第七章 度量空间和线性赋范空间ch7_4

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第七章 度量空间和线性赋范空间,7.4,柯西（,Cauchy),点列和完备度量空间,教学目标：,1,、掌握柯西点列及完备度量空间的定义；,2,、会利用定义证明几类典型空间的完备性，培养知识,迁移能力,；,3,、掌握并不是所有度量空间都完备，并会证明空间的,不完备性,教学重点：完备度量空间的定义，定理,1.,教学难点：,定理,1,的应用，空间完备性的证明,存在正整数 当,时有 则称是中的柯西点列,.,类似地可以定义度量空间中的柯西点列,.,首先回忆一下,中柯西点列的定义,.,设,是,中的点列，如果对任意给定的整数,定义,1,设,是度量空间，是 中的点列,如果对任何事先给定的整数,存在正整数 是当 时，必有 则称 是 中的柯西点列或基本点列,.,如果度量空间 中每个柯西点列都在 中收敛，那么称 是完备的度量空间,.,注意：这里要求在 中存在一点，使该柯西点列收敛到这一点,.,由度量空间的定义，立即可知有理数全体按绝对值距离构成的空间不完备，但 维欧氏空间 则是完备的度量空间,.,在一般的度量空间中，柯西点列不一定收敛，但是度量空间中的每一个收敛点列都是柯西点列,.,实际上，如果 那么对任何正数,存在 使当 时，有,因此，当 时，由三点不等式，得到,即 是柯西点列,.,例,1,是完备度量空间,.,证明 设 是 中的柯西点列，其中,于是对于任意 存在正整数 当 时，,(1),因此，对每一个固定的 当 时，成立,(2),这就是说，数列 是柯西点列，因此，存在数 使得,令 下面证明 且 在,(2),式中,令 我们得到，对一切 成立,(3),又因 因此存在实数 使得对所有 成立,因此，,这就证明了 由,(3),式，可知对一切 成立,所以 因此 是完备度量空间,.,证毕,.,令 表示所有收敛的实（或复）数列全体，对 中任意两点,令,易证 是一度量空间，实际上它是 的一个子空间,.,定理,1,完备度量空间,X,的子空间,M,，是完备空间的充要条件为,M,是,X,中的闭子空间,.,证明,设,M,是完备子空间，对每个 存在,M,中的点列,使,由前述，是,M,中柯西点列，所以在,M,中收敛，由极限的唯一性可知,即,所以 因此,M,是闭子空间,.,反之，如果 是,M,中柯西点列，因,X,是完备度量空间，所以存在 使,由于,M,是,X,中闭子空间，所以,即 在,M,中收敛,.,这就证明了,M,是完备度量空间,.,证毕,.,例,2,是完备的度量空间,.,证明 有定理,1,，只要证 是 中的闭子空间即可,.,对任何 存在,因此对任何正数 存在正整数 当,时，对所有自然数 成立,特别取 那么对所有 有,但因 即 当 时收敛，因此存在 使对当 时，有,于是当 时，成立,这说明 是柯西数列，因而收敛，即 所以 是 中的闭,子空间,.,证毕,.,例,3,是完备的度量空间,.,设 是 中的柯西点列,.,于是对任何正数 存在正整数 使对一切 有,(4),因此对任何 有,这说明当 固定时，是柯西数列，所以存在 使,下面证明 是 上连续函数，且,事实上，在（,4,）中令 那么可以得到当 时，成立,(5),这说明 在 上一致收敛于 ，由数学分析知，是 上连续函数，因此,且由（,5,）知，当 时，,即 这说明了 是完备度量空间,.,证毕,.,下面举一个不完备空间的例子,.,例,4,设 表示闭空间 上连续函数全体，对任何 令,那么 成为度量空间,.,上面定义的度量空间 不完备,.,证明 令,那么，,是 中的柯西点列,.,事实上，对任何正数 当 时,但对每一个,如果 必有,但由于 在 上连续，所以 在 上恒为,0,，在 上恒为,1,，所以,这与 在 连续矛盾，因此 不完备,.,证毕,.,