2019年高考数学二轮复习 导数及应用.doc

2019年高考数学二轮复习 导数及应用1(xx全国新课标理高考)设曲线yaxln(x1)在点(0,0)处的切线方程为y2x，则a()A0B1C2D3【解析】f(x)axln (x1)，f(x)a，f(0)0且f(0)a12，解得a3，故选D.【答案】D(文)(xx江西高考)若曲线yxln x上点P处的切线平行于直线2xy10，则点P的坐标是_【解析】yln x1，切线的斜率为2.ln x12，xeyeln eep(e，e). 【答案】(e，e)2(理)(xx陕西高考)定积分10(2xex)dx的值为()Ae2 Be1 Ce De1【解析】10(1e1)e01e1e，故选C.【答案】C(文)(xx全国新课标文高考)函数f(x)在xx0处导数存在若p：f(x0)0；q：xx0是f(x)的极值点，则()Ap是q的充分必要条件Bp是q的充分条件，但不是q的必要条件Cp是q的必要条件，但不是q的充分条件Dp既不是q的充分条件，也不是q的必要条件【解析】设f(x)x3，f(0)0，但是f(x)是单调增函数，在x0处不存在极值，故若p则q是一个假命题，由极值的定义可得若q则p是一个真命题故选C.【答案】C3(xx全国大纲高考)若函数f(x)x2ax在(，)是增函数，则a的取值范围是()A1,0B1，)C0,3 D3，)【解析】由题意知f(x)0对任意的x(，)恒成立，又f(x)2xa，所以2xa0对任意的x(，)恒成立，分离参数得a2x，若满足题意，需a(2x)max.令h(x)2x，x(，)因为h(x)2，所以当x(，)时，h(x)0，即h(x)在(，)上单调递减，所以h(x)0，所以当x(0,2)时，f(x)0，函数yf(x)单调递增所以f(x)的单调递减区间为(0,2)，单调递增区间为(2，)(2)由(1)知，k0时，函数f(x)在(0,2)内单调递减，故f(x)在(0,2)内不存在极值点；当k0时，设函数g(x)exkx，x(0，)因为g(x)exkexeln k，当00，yg(x)单调递增故f(x)在(0,2)内不存在两个极值点；当k1时，得x(0，ln k)时，g(x)0，函数yg(x)单调递增所以函数yg(x)的最小值为g(ln k)k(1ln k)函数f(x)在(0,2)内存在两个极值点，当且仅当解得ekxx.【解】(1)函数定义域为(0，)，f(x)ln x2ax，因为f(x)在x1处取得极值，所以f(1)0，即2a0，所以a0.检验，a0符合条件(2)由题意，得xln xax2xx，所以xln xax2.设h(x)，则h(x).令h(x)0，得0xe，所以h(x)在(0，e)上单调递增；令h(x)e，所以h(x)在(e，)上单调递减所以h(x)maxh(e)，所以a.(3)由(2)知h(x)在(e，)上单调递减，所以当xe时，h(x)h(x1)，即，所以(x1)ln xxln(x1)，所以lnxx1ln(x1)x，所以xx1(x1)x，令x2 014，得2 0142 0152 0152 014.【规律方法】1.利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法：(1)分离参数法：第一步：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题；第二步：利用导数求该函数的最值；第三步：根据要求得所求范围(2)函数思想法：第一步：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题；第二步：利用导数求该函数的极值(最值)；第三步：构建不等式求解2利用导数证明不等式的步骤：(1)依据待证不等式的特征、变量的取值范围及不等式的性质，将待证不等式化简(2)依据不等式构造函数(3)利用导数研究函数的单调性，求其最值(4)依据单调性及最值，得到待证不等式创新预测4(xx山东济宁一模)已知f(x)xlnx，g(x)x2ax3.(1)求函数f(x)的最小值；(2)对一切x(0，)，2f(x)g(x)恒成立，求实数a的取值范围(3)证明：对一切x(0，)，都有ln x成立【解】(1)f(x)ln x1，当x时，f(x)0，f(x)单调递增所以f(x)的最小值为f.(2)2xln xx2ax3，则a2ln xx.设h(x)2ln xx(x0)，则h(x)，当x(0,1)时，h(x)0，h(x)单调递增，所以h(x)minh(1)4.因为对一切x(0，)，2f(x)g(x)恒成立，所以ah(x)min4，即a的取值范围为(，4(3)证明：问题等价于证明xln x(x(0，)由(1)可知f(x)xln x(x(0，)的最小值是，当且仅当x时取到设m(x)(x(0，)，则m(x)，易知m(x)maxm(1)，从而对一切x(0，)，都有ln x成立总结提升通过本节课的学习，需掌握如下三点：失分盲点(1)记错导数公式或用错求导法则(2)求切线方程时忽视“在某点处的切线”与“过某点的切线”的不同(3)忽视函数的定义域：尤其是函数式子有对数符号时，最容易忘掉对数的真数大于零这个隐含条件(4)忽视边界值：由f(x)单调递增(减)，应该推出f(x)0(0)也就是导数大于零(小于零)是函数为增(减)函数的充分不必要条件(5)“存在一个使成立”与“对一切使成立”完全不同(6)分离参数时要注意不等号的方向，必要时要进行分类讨论答题指导(1)看到函数的导数，想到常见函数的导数公式和求导法则(2)看到曲线在某点处的导数，想到可用导数的几何意义求切线的斜率(3)在利用导数研究函数综合问题时，首先要注意函数的定义域，其次要注意函数的单调性与导函数值间的关系，若含有参数，一定要注意参数的取值范围方法规律(1)利用导数判断单调性的方法，利用导数求极值、最值的方法(2)利用函数的最值法求不等式中的参数问题；利用分离参数法解决不等式中的参数问题；利用构造函数法证明不等式；利用数形结合法解决函数零点个数问题.构造中的“顺其自然”构造新的函数与被证明不等式相吻合，是推理论证能力的较高要求，如何使新的函数与不等式“自然接轨”，决定了推理论证的简捷程度构造函数比较大小是较为常见的问题，体现了推理论证能力与运算能力的结合【例1】(xx湖南高考)若0x1x21，则()Aex2ex1ln x2ln x1 Bex2ex1ln x2ln x1Cx2ex1x1ex2 Dx2ex1x1ex2【解析】A，B中构造函数f(x)exlnx，f(x)ex，在(0,1)上有零点，故A，B错；C，D中令g(x)，g(x)0，g(x)在(0,1)单调递减，又x2x1，故选C.【答案】C【例2】(xx山东济南一模)已知f(x)定义域为(0，)，f(x)为f (x)的导函数，且满足f(x)(x1)f(x21)的解集是 ()A(0,1) B(1，)C(1,2) D(2，)【解析】因为f(x)xf(x)0，所以(xf(x)(x21)f(x21)，所以x12.故选D.【答案】D【规律感悟】构造可导函数比较大小体现了推理论证能力与运算技巧的结合，对构造的新函数求导后能够很简单地利用已知条件进行单调性判断，从而使问题的解决“顺流而下”求导法则要熟记；几个活跃函数要“信手拈来”，如ln x，ex，xln x，xex等；必要的“试探运算”也是解题时需要注意的，很大程度上是确定新函数的“必经之路”.建议用时实际用时错题档案45分钟一、选择题1(xx东北三校第一次联考)已知函数f(x)1，g(x)aln x，若在x处函数f(x)与g(x)的图象的切线平行，则实数a的值为()A.B.C1 D4【解析】由题意可知f()x|xg()，可得a，经检验，a满足题意【答案】A2(理)(xx大庆质检)一列火车在平直的铁轨上行驶，由于遇到紧急情况，火车以速度v(t)5t(t的单位：s，v的单位：m/s)紧急刹车至停止在此期间火车继续行驶的距离是()A55 ln 10 m B55 ln 11 mC(1255 ln 7)m D(1255 ln 6)m【解析】令5t0，注意到t0，得t10，即经过的时间为10 s；行驶的距离s(5t)dt5tt255ln(t1)10055ln 11，即紧急刹车后火车运行的路程为55 ln11 m故选B.【答案】B(文)(预测题)函数yx2ln x的单调递减区间为()A(1,1) B(0,1)C(1，) D(0，)【解析】根据函数的导数小于0的解集就是函数的单调减区间求解由题意知，函数的定义域为(0，)，又由yx0，解得0x1，所以函数的单调递减区间为(0,1)故选B.【答案】B3(xx大连双基测试)已知函数f(x)x3ax2xc(xR)，下列结论错误的是()A函数f(x)一定存在极大值和极小值B若函数f(x)在(，x1)，(x2，)上是增函数，则x2x1C函数f(x)的图象是中心对称图形D函数f(x)在点(x0，f(x0)(x0R)处的切线与f(x)的图象必有两个不同的公共点【解析】对于A，f(x)3x22ax1，4a2120，因此函数f(x)3x22ax1恒有两个相异零点x3，x4(其中x3x4)，易知函数f(x)的增区间是(，x3)与(x4，)，减区间是(x3，x4)，函数f(x)一定存在极大值与极小值，选项A正确对于B，x3x4，x3x4，x4x3 ，又x1x3，x4x2，因此x2x1x4x3，x2x1的最小值是，选项B正确对于C，注意到f(x)的图象关于点(，f()成中心对称，因此选项C正确(注：函数f(x)ax3bx2cxd(a0)的图象关于点(，f()成中心对称对于D，取ac0得f(x)x3x，f(0)0，f(0)1，此时f(x)x3x的图象在点(0,0)处的切线方程是yx，注意到方程组有唯一实数解，即此时f(x)x3x的图象在点(0,0)处的切线与f(x)的图象有唯一公共点，因此选项D不正确综上所述，选D.【答案】D4(xx江西高考)在同一直角坐标系中，函数yax2x与ya2x32ax2xa(aR)的图象不可能的是 ()【解析】当a0时，D符合题意，对函数ya2x32ax2xa，y(3ax1)(ax1)令y0，x1，x2，yax2x的对称轴为，介于与之间，故B错【答案】B5(xx全国新课标高考)若函数f(x)kxln x在区间(1，)单调递增，则k的取值范围是 ()A(，2 B(，1C2，) D1，)【解析】f(x)k，由题意知f(x)0在(1，)上恒成立，即k0，k恒成立，而1，k1.故选D.【答案】D二、填空题6(文)(xx江西高考)设函数f(x)在(0，)内可导，且f(ex)xex，则f(1)_.【解析】令ext，则xln t，所以f(x)ln xx，即f(x)1，则f(1)112.【答案】2(理)(xx皖南八校联考)adx_.【解析】adx表示圆x2y2a2在第二象限的面积为.【答案】7(xx安徽高考)若直线l与曲线C满足下列两个条件：(i)直线l在点P(x0，y0)处与曲线C相切；(ii)曲线C在点P附近位于直线l的两侧，则称直线l在点P处“切过”曲线C.下列命题正确的是_(写出所有正确命题的编号)直线l：y0在点P(0,0)处“切过”曲线C：yx3直线l：x1在点P(1,0)处“切过”曲线C：y(x1)2直线l：yx在点P(0,0)处“切过”曲线C：ysin x直线l：yx在点P(0,0)处“切过”曲线C：ytan x直线l：yx1在点P(1,0)处“切过”曲线C：yln x【解析】对于，y3x2，y|x00，所以l：y0是曲线C：yx3在点P(0,0)处的切线，画图可知曲线C：yx3在点P(0,0)附近位于直线l的两侧，正确；对于，因为y2(x1)，y|x10，所以l：x1不是曲线C：y(x1)2在点P(1,0)处的切线，错误；对于，ycos x，y|x01，在点P(0,0)处的切线为l：yx，画图可知曲线C：ysin x在点P(0,0)附近位于直线l的两侧，正确；对于，y，y|x01，在点P(0,0)处的切线为l：yx，画图可知曲线C：ytan x在点P(0,0)附近位于直线l的两侧，正确；对于，y，y|x11，在点P(1,0)处的切线为l：yx1，令h(x)x1ln x(x0)，可得h(x)1，所以h(x)minh(1)0，故x1ln x，可知曲线C：yln x在点P(1,0)附近位于直线l的下侧，错误【答案】8(xx辽宁高考)当x2,1时，不等式ax3x24x30恒成立，则实数a的取值范围是_【解析】当x0时，ax3x24x30变为30恒成立，即aR.当x(0,1时，ax3x24x3，a，amax.设(x)，(x)0，(x)在(0,1上递增，(x)max(1)6.a6.当x2,0)时，a，amin.仍设(x)，(x).当x2，1)时，(x)0，当x(1,0)时，(x)0.当x1时，(x)有极小值，即为最小值而(x)min(1)2，a2.综上知6a2.【答案】6，2三、解答题9(xx重庆高考)某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000元(为圆周率)(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大【解】(1)因为蓄水池侧面的总成本为1002rh200rh元，底面的总成本为160r2元，所以蓄水池的总成本为(200rh160r2)元又据题意200rh160r212 000，所以h(3004r2)，从而V(r)r2h(300r4r3)因为r0，又由h0可得r0，故V(r)在(0,5)上为增函数；当r(5,5)时，V(r)0，故V(r)在(5,5)上为减函数由此可知，V(r)在r5处取得最大值，此时h8.即当r5，h8时，该蓄水池的体积最大10(xx陕西高考)设函数f(x)ln x，mR.(1)当me(e为自然对数的底数)时，求f(x)的极小值；(2)讨论函数g(x)f(x)零点的个数；(3)若对任意ba0，1恒成立，求m的取值范围【解】(1)由题设，当me时，f(x)ln x，则f(x)，当x(0，e)，f(x)0，f(x)在(0，e)上单调递减，当x(e，)，f(x)0，f(x)在(e，)上单调递增，xe时，f(x)取得极小值f(e)ln e2，f(x)的极小值为2.(2)由题设g(x)f(x)(x0)，令g(x)0，得mx3x(x0)设(x)x3x(x0)，则(x)x21(x1)(x1)，当x(0,1)时，(x)0，(x)在(0,1)上单调递增；当x(1，)时，(x)0，(x)在(1，)上单调递减x1是(x)的唯一极值点，且是极大值点，因此x1也是(x)的最大值点(x)的最大值为(1).又(0)0，结合y(x)的图象(如图)，可知当m时，函数g(x)无零点；当m时，函数g(x)有且只有一个零点；当0m时，函数g(x)有两个零点；当m0时，函数g(x)有且只有一个零点综上所述，当m时，函数g(x)无零点；当m或m0时，函数g(x)有且只有一个零点；当0m时，函数g(x)有两个零点(3)对任意的ba0，1恒成立，等价于f(b)bf(a)a恒成立(*)设h(x)f(x)xln xx(x0)，(*)等价于h(x)在(0，)上单调递减由h(x)10在(0，)上恒成立，得mx2x(x)2(x0)恒成立，m(对m，h(x)0仅在x时成立)，m的取值范围是，)