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9.3圆的方程,知识梳理,考点自诊,1.圆的定义及方程,2.点与圆的位置关系圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2,点M(x0,y0),(1)(x0-a)2+(y0-b)2r2点在圆上;(2)(x0-a)2+(y0-b)2r2点在圆外;(3)(x0-a)2+(y0-b)2r2点在圆内.,定点,定长,(a,b),r,=0.(),知识梳理,考点自诊,2.若圆C的半径为1,其圆心与点(1,0)关于直线y=x对称,则圆C的标准方程为()A.(x-1)2+y2=1B.x2+(y+1)2=1C.x2+(y-1)2=1D.(x+1)2+y2=1,C,解析:由题得圆心坐标为(0,1),所以圆的标准方程为x2+(y-1)2=1.故选C.,3.(2018河南南阳联考,6)以(a,1)为圆心,且与两条直线2x-y+4=0与2x-y-6=0同时相切的圆的标准方程为()A.(x-1)2+(y-1)2=5B.(x+1)2+(y+1)2=5C.(x-1)2+y2=5D.x2+(y-1)2=5,A,解析:由题意,得圆心在直线2x-y-1=0上,将点(a,1)代入可得a=1,即圆心为(1,1),半径为,圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=5,故选A.,知识梳理,考点自诊,4.若曲线C:x2+y2+2ax-4ay+5a2-4=0上所有的点均在第二象限内,则a的取值范围为()A.(-,-2)B.(-,-1)C.(1,+)D.(2,+),D,解析:曲线C的方程可以化为(x+a)2+(y-2a)2=4,则该方程表示圆心为(-a,2a),半径等于2的圆.因为圆上的点均在第二象限,所以a2.,5.(2018四川成都三诊,14)在平面直角坐标系中,已知三点O(0,0),A(2,4),B(6,2),则三角形OAB的外接圆方程是.,x2+y2-6x-2y=0,解析:设三角形OAB的外接球方程是x2+y2+Dx+Ey+F=0,由点O(0,0),A(2,4),B(6,2)在圆上可得,故三角形OAB的外接球方程为x2+y2-6x-2y=0.,考点1,考点2,考点3,求圆的方程例1(1)过点A(4,1)的圆C与直线x-y-1=0相切于点B(2,1),则圆C的方程为.(2)已知圆C经过P(-2,4),Q(3,-1)两点,且在x轴上截得的弦长等于6,则圆C的方程为.,(x-3)2+y2=2,x2+y2-2x-4y-8=0或x2+y2-6x-8y=0,考点1,考点2,考点3,解析:(1)方法一由已知得kAB=0,所以线段AB的中垂线方程为x=3.过点B且垂直于直线x-y-1=0的直线方程为y-1=-(x-2),即x+y-3=0,考点1,考点2,考点3,(2)设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F0),在圆C的方程中令y=0,得x2+Dx+F=0.设x1,x2是方程的两根,由|x1-x2|=6,即(x1+x2)2-4x1x2=36,得D2-4F=36,由解得D=-2,E=-4,F=-8或D=-6,E=-8,F=0.故圆C的方程为x2+y2-2x-4y-8=0或x2+y2-6x-8y=0.,考点1,考点2,考点3,思考求圆的方程有哪些常见方法?解题心得求圆的方程时,应根据条件选用合适的圆的方程.一般来说,求圆的方程有两种方法:(1)几何法,通过研究圆的性质进而求出圆的基本量.确定圆的方程时,常用到的圆的三个性质:圆心在过切点且垂直切线的直线上;圆心在任一弦的垂直平分线上;两圆内切或外切时,切点与两圆圆心共线;(2)代数法,即设出圆的方程,用待定系数法求解.,考点1,考点2,考点3,C,x2+y2-6x-2y+1=0或x2+y2+6x+2y+1=0,考点1,考点2,考点3,考点1,考点2,考点3,(2)方法一所求圆的圆心在直线x-3y=0上,设所求圆的圆心为(3a,a),又所求圆与y轴相切,半径r=3|a|,故所求圆的方程为(x-3)2+(y-1)2=9或(x+3)2+(y+1)2=9,即x2+y2-6x-2y+1=0或x2+y2+6x+2y+1=0.,考点1,考点2,考点3,考点1,考点2,考点3,考点1,考点2,考点3,与圆有关的轨迹问题例2(1)(2018广东广州期末,6)当点P在圆x2+y2=1上变动时,它与定点Q(3,0)相连,线段PQ的中点M的轨迹方程是()A.(x+3)2+y2=4B.(x-3)2+y2=1C.(2x-3)2+4y2=1D.(2x+3)2+4y2=1(2)已知点A(-4,0),直线l:x=-1与x轴交于点B,动点M到A,B两点的距离之比为2.则动点M的轨迹C的方程为.,C,x2+y2=4,考点1,考点2,考点3,考点1,考点2,考点3,思考求与圆有关的轨迹方程都有哪些常用方法?解题心得1.求与圆有关的轨迹问题时,根据题设条件的不同常采用以下方法:(1)直接法,直接根据题目提供的条件列出方程;(2)定义法,根据圆、直线等定义列方程;(3)几何法,利用圆的几何性质列方程;(4)代入法,找到要求点与已知点的关系,代入已知点满足的关系式等.2.求与圆有关的轨迹问题时,题目的设问有两种常见形式,作答也应不同.若求轨迹方程,则把方程求出化简即可;若求轨迹,则必须根据轨迹方程,指出轨迹是什么曲线.,考点1,考点2,考点3,对点训练2已知点P(2,2),圆C:x2+y2-8y=0,过点P的动直线l与圆C交于A,B两点,线段AB的中点为M,O为坐标原点.则M的轨迹方程为.,(x-1)2+(y-3)2=2,解析:圆C的方程可化为x2+(y-4)2=16,所以圆心为C(0,4),半径为4.设M(x,y),故x(2-x)+(y-4)(2-y)=0,即(x-1)2+(y-3)2=2.由于点P在圆C的内部,所以M的轨迹方程是(x-1)2+(y-3)2=2.,考点1,考点2,考点3,与圆有关的最值问题(多考向)考向1斜率型最值问题例3已知实数x,y满足方程x2+y2-4x+1=0,求的最大值和最小值.,考点1,考点2,考点3,考向2截距型最值问题例4在例3的条件下求y-x的最大值和最小值.,思考如何求解形如ax+by的最值问题?,考点1,考点2,考点3,考向3距离型最值问题例5在例3的条件下求x2+y2的最大值和最小值.,解如图所示,x2+y2表示圆上的一点与原点距离的平方,由平面几何知识知,在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值.,考点1,考点2,考点3,思考如何求解形如(x-a)2+(y-b)2的最值问题?,考点1,考点2,考点3,考向4建立目标函数求最值问题例6设圆x2+y2=2的切线l与x轴正半轴、y轴正半轴分别交于点A,B,当|AB|取最小值时,切线l的方程为.,x+y-2=0,考点1,考点2,考点3,思考如何借助圆的几何性质求有关线段长的最值?解题心得求解与圆有关的最值问题的两大规律:(1)借助几何性质求最值形如的最值问题,可转化为定点(a,b)与圆上的动点(x,y)的斜率的最值问题;形如t=ax+by的最值问题,可转化为动直线的截距的最值问题;形如u=(x-a)2+(y-b)2的最值问题,可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题.(2)建立函数关系式求最值根据题目条件列出关于所求目标式子的函数关系式,然后根据关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法等求解,其中利用基本不等式求最值是比较常用的方法.,考点1,考点2,考点3,D,0,考点1,考点2,考点3,考点1,考点2,考点3,(3)因为动点P在直线a:x-2y-2=0上,动点Q在直线b:x-2y-6=0上,直线a:x-2y-2=0与直线b:x-2y-6=0互相平行,动点P在直线a上,动点Q在直线b上,所以PQ的中点M在与a,b平行,且到a,b的距离相等的直线上,设该直线为l,其方程为x-2y+m=0,考点1,考点2,考点3,考点1,考点2,考点3,求半径常有以下方法:(1)若已知直线与圆相切,则圆心到切点(或切线)的距离等于半径;(2)若已知弦长、弦心距,则可利用弦长的一半、弦心距、半径三者满足勾股定理的关系求得.,1.求圆的方程需要三个独立条件,因此不论选用哪种形式的圆的方程都要列出三个独立的关系式.2.解答与圆有关的最值问题一般要结合代数式的几何意义进行,注意数形结合,充分运用圆的性质.3.解决与圆有关的轨迹问题,一定要看清要求,是求轨迹方程还是求轨迹.,易错警示轨迹问题易忘记特殊点的检验而致误典例设定点M(-3,4),动点N在圆x2+y2=4上运动,以OM,ON为邻边作平行四边形MONP,求点P的轨迹.,反思提升1.本题易忘记四边形MONP为平行四边形,导致忘记除去两个特殊点.2.本题也容易把求点P的轨迹理解成只求点P的轨迹方程,要知道,求一动点满足的轨迹除了要求出轨迹方程,还要说明方程对应的是什么曲线.,
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