2019-2020年高考数学大一轮复习 第七章 第41课 数列的递推关系与求和要点导学.doc

2019-2020年高考数学大一轮复习 第七章 第41课 数列的递推关系与求和要点导学数列的递推关系已知数列an中,其中Sn为数列an的前n项和,并且Sn+1=4an+2(nN*),a1=1.(1) 设bn=an+1-2an(nN*),求证:数列bn是等比数列;(2) 设数列cn满足cn=(nN*),求证:数列cn是等差数列.思维引导(1) 首先条件中Sn+1=4an+2如何处理,通常要归一,即一是转化为相邻三项的关系;二是转化为和之间的关系,这里是转化为相邻三项的关系,接下来根据等比数列的定义,易得数列bn是等比数列;(2) 根据等差数列的定义,结合(1)不难证明数列bn是等比数列.证明(1) 因为Sn+1=4an+2,所以Sn+2=4an+1+2,两式相减得Sn+2-Sn+1=4an+1-4an,即an+2=4an+1-4an,变形得an+2-2an+1=2(an+1-2an),因为bn=an+1-2an,则有bn+1=2bn(nN*),又a1=1,S2=4a1+2a2=5,从而b1=a2-2a1=5-2=30,由此可知,数列bn是公比为2的等比数列.(2) 由(1)知bn=32n-1,因为cn=,所以cn+1-cn=-=,将bn=32n-1代入得cn+1-cn=(nN*),由此可知,数列cn是公差为、首项c1=的等差数列.在数列an中,已知a1=1,an+1=,求an.思维引导对递推关系的两边取倒数,可以得到与之间的递推关系.运用累加法公式,先求出的通项公式,再求出an的通项公式,这体现了转化思想的运用.解答原式可化为-=n,所以-=n-1,-=n-2, -=1,累加得-=(n-1)+(n-2)+1,所以=+1,所以an=.精要点评求数列的通项公式,特别是由递推公式给出数列时,除迭加、迭代、累乘外,还应注意配凑变形法.变形的主要目的是凑出容易解决问题的等差或等比数列,然后再结合等差、等比数列的运算特点解决原有问题.证明问题,可根据递推公式写出前几项,由此猜测归纳出通项公式,再证明.利用裂项相消法求数列的和在等比数列an中,已知S3=,S6=.(1) 求数列an的通项公式; (2) 记bn=log4a3+log4a4+log4an+2,且cn=,试比较与4的大小.思维引导构造方程求数列an的首项与公比,然后求通项公式;由an求bn,再求cn,求cn的和时,因出现式子,故可用裂项相消法求和.解答(1) 若q=1,则S6=2S3,这与已知S3=且S6=不符,所以q1.因此有化简得1+q3=9,即q=2,所以a1=,则数列an的通项公式为an=2n-1=2n-2.(2) bn=log4a3+log4a4+log4an+2=(log2a3+log2a4+log2an+2) =(1+2+3+n)=,所以cn=4,则=4=4=.又-4=0,所以a1=2.(2分)当n2时,Sn=(an-1)(an+2),Sn-1=(an-1-1)(an-1+2).两式相减得(an+an-1)(an-an-1-1)=0.(6分)又因为an0,所以an+an-10,所以an-an-1=1.所以an=n+1.(8分)(2) T2n=-a1a2+a2a3-a3a4+a4a5-a5a6+a2n-2a2n-1-a2n-1a2n+a2na2n+1=2(a2+a4+a2n).(11分)又a2,a4,a2n是首项为3、公差为2的等差数列,所以a2+a4+a2n=n2+2n.故T2n=2n2+4n(14分)1. 在数列an中,a1=1,an+1=(n=1,2,3,),则a10= .答案解析对an+1=取倒数,得=+1,即-=1,由此可知数列是以为首项、1为公差的等差数列,从而=+91=10,因此a10=.2. 已知等差数列an的前n项和为Sn,a5=5,S5=15,则数列 的前100项和为.答案解析由a5=5,S5=15,得a1=1,d=1,所以an=1+(n-1)=n,所以=-,所以+=-+-+-=1-=.3. 在数列an中,a1=1,an+1=2an+2n,则数列an的通项公式是an= .答案n2n-1解析因为an+1=2an+2n,同除以2n+1,得=+,即-=,所以数列是首项为、公差为的等差数列,所以=,所以an=n2n-1.4. 已知正项数列an满足-(2n-1)an-2n=0.(1) 求数列an的通项公式an;(2) 令bn=,求数列bn的前n项和Tn.解答(1) 由-(2n-1)an-2n=0,得(an-2n)(an+1)=0.由于an是正项数列,所以an=2n.(2) 由(1)知an=2n,故bn=,所以Tn=.温馨提醒趁热打铁,事半功倍.请老师布置同学们完成配套检测与评估中的练习(第81-82页).