2019-2020年高考数学大一轮复习 第五章 第31课 余弦定理与解三角形要点导学.doc

2019-2020年高考数学大一轮复习 第五章 第31课 余弦定理与解三角形要点导学余弦定理的简单运用在ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,且=-.(1) 求角B的大小;(2) 若b=,a+c=4,求ABC的面积.思维引导由=-及余弦定理将条件转化为边的关系求解.解答(1) 由余弦定理知cosB=,cosC=.将上式代入=-,得=-,整理得a2+c2-b2=-ac.所以cosB=-.因为B为三角形的内角,所以B=.(2) 将b=,a+c=4,B=代入b2=a2+c2-2accosB,得b2=(a+c)2-2ac-2accosB,所以13=16-2ac,所以ac=3.所以SABC=acsinB=.精要点评(1) 根据所给等式的结构特点利用余弦定理将角化边进行变形是迅速解答本题的关键.(2) 熟练运用余弦定理及其推论,同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运用.(xx安徽卷)在ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且a2=b2+c2+ab.(1) 求A;(2) 设a=,S为ABC的面积,求S+3cos Bcos C的最大值,并指出此时角B的大小.解答(1) 由余弦定理得cosA=-=-.又因为0A,所以A=.(2) 由(1)得sinA=.又由正弦定理及a=,得S=bcsinA=asinC=3sinBsinC.因此S+3cos Bcos C=3(sinBsinC+cosBcosC)=3cos(B-C),所以,当B=C时,S+3cosBcosC取得最大值3,此时B=.利用余弦定理判断三角形的形状在ABC中,已知(a+b+c)(a+b-c)=3ab,且sinAsinB=,试判断ABC的形状.思维引导已知条件等式中既有边又有角,因此考虑将边与角的混合关系转化为只含有边或者只含有角的关系,再作判断.解答由(a+b+c)(a+b-c)=3ab(a+b)2-c2=3aba2+b2-c2=ab,所以cosC=.因为0C180,所以C=60,A+B=120,所以cos(A+B)=-,即cosAcosB-sinAsinB=-,又sinAsinB=,所以cosAcosB=,+得cos(A-B)=1.因为-A-Bc.已知=2,cosB=,b=3.(1) 求a和c的值;(2) 求cos(B-C)的值.思维引导(1) 根据向量数量积的定义将用a,c表示,再结合余弦定理解出a和c;(2) 分别求出sinB和cosC,然后利用两角差的余弦公式求出cos(B-C)的值.解答(1) 由=2,得cacosB=2,又cosB=,所以ac=6.由余弦定理,得a2+c2=b2+2accosB,又b=3,所以a2+c2=13.由解得或因为ac,所以a=3,c=2.(2) 在ABC中,sinB=.由正弦定理得sinC=sinB=.因为a=bc,所以C为锐角,因此cosC=.所以cos(B-C)=cosBcosC+sinBsinC=+=.(xx陕西卷)已知ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.(1) 若a,b,c成等差数列,求证:sinA+sinC=2sin(A+C);(2) 若a,b,c成等比数列,求cosB的最小值.解答(1) 因为a,b,c成等差数列,所以a+c=2b.由正弦定理得sinA+sinC=2sinB.因为sinB=sin-(A+C)=sin(A+C),所以sinA+sinC=2sin(A+C).(2) 因为a,b,c成等比数列,所以b2=ac.由余弦定理得cosB=,当且仅当a=c时等号成立,所以cosB的最小值为.已知ABC的周长为4(+1),且sin B+sin C=sin A.(1) 求a的值;(2) 若SABC=3sin A,求角A的余弦值.规范答题(1) 根据正弦定理可将sin B+sin C=sin A化为b+c=a.(3分)联立方程组解得a=4.(6分)(2) 因为SABC=3sin A,所以bcsin A=3sin A,则bc=6.(10分)又由(1)可知b+c=4,所以cos A=.(13分)因此,角A的余弦值是.(14分)1. 已知ABC的内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.若a2+ab+b2-c2=0,则角C的大小是.答案2. (xx天津卷)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知b-c=a,2sinB=3sinC,那么cosA的值为.答案-解析因为2sinB=3sinC,所以2b=3c.又b-c=,所以a=2c,b=c,所以cosA=-.3. 在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a2-c2=2b,且sin Acos C=3cos Asin C,则b=.答案4解析在ABC中,因为sin Acos C=3cos Asin C,则由正弦定理及余弦定理得a=3c,化简得2(a2-c2)=b2.又由a2-c2=2b,得4b=b2,解得b=4或b=0(舍去).4. (xx全国卷)已知a,b,c分别为ABC三个内角A,B,C的对边,a=2,且(2+b)(sinA-sinB)=(c-b)sin C,则ABC面积的最大值为.答案解析根据正弦定理和a=2可得(a+b)(a-b)=(c-b)c,故得b2+c2-a2=bc,根据余弦定理得cosA=,所以A=.根据b2+c2-a2=bc及基本不等式得bc2bc-a2,即bc4,所以ABC面积的最大值为4=.温馨提醒趁热打铁,事半功倍.请老师布置同学们完成配套检测与评估中的练习(第61-62页).