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2019年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程双基限时练13(含解析)新人教A版选修1-11直线l经过抛物线y24x的焦点,且与抛物线相交于A,B两点,若弦AB中点的横坐标为3,则|AB|为()A4 B8C6 D10解析由题可知,抛物线的准线方程为x1,焦点为F,AB中点到准线的距离为314,|AB|AF|BF|248.答案B2已知点M(4,1),F为抛物线C:y24x的焦点,点P在抛物线上,若|PF|PM|取最小值,则点P的坐标是()A(0,0) B(1,2)C(,1) D(2,2)解析如图所示,l为抛物线的准线,过P作PPl于P,过M作MNl于N,|PF|PM|PP|PM|MN|.当|PF|PM|取小值时,P的纵坐标为1,代入抛物线方程可得P的坐标为(,1)答案C3若直线axy10经过抛物线y24x的焦点,则实数a为()A1 B1C D2解析抛物线的焦点为(1,0),代入直线方程为a10,a1.答案A4已知点P是抛物线y22x上的一个动点,则点P到点(0,2)的距离与P到抛物线准线的距离之和的最小值为()A3 B.C. D.解析根据抛物线定义,点P到准线的距离转化为到焦点F(,0)的距离,故为(0,2)和(,0)的距离为.答案B5已知抛物线y4ax2(a0)的准线与圆x2y2mx0相切,且此抛物线上的点A(x0,2)到焦点的距离等于3,则m()A BC1 D0解析抛物线y4ax2的准线方程为y,由题知23,a.抛物线的准线为y1,圆的方程可化为(x)2y2,由圆与抛物线的准线相切可得 1,即m,故选A.答案A6P(x0,y0)是抛物线x22py(p0)上任一点,则P到焦点的距离是_解析抛物线的准线为y,P到焦点的距离为y0.答案y07抛物线y4x2上一点P,则P到直线y4x5的距离的最小值为_解析设P(x,y),则d.答案8抛物线y22px(p0)上有一点纵坐标为4,这点到准线的距离为6,则抛物线的方程为_解析设点(x0,4),则(4)22px0,x0.又由抛物线的定义可知x06,6,即p212p320,解得p4,或p8.抛物线方程为y28x,或y216x.答案y28x,或y216x9已知点A(x,y)在抛物线y24x上运动,求zx2y23的最小值解A在抛物线上,x0,zx2y23x22x3,二次函数zx22x3的对称轴为x1.在0,)上是增函数当x0时,z有最小值3.10线段AB过x轴正半轴上一定点M(m,0),端点A,B到x轴的距离之积为2m,以x轴为对称轴,过A,O,B三点作抛物线,求抛物线的方程解画图可知抛物线方程为y22px(p0),直线AB的方程为xkym,由消去x,整理得y22pky2pm0.由根与系数的关系得y1y22pm.由题设|y1|y2|2m,则p1.故抛物线方程为y22x.11一顶点在坐标原点,焦点在x轴上的抛物线截直线2xy40所得的弦长为3,求抛物线的方程解设抛物线方程为y22px(p0),将直线方程y2x4代入,并整理得2x2(8p)x80.设方程的两个根为x1,x2,则根据韦达定理有x1x2,x1x24.由弦长公式,得(3)2(122)(x1x2)24x1x2,即9()216.整理得p216p360,解得p2,或p18,此时0.故所求的抛物线方程为y24x,或y236x.12如图,已知直线l:y2x4交抛物线y24x于A,B两点,试在抛物线AOB这段曲线上求一点P,使PAB的面积最大,并求出这个最大面积解由解得或A(4,4),B(1,2)|AB|3.设P(x0,y0)为抛物线AOB这段曲线上一点,d为点P到直线AB的距离,则d|(y01)29|.2y04,当y01时,d有最大值.从而PAB的最大面积为S3.此时P.因此,当P时,PAB的面积取得最大值,最大值为.
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