n个点,点Ai(ai,0)(i1,2,3,n)在x轴的正半轴上,且Ai1AiPi是正三角形(A0是坐标原点)(1)写出a1,a2,a3;(2)求出点An(an,0)(nN*)的横坐标an关于n的表达式并证明,【思路导析】(1)从充分性与必要性两方面证明(2)利用x1x2x3,先确定c的大的范围,再利用xnxn1确立c的具体取值范围,并用数学归纳法证明,【名师点评】第一步:理清题意,确定要证明的等式或不等式;第二步:验证初始值(注意初始值的取值);第三步:假设nk时成立,证明nk1也成立,注意用上nk成立的条件;第四步:归纳结论,并反思解题过程,本小节结束请按ESC键返回,
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