2019-2020年高考（新课标）数学（理）大一轮复习试题：解答题专项训练5.doc

2019-2020年高考（新课标）数学（理）大一轮复习试题：解答题专项训练51. xx福建高考如图，抛物线E：y24x的焦点为F，准线l与x轴的交点为A.点C在抛物线E上，以C为圆心，|CO|为半径作圆，设圆C与准线l交于不同的两点M，N.(1)若点C的纵坐标为2，求|MN|；(2)若|AF|2|AM|AN|，求圆C的半径解：(1)抛物线y24x的准线l的方程为x1.由点C的纵坐标为2，得点C的坐标为(1,2)，所以点C到准线l的距离d2，又|CO|，所以|MN|222.(2)设C，则圆C的方程为2(yy0)2y，即x2xy22y0y0.由x1，得y22y0y10，设M(1，y1)，N(1，y2)，则由|AF|2|AM|AN|，得|y1y2|4，所以14，解得y0，此时0.所以圆心C的坐标为或，从而|CO|2，|CO|，即圆C的半径为.2. xx武汉模拟已知抛物线C1的焦点与椭圆C2：1的右焦点重合，抛物线C1的顶点在坐标原点，过点M(4,0)的直线l与抛物线C1交于A，B两点(1)写出抛物线C1的标准方程；(2)求ABO面积的最小值解：(1)椭圆C2：1的右焦点为(1,0)，即为抛物线C1的焦点，又抛物线C1的顶点在坐标原点，所以抛物线的标准方程为y24x.(2)当直线AB的斜率不存在时，直线方程为x4，此时|AB|8，ABO的面积S8416.当直线AB的斜率存在时，设AB的方程为yk(x4)(k0)，联立消去x，得ky24y16k0，1664k20，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数之间的关系得y1y2，y1y216，SAOBSAOMSBOM|OM|y1y2|216，综上所述，ABO面积的最小值为16.3. xx广东省执信中学在平面直角坐标系xOy中，已知F1(4,0)，直线l：x2，动点M到F1的距离是它到定直线l距离d的倍设动点M的轨迹曲线为E.(1)求曲线E的轨迹方程；(2)设点F2(4,0)，若直线m为曲线E的任意一条切线，且点F1、F2到m的距离分别为d1、d2，试判断d1d2是否为常数，并说明理由解：(1)由题意，设点M(x，y)，则有|MF1|，点M(x，y)到直线的距离d|x(2)|x2|，故|x2|，化简得x2y28.故动点M的轨迹方程为x2y28.(2)d1d2是常数，证明如下：若切线m斜率不存在，则切线方程为x2，此时d1d2(ca)(ca)b28.当切线m斜率存在时，设切线m：ykxb，代入x2y28，整理得：x2(kxb)28，即(1k2)x22bkx(b28)0.(2bk)24(1k2)(b28)0，化简得b28k28.又由kxyb0，d1，d2，d1d28，综上所述，d1d28是常数4. A、B是抛物线y22px(p0)上不同的两点，且OAOB.(1)求A、B两点的横坐标之积和纵坐标之积；(2)求证：直线AB过定点；(3)求AOB面积的最小值解：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)则kOA，kOB.OAOB，kOAkOB1，x1x2y1y20.y2px1，y2px2，y1y20.y10，y20，y1y24p2，x1x24p2.(2)证明：y2px1，y2px2，(y1y2)(y1y2)2p(x1x2)，kAB.直线AB的方程为yy1(xx1)，yy1，y.y2px1，y1y24p2，y，y(x2p)直线AB过定点(2p,0)(3)设M(2p,0)，则SAOBSAOMSBOM|OM|(|y1|y2|)p(|y1|y2|)2p4p2，当且仅当|y1|y2|2p时，等号成立即AOB面积的最小值为4p2.5. 已知中心在原点的椭圆C：1的一个焦点为F1(0,3)，M(x,4)(x0)为椭圆C上一点，MOF1的面积为.(1)求椭圆C的方程；(2)是否存在平行于OM的直线l，使得直线l与椭圆C相交于A，B两点，且以线段AB为直径的圆恰好经过原点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由解：(1)因为椭圆C的一个焦点为F1(0,3)，因为焦点在y轴，所以b2a2，所以c3，b2a29，则椭圆C的方程为1，因为x0，所以SOMF13x，解得x1.故点M的坐标为(1,4)因为点M(1,4)在椭圆上，所以1，得a48a290，解得a29或a21(不合题意，舍去)，则b29918，所以椭圆C的方程为1.(2)假设存在符合题意的直线l与椭圆C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，其方程为y4xm(因为直线OM的斜率k4)，由消去y化简，得18x28mxm2180.进而得到x1x2，x1x2.因为直线l与椭圆C相交于A，B两点，所以(8m)2418(m218)0，化简得m2162，解得9m0.由根与系数的关系得，x1x2，x1x2，因为x轴是PBQ的角平分线，所以，即y1(x21)y2(x11)0，(kx1b)(x21)(kx2b)(x11)0，2kx1x2(bk)(x1x2)2b0，将代入得2kb2(kb)(82bk)2k2b0，kb，此时0，直线l的方程为yk(x1)，即直线l过定点(1,0)8. xx浙江高考如图，设椭圆C：1(ab0)，动直线l与椭圆C只有一个公共点P，且点P在第一象限(1)已知直线l的斜率为k，用a，b，k表示点P的坐标；(2)若过原点O的直线l1与l垂直，证明：点P到直线l1的距离的最大值为ab.解：(1)设直线l的方程为ykxm(k0)，由消去y得(b2a2k2)x22a2kmxa2m2a2b20.由于l与C只有一个公共点，故0，即m2b2a2k2，解得点P的坐标为.又点P在第一象限，m，故点P的坐标为P.(2)证明：由于直线l1过原点O且与l垂直，故直线l1的方程为xky0，所以点P到直线l1的距离d，整理得d.因为a2k22ab，所以ab，当且仅当k2时等号成立所以，点P到直线l1的距离的最大值为ab.