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9.2点与直线、两条直线的位置关系,知识梳理,考点自诊,1.两条直线的位置关系平面内两条直线的位置关系包括三种情况.(1)两条直线平行对于直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,l1l2k1=k2,且b1b2.对于直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,l1l2A1B2-A2B1=0,且B1C2-B2C10(或A1C2-A2C10).(2)两条直线垂直对于直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,l1l2k1k2=-1.对于直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,l1l2.,平行、相交、重合,A1A2+B1B2=0,知识梳理,考点自诊,2.两条直线的交点,相交方程组有;平行方程组;重合方程组有.,唯一解,无解,无数个解,知识梳理,考点自诊,3.三种距离公式,知识梳理,考点自诊,1.与直线Ax+By+C=0(A2+B20)垂直或平行的直线方程可设为:(1)垂直:Bx-Ay+m=0;(2)平行:Ax+By+n=0.2.与对称问题相关的两个结论:(1)点P(x0,y0)关于点A(a,b)的对称点为P(2a-x0,2b-y0).(2)设点P(x0,y0)关于直线y=kx+b的对称点为P(x,y),则有,知识梳理,考点自诊,1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”.(1)如果直线l1与直线l2互相平行,那么这两条直线的斜率相等.()(2)如果直线l1与直线l2互相垂直,那么它们的斜率之积一定等于-1.()(3)点P(x1,y1)到直线y=kx+b的距离为.()(4)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离.()(5)已知直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0(A1,B1,C1,A2,B2,C2均为常数),若直线l1l2,则A1A2+B1B2=0.(),知识梳理,考点自诊,2.(2018江西上饶二模,5)“a=-3”是“直线l1:ax-(a+1)y+1=0与直线l2:2x-ay-1=0垂直”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件,A,解析:由直线l1:ax-(a+1)y+1=0与直线l2:2x-ay-1=0垂直可得,2a+a(a+1)=0,解得a=0或-3,所以“a=-3”是“直线l1:ax-(a+1)y+1=0与直线l2:2x-ay-1=0垂直”的充分不必要条件,故选A.,3.(2018河北衡水联考三,4)若实数m,n满足5m=4,4n=5,则直线l1:mx+y+n=0与直线l2:nx-y+m=0的位置关系是()A.平行B.相交但不垂直C.垂直D.无法确定,C,解析:由5m=4,4n=5,得m=log54,n=log45,又直线l1:mx+y+n=0和直线l2:nx-y+m=0的斜率分别为-m和n,所以-mn=-log54log45=-1,故直线l1,l2垂直.,知识梳理,考点自诊,B,5.(2018宁夏银川一中月考,13)如果直线l1:2x-y-1=0与直线l2:2x+(a+1)y+2=0平行,那么a的值是.,-2,考点1,考点2,考点3,考点4,两条直线的平行与垂直例1已知直线l1:ax+2y+6=0和直线l2:x+(a-1)y+a2-1=0.(1)试判断l1与l2是否平行;(2)当l1l2时,求a的值.,考点1,考点2,考点3,考点4,考点1,考点2,考点3,考点4,思考解含参数直线方程的有关问题时如何分类讨论?解题心得1.当含参数的直线方程为一般式时,若要表示出直线的斜率,不仅要考虑到斜率存在的一般情况,还要考虑到斜率不存在的特殊情况,同时还要注意x,y的系数不能同时为零这一隐含条件.2.在判断两条直线平行、垂直时,也可直接利用直线方程的系数之间的关系得出结论.,考点1,考点2,考点3,考点4,对点训练1(1)(2018天津期中,4)若两条直线(a2+a-6)x+12y-3=0与(a-1)x-(a-2)y+4-a=0互相垂直,则a的值等于()A.3B.3或5C.3或-5或2D.-5,C,A,考点1,考点2,考点3,考点4,直线的交点问题例2(1)已知直线y=kx+2k+1与直线y=-x+2的交点位于第一象限,则实数k的取值范围是.(2)若直线l过点P(-1,2)且到点A(2,3)和点B(-4,5)的距离相等,则直线l的方程为.,x+3y-5=0或x=-1,考点1,考点2,考点3,考点4,考点1,考点2,考点3,考点4,考点1,考点2,考点3,考点4,考点1,考点2,考点3,考点4,即x+3y-5=0.当l过AB的中点时,AB的中点为(-1,4).所以直线l的方程为x=-1.故所求直线l的方程为x+3y-5=0或x=-1.,考点1,考点2,考点3,考点4,解题心得1.求两条直线的交点坐标,一般思路就是解由这两条直线方程组成的方程组,以方程组的解为坐标的点即为交点.2.常见的三大直线系方程:(1)与直线Ax+By+C=0平行的直线系方程是Ax+By+m=0(mR,且mC).(2)与直线Ax+By+C=0垂直的直线系方程是Bx-Ay+m=0(mR).(3)过直线l1:A1x+B1y+C1=0与l2:A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程为A1x+B1y+C1+(A2x+B2y+C2)=0(R),但不包括l2.,考点1,考点2,考点3,学科素养微专题,考点4,对点训练2(1)(2018贵州遵义二联,11)数学家欧拉在1765年提出定理:三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上,且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半,这条直线被后人称之为三角形的欧拉线.已知ABC的顶点A(2,0),B(0,4),AC=BC,则ABC的欧拉线方程为()A.2x+y-3=0B.2x-y+3=0C.x-2y-3=0D.x-2y+3=0(2)过两条直线2x-y-5=0和x+y+2=0的交点且与直线3x+y-1=0平行的直线方程为.,D,3x+y=0,考点1,考点2,考点3,考点4,考点1,考点2,考点3,考点4,距离公式的应用例3(1)若P,Q分别为直线3x+4y-12=0与6x+8y+5=0上任意一点,则|PQ|的最小值为(),C,4,考点1,考点2,考点3,考点4,考点1,考点2,考点3,考点4,思考利用距离公式应注意的问题有哪些?解题心得利用距离公式应注意:(1)点P(x0,y0)到直线x=a的距离d=|x0-a|,到直线y=b的距离d=|y0-b|;(2)两平行线间的距离公式要求两条直线方程中x,y的系数分别相等.,考点1,考点2,考点3,考点4,A,A,考点1,考点2,考点3,考点4,考点1,考点2,考点3,考点4,对称问题(多考向)考向1点关于点对称例4过点P(0,1)作直线l,使它被直线l1:2x+y-8=0和l2:x-3y+10=0截得的线段被点P平分,则直线l的方程为.思考点关于点的对称问题该如何解?,x+4y-4=0,解析:设l1与l的交点为A(a,8-2a),则由题意知,点A关于点P的对称点B(-a,2a-6)在l2上,代入l2的方程得-a-3(2a-6)+10=0,解得a=4,即点A(4,0)在直线l上,故直线l的方程为x+4y-4=0.,考点1,考点2,考点3,考点4,考向2点关于直线的对称问题例5(2018宁夏银川一中月考,4)点P(2,5)关于x+y+1=0的对称点的坐标为()A.(6,3)B.(3,-6)C.(-6,-3)D.(-6,3)思考点关于直线的对称问题该如何解?,C,考点1,考点2,考点3,考点4,考向3直线关于直线的对称问题例6已知直线l1:x-y+3=0,直线l:x-y-1=0.若直线l1关于直线l的对称直线为l2,直线l2的方程为.思考直线关于直线的对称问题该如何解?,x-y-5=0,考点1,考点2,考点3,考点4,考点1,考点2,考点3,考点4,解题心得1.点关于点的对称:求点P关于点M(a,b)的对称点Q的问题,主要依据M是线段PQ的中点,即xP+xQ=2a,yP+yQ=2b.2.直线关于点的对称:求直线l关于点M(m,n)的对称直线l的问题,主要依据l上的任一点T(x,y)关于M(m,n)的对称点T(2m-x,2n-y)必在l上.3.点关于直线的对称:求已知点A(m,n)关于已知直线l:y=kx+b的对称点A(x0,y0)的坐标,一般方法是依据l是线段AA的垂直平分线,列出关于x0,y0的方程组,由“垂直”得一方程,由“平分”得一方程.4.直线关于直线的对称:此类问题一般转化为点关于直线的对称来解决,有两种情况:一是已知直线与对称轴相交;二是已知直线与对称轴平行.,考点1,考点2,考点3,考点4,对点训练4(1)(2018内蒙古包头期末,5)已知A(3,-1),B(5,-2),点P在直线x+y=0上,若使|PA|+|PB|取最小值,则点P的坐标是(),(2)在等腰直角三角形ABC中,AB=AC=4,点P是边AB上异于A,B的一点.光线从点P出发,经BC,CA反射后又回到点P(如图).若光线QR经过ABC的重心,则AP等于.(3)光线沿直线l1:x-2y+5=0射入,遇直线l:3x-2y+7=0后反射,求反射光线所在的直线方程.,C,考点1,考点2,考点3,考点4,解析:(1)如图所示,点A(3,-1)关于直线l:x+y=0的对称点为C(1,-3),考点1,考点2,考点3,考点4,考点1,考点2,考点3,考点4,考点1,考点2,考点3,考点4,考点1,考点2,考点3,考点4,1.对于两条直线的位置关系的判断或求解:(1)若直线斜率均存在且不重合,则一定有:l1l2k1=k2.(2)若直线斜率均存在,则一定有:l1l2k1k2=-1.2.中心对称问题(1)点关于点的对称一般用中点坐标公式解决.(2)直线关于点的对称,可以在已知直线上任取两点,利用中点坐标公式先求出它们关于已知点对称的两点的坐标,再根据这两点确定直线的方程;也可以先求出一个对称点,再利用两对称直线平行关系,由点斜式得到所求直线即可.,考点1,考点2,考点3,考点4,3.轴对称问题(1)点关于直线的对称,(2)直线关于直线的对称,若两直线平行,则可用距离公式解决;若两直线不平行,则转化为点关于直线的对称问题.,考点1,考点2,考点3,考点4,1.运用两平行直线间的距离公式时,一定要统一两个方程中x,y的系数,还要清楚该公式其实是通过点到直线的距离公式推导而来的.2.讨论直线的位置关系涉及含参数直线方程时,一定不要遗漏斜率不存在、斜率为0等特殊情形.3.“l1l2A1A2+B1B2=0”适用于任意两条互相垂直的直线.,易错警示妙用直线系求直线方程一、平行直线系由于两直线平行,它们的斜率相等或它们的斜率都不存在,因此两直线平行时,它们的一次项系数与常数项有必然的联系.典例1求与直线3x+4y+1=0平行且过点(1,2)的直线l的方程.方法指导:因为所求直线与3x+4y+1=0平行,因此,可设该直线方程为3x+4y+c=0(c1).规范解答解:由题意,可设所求直线方程为3x+4y+c=0(c1),又因为直线l过点(1,2),所以31+42+c=0,解得c=-11.因此,所求直线方程为3x+4y-11=0.,二、垂直直线系由于直线A1x+B1y+C1=0与A2x+B2y+C2=0垂直的充要条件为A1A2+B1B2=0.因此,当两直线垂直时,它们的一次项系数有必然的联系.可以考虑用直线系方程求解.典例2求经过A(2,1),且与直线2x+y-10=0垂直的直线l的方程.方法指导:依据两直线垂直的特征设出方程,再由待定系数法求解.规范解答解因为所求直线与直线2x+y-10=0垂直,所以设该直线方程为x-2y+C1=0,又直线过点A(2,1),所以有2-21+C1=0,解得C1=0,即所求直线方程为x-2y=0.,三、过直线交点的直线系典例3经过两条直线2x+3y+1=0和x-3y+4=0的交点,并且垂直于直线3x+4y-7=0的直线方程为.方法指导:可分别求出直线l1与l2的交点及所求直线的斜率k,直接写出方程;也可以根据垂直关系设出所求方程,再把交点坐标代入求解;还可以利用过交点的直线系方程设直线方程,再用待定系数法求解.答案:4x-3y+9=0,方法二由垂直关系可设所求直线方程为4x-3y+m=0,代入4x-3y+m=0,得m=9,故所求直线方程为4x-3y+9=0.方法三由题意可设所求直线方程为(2x+3y+1)+(x-3y+4)=0,即(2+)x+(3-3)y+1+4=0,又所求直线与直线3x+4y-7=0垂直,3(2+)+4(3-3)=0,=2,代入式得所求直线方程为4x-3y+9=0.,
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