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7.3合情推理与演绎推理,知识梳理,考点自测,1.合情推理归纳推理和类比推理都是根据已有的事实,先经过观察、分析、比较、联想,再进行归纳、,然后提出猜想的推理,我们把它们统称为合情推理.,类比,部分对象,全部对象,个别事实,一般结论,某些类似特征,某些已知特征,部分整体,特殊一般,特殊特殊,知识梳理,考点自测,知识梳理,考点自测,2.演绎推理(1)定义:从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论,我们把这种推理称为演绎推理.(2)特点:演绎推理是由一般到特殊的推理.(3)模式:“三段论”是演绎推理的一般模式:,条件,特殊问题,M是P,S是M,知识梳理,考点自测,知识梳理,考点自测,1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”.(1)归纳推理得到的结论不一定正确,类比推理得到的结论一定正确.()(2)归纳推理与类比推理都是由特殊到一般的推理.()(3)在类比时,平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适.()(4)演绎推理是由特殊到一般再到特殊的推理.()(5)演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确时,得到的结论一定正确.(),知识梳理,考点自测,2.(2017安徽滁州模拟)若大前提是:任何实数的平方都大于0,小前提是:aR,结论是:a20,则这个演绎推理出错在()A.大前提B.小前提C.推理过程D.没有出错,A,解析:本题中大前提是错误的,因为0的平方不大于0,故选A.,知识梳理,考点自测,3.(教材习题改编P7T1)如图,根据图中的数构成的规律,a表示的数是()122343412124548a485A.12B.48C.60D.144,D,解析:由题干图中的数据可知,每行除首末两数外,其他数等于其上一行两肩上的数字的乘积.所以a=1212=144.,知识梳理,考点自测,4.(2017全国,文9)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩.老师说:你们四人中有2位优秀,2位良好,我现在给甲看乙、丙的成绩,给乙看丙的成绩,给丁看甲的成绩,看后甲对大家说:我还是不知道我的成绩.根据以上信息,则()A.乙可以知道四人的成绩B.丁可以知道四人的成绩C.乙、丁可以知道对方的成绩D.乙、丁可以知道自己的成绩,D,解析:由甲的说法知乙、丙一位优秀一位良好.则甲、丁也是一位优秀一位良好;乙看到丙的成绩则知道自己的成绩.又丁看到甲的成绩,所以丁也知道自己的成绩,故选D.,知识梳理,考点自测,5.(教材习题改编P7T2)在平面上,若两个正三角形的边长的比为12,则它们的面积比为14.类似地,在空间中,若两个正四面体的棱长的比为12,则它们的体积比为.,18,解析:由平面图形的面积类比立体图形的体积得出:在空间内,若两个正四面体的棱长的比为12,则它们的底面积之比为14,对应高之比为12,所以体积比为18.,考点一,考点二,考点三,考点四,归纳推理(多考向)考向1数的归纳例1观察下列各式:55=3125,56=15625,57=78125,则52016的末四位数字为()A.3125B.5625C.0625D.8125,C,解析:58=390625,59=1953125,由此看出,末四位数字具有周期性,且周期为4,又2016=4504,由此知52016的末四位数字应为0625,故选C.,思考进行数的归纳时,应注意观察数的什么变化?,考点一,考点二,考点三,考点四,考向2式的归纳,根据以上事实,由归纳推理可得:当nN*且n2时,fn(x)=f(fn-1(x)=.,考点一,考点二,考点三,考点四,思考进行式的归纳时,应注意寻找什么?,考点一,考点二,考点三,考点四,考向3形的归纳例3仔细观察下面4个数字所表示的图形:请问:数字100所代表的图形中小方格的个数为.,20201,解析:观察所给图形知,数字i+1所代表的图形比数字i所代表的图形多4(i+1)个小方格.因此数字100所代表的图形中小方格的个数为1+14+24+34+1004=20201.,思考进行形的归纳时,主要归纳什么的变化?,考点一,考点二,考点三,考点四,解题心得归纳推理的三个类型1.数的归纳包括数字归纳和等式、不等式的归纳,解决此类问题时,需要细心观察,寻找数字变化与项数的关系或数字变化的周期性.2.式的归纳可根据已知或所求的式子寻找每个式子都具有的规律.3.形的归纳主要包括图形数目归纳和图形变化规律归纳.,考点一,考点二,考点三,考点四,对点训练1(1)观察下列特殊的不等式:,考点一,考点二,考点三,考点四,(2)观察下列各式:a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4,a4+b4=7,a5+b5=11,则a8+b8=.(3)用火柴棒摆“金鱼”,如图所示:按照上面的规律,第n条“金鱼”需要火柴棒的根数为.,47,6n+2,考点一,考点二,考点三,考点四,考点一,考点二,考点三,考点四,(2)通过观察发现,从第三项起,等式右边的常数分别为其前两项等式右边的常数的和.因此,a6+b6=11+7=18,a7+b7=18+11=29,a8+b8=29+18=47,故答案为47.(3)由图形间的关系可以看出,第一个图中有8根火柴棒,第二个图中有8+6根火柴棒,第三个图中有8+26根火柴棒,以此类推第n个“金鱼”需要火柴棒的根数是8+6(n-1),即6n+2.,考点一,考点二,考点三,考点四,类比推理,考点一,考点二,考点三,考点四,思考类比推理的关键是什么?解题心得类比推理的关键及类型1.进行类比推理,应从具体问题出发,通过观察、分析、联想进行对比,提出猜想.其中找到合适的类比对象是解题的关键.2.类比推理常见的情形有:平面与空间类比;低维与高维类比;等差数列与等比数列类比;运算类比(加与积,乘与乘方,减与除,除与开方);数的运算与向量运算类比;圆锥曲线间的类比等.,考点一,考点二,考点三,考点四,考点一,考点二,考点三,考点四,考点一,考点二,考点三,考点四,演绎推理例5下面四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是()A.大前提:无限不循环小数是无理数;小前提:是无理数;结论:是无限不循环小数B.大前提:无限不循环小数是无理数;小前提:是无限不循环小数;结论:是无理数C.大前提:是无限不循环小数;小前提:无限不循环小数是无理数;结论:是无理数D.大前提:是无限不循环小数;小前提:是无理数;结论:无限不循环小数是无理数,B,解析:A中小前提不是大前提的特殊情况,不符合三段论的推理形式,故A错;C,D都不是由一般性命题到特殊性命题的推理,所以A,C,D都不正确,只有B正确,故选B.,考点一,考点二,考点三,考点四,思考演绎推理中得出的结论一定正确吗?解题心得演绎推理的前提和结论之间有着某种蕴含关系,解题时要找准正确的大前提.一般地,若大前提不明确时,一般可找一个使结论成立的充分条件作为大前提,只要大前提、小前提和推理形式是正确的,结论必定是正确的.,考点一,考点二,考点三,考点四,对点训练3已知函数y=f(x)满足:对任意a,bR,ab,都有af(a)+bf(b)af(b)+bf(a),(1)试证明:f(x)为R上的单调增函数;(2)若x,y为正实数且,比较f(x+y)与f(6)的大小.,考点一,考点二,考点三,考点四,(1)证明设x1,x2R,且x1x1f(x2)+x2f(x1),所以x1f(x1)-f(x2)+x2f(x2)-f(x1)0,f(x2)-f(x1)(x2-x1)0.因为x10,所以f(x2)f(x1).所以y=f(x)为R上的单调增函数.,考点一,考点二,考点三,考点四,生活中的合情推理例6(2017北京,文14)某学习小组由学生和教师组成,人员构成同时满足以下三个条件:()男学生人数多于女学生人数;()女学生人数多于教师人数;()教师人数的两倍多于男学生人数.若教师人数为4,则女学生人数的最大值为;该小组人数的最小值为.,6,12,考点一,考点二,考点三,考点四,解析:设男学生人数为x,女学生人数为y,教师人数为z,则有2zxyz,x,y,zN*.教师人数为4,即z=4,8xy4,所以y的最大值为6,故女学生人数的最大值为6.由题意知2zxyz,x,y,zN*.当z=1时,2xy1,x,y不存在;当z=2时,4xy2,x,y不存在;当z=3时,6xy3,x=5,y=4,此时该小组人数最小,最小值为5+4+3=12.,考点一,考点二,考点三,考点四,思考如何解决生活中的合情推理问题?解题心得在进行合情推理时,要依据一定的“规则”已知条件、公式、法则、推理等;只有不断地观察、比较、分析、推理,才能得到正确的答案.,考点一,考点二,考点三,考点四,对点训练4学生的语文、数学成绩均被评定三个等级,依次为“优秀”“合格”“不合格”.若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙,且其中至少有一门成绩高于乙,则称“学生甲比学生乙成绩好”.如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好,并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生,那么这组学生最多有()A.2人B.3人C.4人D.5人,B,解析:学生甲比学生乙成绩好,即学生甲两门成绩中一门高过学生乙,另一门不低于学生乙.一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好,并且没有相同的成绩,则存在的情况是,最多有3人,其中一个语文最好,数学最差;另一个语文最差,数学最好;第三个人成绩均为中等.故选B.,考点一,考点二,考点三,考点四,1.合情推理与演绎推理的区别(1)归纳推理是由特殊到一般的推理;(2)类比推理是由特殊到特殊的推理;(3)演绎推理是由一般到特殊的推理;(4)从推理的结论来看,合情推理的结论不一定正确,有待证明;而演绎推理若大前提、小前提和推理形式正确,得到的结论一定正确.2.在数学研究中,在得到一个新结论前,合情推理能帮助猜测和发现结论.在证明一个数学结论之前,合情推理常常能为证明提供思路与方向.数学结论的证明主要通过演绎推理来进行.3.“三段论”式的演绎推理一定要保证大前提正确,且小前提是大前提的子集关系,这样经过正确推理,才能得出正确结论.,考点一,考点二,考点三,考点四,1.演绎推理常用来证明和推理数学问题,要注意推理过程的严密性、书写格式的规范性.2.合情推理中运用猜想时不能凭空想象,要有猜想或拓展依据.,
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