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9.5椭圆,第九章平面解析几何,NEIRONGSUOYIN,内容索引,基础知识自主学习,题型分类深度剖析,课时作业,1,基础知识自主学习,PARTONE,知识梳理,1.椭圆的概念平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做.这两个定点叫做椭圆的，两焦点间的距离叫做椭圆的.集合PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中a0，c0，且a，c为常数：(1)若，则集合P为椭圆；(2)若，则集合P为线段；(3)若，则集合P为空集.,ZHISHISHULI,椭圆,焦点,焦距,ac,ac,ac,2.椭圆的标准方程和几何性质,2a,2b,2c,a2b2c2,【概念方法微思考】,1.在椭圆的定义中，若2a|F1F2|或2a0，mn)表示的曲线是椭圆.(),1,2,3,4,5,6,7,1,2,3,4,5,6,题组二教材改编,解析当焦点在x轴上时，10mm20，10m(m2)4，m4.当焦点在y轴上时，m210m0，m2(10m)4，m8.m4或8.,7,A.4B.8C.4或8D.12,1,2,3,4,5,6,7,解得10或2(舍去)，,1,2,3,4,5,6,7,解析设P(x，y)，由题意知c2a2b2541，所以c1，则F1(1，0)，F2(1，0).由题意可得点P到x轴的距离为1，,A.m2或m2C.12或20，解得m2或28|C1C2|，所以M的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆，且2a16，2c8，,(2)在ABC中，A(4，0)，B(4，0)，ABC的周长是18，则顶点C的轨迹方程是,解析由|AC|BC|188108知，顶点C的轨迹是以A，B为焦点的椭圆(A，B，C不共线).,命题点2待定系数法,解析设椭圆的方程为mx2ny21(m，n0，mn).,(2)一个椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴，焦点F1，F2在x轴上，P(2，)是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则椭圆的标准方程为_.,解析椭圆的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，,(1)求椭圆的标准方程多采用定义法和待定系数法.(2)利用定义法求椭圆方程，要注意条件2a|F1F2|；利用待定系数法要先定形(焦点位置)，再定量，也可把椭圆方程设为mx2ny21(m0，n0，mn)的形式.,椭圆上一点到两焦点的距离之和为12，2a12，a6，,其焦点在y轴上，且c225916.,c216，且c2a2b2，故a2b216.,由得b24，a220，,题型三椭圆的几何性质,命题点1求离心率的值(或范围),多维探究,解析方法一如图，在RtPF2F1中，PF1F230，|F1F2|2c，,|PF1|PF2|2a，,方法二(特殊值法)：在RtPF2F1中，令|PF2|1，,由椭圆定义得|PF1|PF2|2a，|PF1|22|PF1|PF2|PF2|24a2，又|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等比数列，|PF1|PF2|F1F2|24c2，则|PF1|2|PF2|28c24a2，(xc)2y2(xc)2y28c24a2，整理得x2y25c22a2，,而|PF2|的最小值为ac，,所以(ac)24(bc)2，所以ac2(bc)，所以ac2b，所以(ac)24(a2c2)，所以5c22ac3a20，所以5e22e30.又bc，所以b2c2，所以a2c2c2，所以2e21.,命题点2求参数的值(或范围),解析方法一设椭圆焦点在x轴上，则0m3，点M(x，y).过点M作x轴的垂线，交x轴于点N，则N(x，0).,结合0m3解得0m1.对于焦点在y轴上的情况，同理亦可得m9.则m的取值范围是(0，19，).故选A.,方法二当0m3时，焦点在y轴上，要使C上存在点M满足AMB120，,故m的取值范围为(0，19，).故选A.,(1)求椭圆离心率或其范围的方法解题的关键是借助图形建立关于a，b，c的关系式(等式或不等式)，转化为e的关系式，常用方法如下：,构造a，c的齐次式.离心率e的求解中可以不求出a，c的具体值，而是得出a与c的关系，从而求得e，一般步骤如下：()建立方程：根据已知条件得到齐次方程Aa2BacCc20；()化简：两边同时除以a2，化简齐次方程，得到关于e的一元二次方程ABeCe20；()求解：解一元二次方程，得e的值；()验算取舍：根据椭圆离心率的取值范围e(0，1)确定离心率e的值.若得到齐次不等式，可以类似求出离心率e的取值范围.,(2)椭圆几何性质的应用技巧与椭圆的几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使不画出图形，思考时也要联想到图形.椭圆相关量的范围或最值问题常常涉及一些不等式.例如，axa，byb，0e1，三角形两边之和大于第三边，在求椭圆相关量的范围或最值时，要注意应用这些不等关系.,跟踪训练2(1)已知椭圆1(00，又0e3B.a3或a3或60，解得a3或60，c1c20知，,即式正确，式不正确.故选D.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析由椭圆的定义可知|PF1|PF2|2a，,2b2a23b2，即2a22c2a23a23c2，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,10,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析设F1是椭圆的左焦点.如图，连接AF1.由椭圆的对称性，结合椭圆的定义知|AF2|BF2|2a6，所以要使ABF2的周长最小，必有|AB|2b4，所以ABF2的周长的最小值为10.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,ABx轴，A，B两点的横坐标为c，代入椭圆方程，,a2b2c2，由解得a29，b26，c23，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,又由题意知a2b22，将其代入(*)式整理得3b42b280，所以b22，则a24，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,10.已知A，B，F分别是椭圆x21(00，则椭圆的离心率的取值范围为_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,11.已知点P是圆F1：(x1)2y216上任意一点(F1是圆心)，点F2与点F1关于原点对称.线段PF2的垂直平分线m分别与PF1，PF2交于M，N两点.求点M的轨迹C的方程.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解由题意得F1(1，0)，F2(1，0)，圆F1的半径为4，且|MF2|MP|，从而|MF1|MF2|MF1|MP|PF1|4|F1F2|，所以点M的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,技能提升练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,13.(2018浙江省台州适应性考试)已知椭圆C的中心为原点O，F(5，0)为椭圆C的左焦点，P为椭圆C上一点，且满足|OP|OF|，|PF|6，则椭圆C的标准方程为,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,连接PM，则|FM|2|OF|10，由|OP|OF|OM|知，FPPM，又|PF|6，,所以a7，又c5，所以b2a2c2492524，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析如图，作出椭圆的左焦点F，分别连接AB，AF，BF，由椭圆的对称性可知，四边形AFBF为平行四边形.,所以四边形AFBF为矩形，所以|AB|FF|2c.设|AF|m，|AF|n，则由椭圆的定义知mn2a，在RtAFF中，m2n24c2.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,拓展冲刺练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,又由椭圆定义得|PF1|PF2|2a，,因为PF2是PF1F2的一边，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,即c22aca20，所以e22e10(0e1)，,
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