2019-2020年九年级数学上学期等腰三角形 直角三角形.doc

2019-2020年九年级数学上学期等腰三角形 直角三角形一、同步辅导：等腰三角形、直角三角形1、等腰三角形是一种特殊的三角形,等边三角形又是特殊的等腰三角形.它们除其有一般三角形的边、内角、外角的性质之外,还有许多特殊性. 2、等腰三角形和等边三角形的性质和判定。 性质判定等腰三角形1.由定义可得：等腰三角形两个腰相等。 2.定理：等腰三角形的两个底角相等。(同一三角形中,等边对等角) 3.定理推论：等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线,底边上的高线互相重合。 4.对称性，等腰三角形是轴对称图形，有一条对称轴。（底边的中垂线） 1.用定义：有两条边相等的三角形是等腰三角形。 2.定理：如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等。即同一三角形中，等角对等边。 等边三角形1.由定义可得：三边相等。 2.定理推论,等边三角形的各角都相等且每个角都等于60。 3.对称性：等边三角形是轴对称图形,有三条对称轴，即三条边的垂直平分线。 4.具有等腰三角形的所有性质。 1.由定义：三边都相等的三角形是等边三角形。 2.定理推论：三个角都相等的三角形是等边三角形。3.定理推论：有一个角等于60的等腰三角形是等边三角形。 直角三角形1.直角三角形中两个锐角互余。 2.在直角三角形中,如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 3.勾股定理：直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，即a2+b2=c2 4.直角三角形全等的判定方法除了常用的以外,还有HL. 1.由定义：有一个角为直角的三角形叫做直角三角形。 2.勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a,b,c有下面关系：a2+b2=c2 那么这个三角形是直角三角形。 二、例题精讲： 说明:等腰三角形具有两条腰相等以及两个底角相等的性质,这些性质不仅可以用于证明,而且也常常用于计算线段或角的大小. 例1.等腰三角形顶角的外角与一个底角的外角和等于245,求它的顶角的度数. 分析: 这是关于等腰三角形角的计算.可考虑应用设未知数列方程的方法计算. 解: (一)设这个等腰三角形的顶角为x,根据同一三角形中等边对等角,则它的一个底角为，这个顶角的外角为，底角的外角为180-. 由题意可得: (180-x)+180-(180-x)=245 180-x+180-90+x=245 -x=245-270 x=50答:这个三角形顶角为50. 解: (二)设顶角为x,底角为y,顶角外角为(180-x),底角外角为(180-y). 由三角形内角和定理可得:x+2y=180 由题意可得: (180-x)+(180-y)=245, x+y=115, 解方程组得 答:这个三角形顶角为50. 例2.等腰三角形中的一个内角为50,求另外两个角的度数. 分析:等腰三角形的顶角可以是锐角,也可以是直角或钝角,等腰三角形的底角必为锐角.因此这个50的角既可以是顶角又可以是底角,所以要分类进行讨论. 解:若顶角为50时, 由等腰三角形的两个底角相等和三角形内角和定理可得一底角为:=65. 三角形另外两个角都为65, 若底角为50, 则另一底角也为50,由内角和又可求另一角为 180-(250)=80。 三角形另外两个角一个为50,另一个为80. 例3.等腰三角形的两边长分别为25cm和13cm.求它的周长. 分析:等腰三角形的边有两种:一是等腰三角形的两条腰相等,另一是等腰三角形的底边.因此此题的已知条件中两边长为25cm和13cm,有可能腰为25cm或13cm，两种情况都可以构成三角形，因此要分类讨论. 解: (1)若腰长为25cm时,则另一腰也为25cm,底边长为13cm. 等腰三角形周长=25+25+13=63(cm) (2)若底边长为25cm时,则腰长为13cm, 等腰三角形周长=25+13+13=51(cm) 说明:1.等腰三角形的两个底角相等是等腰三角形很重要的一条性质,由于等腰三角形图形的特殊性,特别要注意分类讨论思想的运用,需要看是顶角还是底角,边是腰还是底边,只有将这些内容考虑周全,才会使解答更加完整. 2.若等腰三角形两边长为25cm和12cm,求三角形周长时,腰长只能为25cm,周长只能为62cm.若腰长为12cm,则两腰长的和24cmBC符合题意.同理(2)中BC=,AB+AC=4x=BC,也符合题意.若AB+ACBC时应将这解舍去. 例5.如图AB=AC，D是AE上一点，且BD=DC。求证：AEBC。 分析：由AB=AC可知ABC是等腰三角形应联想它的性质，要证明AEBC须证AE平分BAC，根据已知AB=AC，BD=DC，AD=AD，可得ABDACD，得出1=2，再由性质证出AEBC。 证明：在ABD和ACD中， ABDACD（SSS） 1=2（全等三角形的对应角相等） 又AB=AC（已知） AEBC（等腰三角形顶角的平分线是底边的高线）。 例6.如图在ABC中，AB=AC，E在BA延长线上，且AE=AF，求证：EFBC。 分析：要证明EFBC不大好入手，但是否可以找到一条垂直于BC的直线，再证EF与之平行呢？这个设想是可以完成的。因为图形有等腰ABC，BC边的中线、高线与BAC的平分线三线合一。 证明：作A的平分线AD交BC于D，延长EF交BC于M， ABC中，AB=AC（已知）， ADBC于D （等腰三角形顶角平分线是底边的高线） BAC是AEF的外角（如图） BAC=3+4 （三角形外角等于和它不相邻的两个内角和） AE=AF（已知） 3=4（同一三角形中等边对等角） BAC=24（等式性质）4=BAC， 又2=1（作图），2=BAC（角平分线定义） 2=4（等量代换） AD/EF（内错角相等两直线平行） EMB=ADB（两直线平行同位角相等） ADBC（已证） ADB=90（垂直定义） EMB=90（等量代换） EFBC（垂直定义）。 说明：如果补充定理：若a/b,且ac, 则bc，则可不作EF延长线，证出AD/EF后，再由ADBC，直接可证出EFBC。 例7.如图ABC是等边三角形, ADE是以AD,AE为腰的等腰三角形,DAE=80,BAD=15,求CAE和EDC的度数. 分析:题中除有两个角的具体度数外,还隐含了等边三角形每个角都是60的条件.这样可以从DAC=BAC-BAD求得DAC度数,也就求得了CAE的度数.又可由ADE为等腰三角形,则ADE=(180-DAE),以及ADC是ABD的外角,也可求得EDC的度数. 解:ABC为等边三角形(已知) B=BAC=60(等边三角形的每一个角为60) 2=BAC-1(全量等于部分之和) 1=15(已知)2=60-15=45(等式性质) 又3=DAE-2(全量等于部分之和) DAE=80(已知) 2=45(已求) 3=80-45=35(等式性质),即CAE=35 在ADE中,AD=AE(已知) ADE=AED(同一三角形中,等边对等角) 又ADE+AED+DAE=180(三角形内角和定理) ADE=(180-DAE)=(180-80)=50(等式性质) ADC是ABD外角, 1=15B=60(已求) ADC=1+B(三角形外角等于和它不相邻的两个内角和), =15+60=75(等式性质) EDC=ADC-ADE(全量等于部分之和) =75-50(等量代换) =25 答: CAE为35, EDC为25. 例8.如图,在直角ABC中, BAC=90,D,E在BC上,且BE=AB,CD=AC,求DAE的度数. 分析: 如图（1）先观察DAE在图形中的位置,首先, DAE是ADE的内角,则DAE=180-(1+2),而1,2又分别是等腰ABE和等腰ADC的底角,又可从中找到1,2与B,C的关系,又B+C=90,这样理清这样一串角之间的关系,就可以从中求得DAE. 解: (一) BE=AB(已知) 1=BAE(同一三角形中,等边对等角) 1+BAE+B=180(三角形内角和定理) 1=(180-B) (等式性质) 同理可求2=(180-C) 在ADE中,DAE=180-(1+2)(三角形内角和定理) DAE=180-(180-B)+(180-C)(等量代换) =180-(180-B-C) =(B+C) 又BAC=90(已知) BAC+B+C=180(三角形内角和定理) B+C=180-90=90(等式性质) DAE=(B+C)(已证) =90(等量代换) =45答: DAE的度数为45. 解法二： 分析： 如图（2） 由上可知DAE与1、2是AED的三个内角，同时DAE与3和4又能组成直角，且2=DAC，1=BAE，都与EAD有关，因此可设元找它们之间的关系，用方程思想去解决。 解：设EAD=x, 3=y, 4=z, CA=CD（已知） CAD=2（同一三角形中等边对等角） CAD=2=x+y, 又AB=BE（已知）， 1=EAB（同一三角形中，等边对等角） EAB=1=x+z, EAD+1+2=180(三角形内角和定理)， x+(x+z)+(x+y)=180, 即3x+y+z=180, 又3+EAD+4=CAB（全量等于部分之和）， 即y+x+z=90, 由（2）-（1） 2x=90, x=45, 答：EAD为45。 例9.如图在ABC中，A，B的外角平分线分别交对边CB、AC的延长线于D，E且AD=AB=BE，求BAC的度数。分析：题目的已知条件中，没有出现一个角的具体数值，却有着相当多的角的关系：两个等腰三角形，两个外角平分线。点B的周围是这些角的汇集处。可以从两个方面分析，向点B集中。为了使思维清楚表达方便，设BAC=x，从BAD出发，通过AD是ABC外角的平分线以及ABD是等腰三角形，可用x表示ABD。而另一个方向是从BAC出发，通过ABE是等腰三角形，BE是ABC外角平分线，用x表示CBF，最终通过对顶角ABD=CBF关系，列出关于x的方程，解得x，即求出BAC。 解：设BAC=x, BAG是ABC外角，BAG=180- x（平角定义）， AD是BAG平分线（已知）， DAB=BAG（角平分线定义）， DAB=(180-x)=90-x（等式性质） ABD中，AB=AD（已知） ABD=D（同一三角形中等边对等角） 又D+ABD+DAB=180（三角形内角和定理）， ABD=D=(180-DAB)（等式性质） =180-(90-x)（等量代换） =45+ AB=BE（已知），BAE=E（同一三角形中等边对等角）， E=x（等量代换）， FBE是ABE外角（如图）， FBE=BAE+E（三角形外角等于和它不相邻的两个内角和）， =2x（等式性质）， BE是CBF的角平分线（已知）， FBC=2FBE（角平分线定义） =2(2x)=4x(等式性质)， ABD=FBC（对顶角相等）， 45+=4x(等量代换)， 解方程得x=12, 答：BAC的度数为12。 例10、求证等腰三角形腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。 说明：此题是文字题，把文字题“翻译”成“已知”，“求证”等符号语言， 是我们这段学习中应当掌握的。 已知：ABC中，AB=AC，BDAC于D。求证：DBC=BAC。 分析：要证明DBC=BAC，则需找出一个角使它等于DBC的二倍，再证其与BAC相等。因此以BD为一边，以B为顶点，在BD另一旁作EBD=CBD，得EBC=2CBD，再证EBC=BAC。 证法（一）：以BD为一边，以B为顶点，在BD的另一旁作 EBD=CBD，BE交AC于E， EBC=2CBD， BDAC于D（已知）， EDB=90， BDC=90（垂直定义）， EDB=BDC（等量代换）， 在BED和BCD中， BEDBCD（ASA） BEC=C（全等三角形对应角相等） 在EBC中，EBC=180-BEC-C（三角形内角和定理）， EBC=180-2C（等式性质）， 又AB=AC（已知），ABC=C（同一三角形中等边对等角）， A=180-ABC-C（三角形内角和定理）， A=180-2C（等式性质）， EBC=A（等量代换）， EBC=2DBC（已证），A=2DBC（等量代换）， DBC=BAC（等式性质）。 方法（二）：分析要证明CBD=BAC，则需找一个角使它等于BAC，再证其与DBC相等， 作BAC平分线AF得到2=BAC， 由AB=AC AFBC，由DBC=90-C，2=90-C 2=DBC，即DBC=BAC。 方法（三）：分析：直接应用定理进行计算出BAC=180-ABC-C=180-2C=2(90-C)，又因为 DBC=90-C，可证出DBC=BAC。 方法（四）：类似法（一）如图作 CBE=DBC，BE交AC延长线于E， 很容易推出ACB=2+E， ABC=1+3 3=E，由垂直条件 3+A=90，1+2+E=90，则1+2=A，DBC=A。 说明：证明一个角等于另一个角的二倍或一半时，常用以下几种方法：（1）先作一个角等于小角的二倍，再证其与大角相等（如法一，法四） （2）先作一个角等于大角的一半，再证其与小角相等（如法二） （3）运用代数运算来推导（如法三） 研究与探讨： 如果一个等腰三角形可以被一条直线分割成两个较小的等腰三角形，那么这样的等腰三角形共有几个？这条直线怎样画？讨论所有可能的情况，并画出图形 分析与解：我们常见的此类等腰三角形有顶角为90的等腰直角三角形，所以第一种如图（1），但是怎样能够把所有的情况都考虑到？需要利用分类讨论的思想。设原等腰三角形中AB=AC。因为等腰三角形被直线分成两部分仍旧分别是等腰三角形，所以这条直线一定经过三角形的顶点，并和对边相交。可以分类讨论：1）直线经过等腰三角形的顶角顶点，将底边分成两截线段。这时，新构成的等腰三角形有两种情况，如图（1）（2）。图（1）中AD=BD=CD ，图（2）中 AB=BD AD=DC2）直线经过等腰三角形的底角顶点，将其中一腰分成两截线段。新构成的等腰三角形有两种情况，如图（3）（4）。图（3）中 AD=CD=BC 图（4）中 AD=BD BC=CD研究探讨：以上共四种情况，你能不能分别求出原来等腰三角形的顶角度数？分别是多少？提示：可以利用等腰三角形中角的关系，用方程的思想求出顶角度数。分别为90、108、36、 .练习：（上海市中考题）如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且QPN=30，点A处有一所中学，AP=160m。假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/h，那么学校受影响的时间为多少秒？分析：（1）要判断拖拉机的噪音是否影响学校A，实质上是看A到公路的距离是否小于100m, 小于 100m则受影响，大于 100m则不受影响，故作垂线段AB并计算其长度。（2）要求出学校受影响的时间，实质是要求拖拉机对学校A的影响所行驶的路程。因此必须找到拖拉机行至哪一点开始影响学校，行至哪一点后结束影响学校。解：作ABMN，垂足为B。 在RtABP中，ABP=90，APB=30， AP=160， AB= AP=80。 （在直角三角形中，30所对的直角边等于斜边的一半） 点A到直线MN的距离小于100m,这所中学会受到噪声的影响。 如图，假设拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶到点C处学校开始受到影响，那么AC=100(m)，由勾股定理得：BC2=1002-802=3600, BC=60.同理，拖拉机行驶到点D处学校开始脱离影响，那么，AD=100(m),BD=60(m),CD=120(m). 拖拉机行驶的速度为: 18km/h=5m/st=120m5m/s=24s.答略。小结:勾股定理是求线段的长度的很重要的方法,若图形缺少直角条件,则可以通过做辅助垂线的方法,构造直角三角形以便利用勾股定理.三、同步测试窗体顶端选择题 1等腰三角形周长12厘米，其中一边长2厘米，其他两边分别长（）。 A、2厘米、5厘米 B、5厘米、5厘米 C、5厘米、5厘米或2厘米、2厘米 D、无法确定 窗体底端窗体顶端2等腰三角形一腰上的高与底边夹角是60，则顶角的度数为（） A、60 B、120 C、90 D、30 窗体底端窗体顶端3等腰三角形ABC中，A=90，在底边BC上截取BD=AB，过D作DEBC交AC于E，连AD，则图中等腰三角形的个数应是 （） A、1个 B、2个 C、3个 D、4个 窗体底端窗体顶端4下列说法中，正确的是（ ） A、一个钝角三角形一定不是等腰三角形 B、一个等腰三角形一定是锐角三角形 C、一个直角三角形一定不是等腰三角形 D、一个等边三角形一定不是钝角三角形 窗体底端窗体顶端5下列命题中错误的是（） A、直角三角形中，任一直角边的中线小于斜边 B、等腰直角三角形斜边上的高线等于斜边的一半 C、到直角三角形三顶点距离相等的点一定在斜边的中点上 D、有两个锐角对应相等的两个直角三角形全等 窗体底端窗体顶端6如图已知：ABC中，ACB=90，且BC=BD，AC=AE，则DCE的度数为（）。 A、45B、60C、50D、30 窗体底端窗体顶端7过直线l外一点A，作l的垂线，下列作法中正确的是（）。 A、过A作ABl于B，则线段AB即为所求 B、过A作l的垂线，垂足是B，则射线AB即为所求 C、过A作l的垂线，垂足是B，则直线AB即为所求 D、以上作法都不正确 窗体底端窗体顶端8如图，在ABC中，ABC=ACB，ABC与ACB的平分线相交于O，过O作EFBC交AB于E，交AC于F，那么图中所有的等腰三角形有几个（） A、6B、4 C、3 D、5 窗体底端窗体顶端9等腰三角形中有一个角是另一个角的四倍，则这个三角形的顶角的度数为（ ） A、20B、30C、20或120D、120答案与解析 答案：1. B 2. B 3. D 4. D 5. D 6. A 7. C 8. D 9. C解析：3、提示：等腰三角形有：ABC、ABD、AED、 DEC。 6、如图， BC=BD 1+2=5 5=3+A 1+2=3+A.(1) AC=AE 1+3=4 4=2+B 1+3=2+B.(2) (1)+(2)得：21+2+3=3+A+2+B 21=A+B ACB=90 A+B=90 21=90 1=45， 选择A。 8、提示：有ABC、AEF、BOC、EOB、FOC 9、提示：利用方程来解，设顶角为x，但是要注意，在表示底角时有两种：4x或者所以可列方程：8x+x=180或者+x=180；分别解出20或120四、中考解析等腰三角形 等腰三角形的性质 考点扫描 掌握等腰三角形的性质和推论以及应用. 名师精讲 1. 等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等(简写成等边对等角) 推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边； 推论2：等边三角形各角都相等，并且每个角都等于60. 2. 等腰三角形三线合一性 等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高互相重合. 在等腰三角形中，平分顶角、平分底边、垂直于底边、三个条件中有一个成立，另两个一定成立. 注意：“等边对等角”定理是证明两角相等的重要依据. “三线合一”的定理是证明两角相等，两线段相等或两直线互相垂直的重要依据. 因此本节的性质定理及推论是本节的重点. 3. 本节的难点是对文字命题的证明，要注意对定理证明的分析，开拓证明思路，探求证明方法. 同时注意证明题中引辅助线的研究，明确引辅助线的目的是把已知条件集中或挖掘隐含的已知条件. 要逐步学会根据题中已知条件和证题需要恰当地引辅助线. 中考典例 1.(益阳市)在ABC中AB=AC，B=50则A= . 考点：等腰三角形的性质 评析：因为AB=AC，B=C=50，再由内角和定理可知A=80 2.( 福建省龙岩市) 如图所示已知ABC中D、E为BC边上的点，且BD=EC，AD=AE，求证AB=AC. 考点：等腰三角形的性质，全等三角形判定. 评析：该题考查等腰三角形的性质及全等三角形的判定及性质，由AD=AE可知ADE =AED又BD=CE，所以BE=DC，ABEACD故AB=AC. 也可以证明ABDACE 证明过程如下： 方法1：证明：AD=AEADE=AED又BD=CEBD+DE=CE+DE即 BE=CE 在ABE和ACD中 ABEACDAB=AC 方法2：AD=AE ADE=AEDADB=AEC 在ABD和ACE中 ABDAECAB=AC. 3. (北京崇文区) 已知：如图，在RtABC中，ACB=90，AC=BC，D是AB的中点，E、F分别在AC、BC上，且EDFD. 求证：S四边形EDFC=SABC. 考点：全等三角形的判定、等腰三角形的性质. 评析：因为RtABC是等腰三角形，D是AB中点，所以连CD，根据等腰直角三角形的性质，则有CDAB、AD=BD=CD. 又EDFD，再根据“同角的余角相等”则 1=2、A=3，由此AEDCFD，同理BFDCED. 故S四边形EDFC=SABC得证. 证明过程如下： 证明：连结CD，RtABC是等腰直角三角形，又AD=BD，CDAB A=B=3=45 AD=BD=CD，又EDFD1=2 在ADE和CDF中 ADECDF. 同理可证BDFCDE S四边形EDFC=SABC 注：此题中连结CD，目的是应用等腰直角三角形性质，并且构造两对全等的三角形. 真题专练 1.(宁波市)如图D、E分别是ABC的边BC，AC上的点，若AB=AC，AD=AE则( ) A、当B为定值时CDE为定值 B、当为定值时CDE为定值 C、当为定值时CDE为定值 D、当为定值时CDE为定值 2.( 北京崇文区)如图，在ABC中，AB=AC，BD是ABC的平分线，若ADB=93，则A=( ) A、31B、46. 5C、56D、62 3.(山西省) 如果两个等腰三角形 _，那么这两个等腰三角形全等(只填一种能使结论成立的条件即可). 4.(广西省) 已知如图，点D、E在ABC的边上BC上，且BD=CE，AB=AC，求证：AD=AE。 答案：1、B2、C(提示：由三角形外角及等腰三角形的性质可知ADB=3DBC) 3、一腰与底边对应相等，或底边和底边上的高对应相等，或一腰与顶角对应相等，或底边与顶角对应相等. 4、证明：AB=ACB=C又BD=CEABDACEAD=AE. 2、等腰三角形的判定 考点扫描 掌握等腰三角形的判定定理和推论及其应用. 名师精讲 等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等. 推论1：三个角都相等的三角形是正三角形. 推论2：有一个角等于60的等腰三角形是等边三角形. 推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30. 那么它所对的直角边等于斜边的一半. 注意：等腰三角形的判定定理和性质定理是一对互逆的定理. 但在叙述判定定理时，不要说成“如果三角形的两个底角相等，那么它的两腰也相等. ”因为在没有判定它是等腰三角形以前是无所谓“腰”和“底”的，只有等腰三角形，才有腰和底的名称. 推论1，实质上也是等角对等边的问题，只是三个角都相等，所以所对的三条边也都相等. 它是等边三角形的一个判定定理. 推论2告诉我们，在等腰三角形中，只要有一个角等于60，就可以判定它是等边三角形，不论这个角是顶角还是底角. 这是判定等边三角形的又一种方法. 推论三是由等边三角形的性质推出的关于直角三角形的一个性质，它反映了直角三角形的边角之间的关系. 中考典例 1.( 天津市) 如图，ABC中，B=C，FDBC，DEAB，AFD=158，则EDF等于_度. 考点：等腰三角形的判定 评析：由条件可知ABC是等腰三角形，由AFD=158，可得DFC =22，又B =C，所以BDE =22，再根据互余关系，易求得EDF=68 2.( 杭州市) 如图，AOP=BOP=15，PCOA，PDOA，若PC=4，则PD等于( ) A、4B、3C、2D、1 考点：角平分线、直角三角形的性质，等腰三角形的判定. 评析：因AOP=BOP=15，所以AOB=30. 又PCOA，所以CPO=BOP=15则CP=CO=4，过C点作CEOA于E，根据直角三角形中“30的角所对的直角边是斜边的一半”可得CE=2，再根据“平行线间的距离相等”，得PD=CE=2故应选C. 说明：此题中，辅助线CEOA的作用是，把已知条件OC=4，COD=30及要求的线段PD集中到RtCOE中，便于计算. 3.(浙江绍兴市) 如图在ABC中，D，E分别是AC、AB上的点，BD、CE交于点O，给出下列四个条件，EBO=DCO，BEO=CDO，BE=CD，OB=OC. 上述四个条件中哪两个条件可以判定ABC是等腰三角形(用序号写出所有情况) 选择其中一种情况证明ABC是等腰三角形. 考点：等腰三角形的判定 评析：该题考查学生在运用全等三角形判定的基础上判定三角形ABC是否是等腰三角形，一定要注意隐含条件EOB=DOC根据等腰三角形的判定定理，只要能证明ABC=ACB即可，将此问题转化到一般的三角形全等的判定中去. 所以由、均可达到目的，找到了方法，第二问的证明，先证EOBDOC，于是OB=OC，再证ABC=ACB，可得：AB=AC. 解答过程如下： 解：(1)、；(2)选择EBO=DCO OB=OC 求证：ABC是等腰三角形； 证明：OB=OCOBC=OCB又EBO=DCO ABC=ACBAB=ACABC是等腰三角形. 说明：该题在考查学生综合运用知识解决问题能力的同时，还考查数学转化的思想. 4. (河南省)如图，在等腰RtABC中，C=900，D是斜边AB上任一点，AECD于E，BFCD交CD的延长线于F，CHAB于H，交AE于G，求证：BD=CG。 考点：全等三角形的判定及性质。等腰三角形的性质。 评析：本题证线段相等的方法是证明含两条线段的两个三角形全等，在这两个三角形中只有角相等，所以需要证另外的对应边也相等，把它们归结到另外的两个三角形中，证其全等即可达到解题的目的。 证明：在RtAEC和RtCFB中， AC=CB，AECD于E，BFCD交CD的延长线于F， AEC=CFB=90. 又ACB=90，CAE=90-ACE=BCF. RtAECRtCFB. CE=BF. 在RtBFD和RtCEG中，F=GEC=90，CE=BF. 由FBD=90-FDB=90-CDH=ECG， RtBFDRtCEG. BD=CG. 5. (天津市)如图，ABC中，B=C,FDBC,DEAB,AFD=158，则EDF等于_度。 考点：等腰三角形的性质 评析：思路 因为ABC中B=C，所以AB=AC，又因为DEAB于E，DFBC于D，所以作AGBC于G，则AGFD，又AFD=158，所以GAC=22=GAB，由平行线间的同位角相等，直角三角形两锐角互余，可知EDF=68。 真题专练 1.(河北省)如图，在ABC中，已知B和C的平分线相交于点F. 过点F作DEBC，交AB于点D，交AC于点E，若BD+CE=9，则线段DE的长为( ) A、9B、8C、7D、6 2.( 南昌市)如图，两个全等的直角三角形中都有一个锐角为30且较长的直角边在同一条直线上，则图中的等腰三角形有( ) A、4个B、3个C、2个D、1个 3. (吉林省) 如图，F，C是线段BE上的两点，BF=CE，AB=DE，B=E，QR/BE. 求证：PQR是等腰三角形. 4. (嘉兴市) 如图在ABC中，D是BC中点，DEAB，DFAC，垂足分别为E、F，且BE=CF，求证AB=AC. 答案：1、A 2、B 3、证明：BF=CE，BC=EF. 又B=E，AB=DE， ABCDEF ACB=DFE. 又QRBE， ACB=Q，DFE=R， Q=R， PQR是等腰三角形. 4、提示：运用直角三角形全等的判定，可证明EBDFCD，得B=C，进而可得AB=AC.课外拓展五、课外拓展古堡朝圣问题 传说，从前有一个小孩，他家住在A处，他外婆住在河的同一侧的B处（图1）。小孩非常孝顺，每天上学前都要到河边提一桶水送给外婆。天天如此，他就想，到河边的哪一点去取水，所走的路程最短？如果能找到这条最短的路，既可以节约时间，又可以少费些力气。 这个问题可以这样解 决：先把河岸近似看成直线DE。由A点向DE作垂线交DE与M点（图2），在所引的垂线上截AM=MA，连AB交DE于C，则C为所求的取水的位置。 现在证明AC+BC是符合条件的最短路程。证明的思路是：可以在河岸DE上，除C点外再任选一点C，只要能证明AC+BCAC+BC，就证明了AC+BC是最短路程。 证明：连接AC, BC。 在ACB中，由于三角形两边之和大于第三边，所以AC+CBAB。 由AA的作法中可知DE是AA的中垂线，而中垂线上的点到线段两端的距离相等。因此有AC=AC,AC=AC, 又因为 AC+BC=AC+BC, AB=AC+CB=AC+CB, 由AC+CBAB, 可得AC+BCAC+CB. (证毕） 深入分析一下C点有什么特点呢？ 由图2可以看出1=5（对顶角）， 因为ACMACM (ASA), 1=2（对应角）， 所以2=5 过C作CFDE，显然4=3 以上分析说明了C点处以这样一个特殊位置：过C点作与河岸DE垂直的直线CF，它与AC和BC的夹角是相等的。这是河岸上除C点以外其他点都不具备的性质。