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2019年高考数学一轮复习 7.6 空间向量的运算及空间位置关系课时作业 理(含解析)新人教A版一、选择题1对空间任意一点O,若,则A,B,C,P四点()A一定不共面 B一定共面C不一定共面 D与O点的位置有关解析:1,P点在A,B,C所在的平面内答案:B2若平面与的法向量分别是a(4,0,2),b(1,0,2),则平面与的位置关系是()A平行 B垂直C相交不垂直 D无法判断解析:因为a(4,0,2),b(1,0,2),所以ab0,即ab,所以.答案:B3如图所示,已知空间四边形的每条边和对角线长都等于a,点E、F、G分别为AB、AD、DC的中点,则a2等于()A2B2C2D2解析:,22a2cosa2.答案:B4已知a(2,1,3),b(1,4,2),c(7,5,),若a、b、c三向量共面,则实数等于()A. B. C. D.解析:由于a、b、c三向量共面,所以存在实数m,n,使得cmanb,即有解得m,n,.答案:D5(xx晋中调研)如图所示,已知空间四边形OABC,OBOC,且AOBAOC,则cos,的值为()A0 B.C. D.解析:设a,b,c由已知条件a,ba,c,且|b|c|,a(cb)acab|a|c|a|b|0,cos,0.答案:A6(xx陕西卷)如图,在空间直角坐标系中有直三棱柱ABCA1B1C1,CACC12CB,则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为()A. B.C. D.解析:不妨设CB1,则B(0,0,1),A(2,0,0),C1(0,2,0),B1(0,2,1)(0,2,1),(2,2,1)cos,故选A.答案:A7(xx北京朝阳第二次综合练习)点P是棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1的底面A1B1C1D1上一点,则的取值范围是()A. B.C1,0 D.解析:以D为原点,DA、DC、DD1所在棱分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,易得A(1,0,0),C1(0,1,1),设P(x,y,1),则22,当xy时取最小值,当xy0或xy1时取最大值0,故选D.答案:D二、填空题8如图所示,已知空间四边形ABCD,F为BC的中点,E为AD的中点,若(),则_.解析:如图所示,取AC的中点G,连接EG,GF,则().答案:9设向量a(1,3,2),b(4,6,2),c(3,12,t),若cmanb,则t_,mn_.解析:manb(m4n,3m6n,2m2n),(m4n,3m6n,2m2n)(3,12,t)解得mn.答案:1110如图,直三棱柱ABCA1B1C1中,ABAC1,AA12,B1A1C190,D为BB1的中点,则异面直线C1D与A1C所成角的余弦值为_解析:以A为原点建立空间直角坐标系,如图,A1(0,0,2),C(0,1,0),D(1,0,1),C1(0,1,2),则(1,1,1),(0,1,2),|,|,1,cos,故异面直线C1D与A1C所成角的余弦值为.答案:11(xx海淀区高三期末练习)正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1,若动点P在线段BD1上运动,则的取值范围是_解析:以D为原点建立空间直角坐标系,DA、DC、DD1分别为x轴、y轴、z轴,则D(0,0,0),C(0,1,0),A(1,0,0),P(x,y,z),(0,1,0)(x1,x,z)x,故其取值范围为0,1答案:0,1三、解答题12如图所示,已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1,点E,F、G分别是AB、AD、CD的中点,计算:(1);(2);(3)EG的长;(4)异面直线AG与CE所成角的余弦值解:设a,b,c.则|a|b|c|1,a,bb,cc,a60,(1)ca,a,(a)caa2.(2)bc,(a)a2ac,(ca)(bc)(bcabc2ac);(3)abacbabc,|2a2b2c2abbcca,则|.(4)bc,ba,cos,由于异面直线所成角的范围是(0,90,所以异面直线AG与CE所成角的余弦值为.13直三棱柱ABCABC中,ACBCAA,ACB90,D、E分别为AB、BB的中点(1)求证:CEAD;(2)求异面直线CE与AC所成角的余弦值解:(1)证明:设a,b,c,根据题意,|a|b|c|且abbcca0,bc,cba.c2b20,即CEAD.(2)ac,|a|,|a|.(ac)c2|a|2,cos,.即异面直线CE与AC所成角的余弦值为.热点预测14如图,在底面为直角梯形的四棱锥PABCD中,ADBC,ABC90,PD平面ABCD,AD1,AB,BC4.(1)求证:BDPC;(2)设点E在棱PC上,若DE平面PAB,求的值解:(1)证明:如图,在平面ABCD内过点D作直线DFAB,交BC于点F,以D为坐标原点,DA、DF、DP所在的直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系Dxyz,则A(1,0,0),B(1,0),D(0,0,0),C(3,0)(1)设PDa,则P(0,0,a),(1,0),(3,a),330,BDPC.(2)由题意知,(0,0),(0,0,a),(1,0,a),(3,a),(3,a),(0,0,a)(3,a)(3,aa)设n(x,y,z)为平面PAB的法向量,则即令z1,得xa,n(a,0,1),DE平面PAB,n0,3aaa0,即a(14)0,a0,.
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