2019年高三上学期第一次月考数学试卷（理科） 含解析.doc

2019年高三上学期第一次月考数学试卷（理科） 含解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合，B=1，m，AB=A，则m=（）A0或B0或3C1或D1或32设复数z满足（1i）z=2i，则z=（）A1+iB1iC1+iD1i3在二项式的展开式中，x2项的系数为（）A8B4C6D124在定义域内既为奇函数又为增函数的是（）Ay=（）xBy=sinxCy=x3Dy=logx5已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x0时，f（x）=log2x，则f（8）值为（）A3BCD36实数a=0.2，b=log0.2，c=的大小关系正确的是（）AacbBabcCbacDbca7若按如图的算法流程图运行后，输出的结果是，则输入的N的值为（）A5B6C7D88若，则向量与的夹角为（）ABCD9函数f（x）=2xx的一个零点所在区间是（）A（0，1）B（1，2）C（2，3）D（3，4）10已知a0，实数x，y满足：，若z=2x+y的最小值为1，则a=（）A2B1CD11等差数列an的前n项和为Sn，2a8=6+a11，则S9=（）A27B36C45D5412一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是（）A1B2C3D4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中的横线上13已知函数f（x）=，则ff（）=_14已知（0，），cos=，则sin（）=_15三棱锥ABCD的侧棱两两相等且相互垂直，若外接球的表面积s=8，则侧棱的长=_16若函数f（x）=2x2lnx在其定义域内的一个子区间（k1，k+1）内不是单调函数，则实数k的取值范围是_三、解答题：本大题共5小题，共70分解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤17在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边已知a=2，A=（）若b=2，求角C的大小；（）若c=2，求边b的长18已知正项数列an满足a1=，且an+1=（1）求正项数列an的通项公式；（2）求和+19某班同学利用暑假在A、B两个小区逐户进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查及宣传活动若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则，称为“非低碳族”各小区中，这两“族”人数分别与本小区总人数的比值如下表：低碳族非低碳族比值（A小区）比值（B小区）（）如果甲、乙来自A小区，丙、丁来自B小区，求这4人中恰有2人是“低碳族”的概率；（）经过大力宣传后的连续两周，A小区“非低碳族”中，每周有20%的人加入到“低碳族”的行列这两周后，如果从A小区中随机地选出25个人，用表示这25个人中的“低碳族”人数，求数学期望E（）20如图，在四棱锥EABCD中，AB平面BCE，CD平面BCE，AB=BC=CE=2CD=4，BCE=60（1）证明：平面BAE平面DAE；（2）点P为线段AB上一点，求直线PE与平面DCE所成角的取值范围21已知函数f（x）=x22lnx（） 求函数f（x）的单调递减区间；（）若对任意x（0，+），不等式f（x）x（x+a）恒成立，求实数a的取值范围选做题：请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号选修4-1：几何证明选讲22如图，在ABC中，C为钝角，点E，H分别是边AB上的点，点K和M分别是边AC和BC上的点，且AH=AC，EB=BC，AE=AK，BH=BM（）求证：E、H、M、K四点共圆；（）若KE=EH，CE=3，求线段KM的长选修4-4：（本小题满分0分）坐标系与参数方程23平面直角坐标系中，直线l的参数方程是（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为2cos2+2sin22sin3=0（1）求直线l的极坐标方程；（2）若直线l与曲线C相交于A、B两点，求|AB|选修4-5：不等式选讲24已知实数a、b、c、d满足a2+b2=1，c2+d2=2，求ac+bd的最大值xx学年北京八中北海分校高三（上）第一次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合，B=1，m，AB=A，则m=（）A0或B0或3C1或D1或3【考点】集合关系中的参数取值问题【分析】由题设条件中本题可先由条件AB=A得出BA，由此判断出参数m可能的取值，再进行验证即可得出答案选出正确选项【解答】解：由题意AB=A，即BA，又，B=1，m，m=3或m=，解得m=3或m=0及m=1，验证知，m=1不满足集合的互异性，故m=0或m=3即为所求，故选：B2设复数z满足（1i）z=2i，则z=（）A1+iB1iC1+iD1i【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】根据所给的等式两边同时除以1i，得到z的表示式，进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，整理成最简形式，得到结果【解答】解：复数z满足z（1i）=2i，z=1+i故选A3在二项式的展开式中，x2项的系数为（）A8B4C6D12【考点】二项式系数的性质【分析】利用二项展开式的通项公式，即可求得二项式式的展开式中x2的系数【解答】解：由Tr+1=C4rx4r（）r=2rC4rx42r，令r=1，可得二项式的展开式中的x2系数为：2C41=8故选：A4在定义域内既为奇函数又为增函数的是（）Ay=（）xBy=sinxCy=x3Dy=logx【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断【分析】利用函数的奇偶性与单调性的定义，判定A、B、C、D选项中的函数是否满足条件即可【解答】解：Ay=是非奇非偶的函数，也是减函数，不满足条件，故A不选；By=sinx是奇函数，但在区间2k+，2k+（kZ）上是减函数，在区间2k，2k+（kZ）上是增函数，不满足条件，故B不选；Cy=x3是定义域内的奇函数，也是增函数，满足条件，故C选；Dy=x是非奇非偶的函数，也是减函数，不满足条件，故D不选；故选：C5已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x0时，f（x）=log2x，则f（8）值为（）A3BCD3【考点】函数奇偶性的性质；函数的值【分析】直接利用奇函数的性质化简求解即可【解答】解：f（x）是定义在R上的奇函数，当x0时，f（x）=log2x，则f（8）=f（8）=log28=3故选：D6实数a=0.2，b=log0.2，c=的大小关系正确的是（）AacbBabcCbacDbca【考点】对数函数的图象与性质；指数函数的图象与性质；不等关系与不等式【分析】根据指数函数，对数函数和幂函数的性质分别判断a，b，c的大小，即可判断【解答】解：根据指数函数和对数函数的性质，知log0.20，00.21，即0a1，b0，c1，bac故选：C7若按如图的算法流程图运行后，输出的结果是，则输入的N的值为（）A5B6C7D8【考点】程序框图【分析】由已知中的程序框图可知：程序的功能是利用循环计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，根据输出的结果是，可分析出判断框中的条件【解答】解：进行循环前k=1，S=0，进行循环后S=，不满足退出循环的条件；k=2，S=，不满足退出循环的条件；k=3，S=，不满足退出循环的条件；k=4，S=，不满足退出循环的条件；k=5，S=，不满足退出循环的条件；k=6，S=，满足退出循环的条件；故满足条件的N值为6，故选B8若，则向量与的夹角为（）ABCD【考点】数量积表示两个向量的夹角；向量的模【分析】将已知式子平方可得=0，代入向量的夹角公式可得其余弦值，结合夹角的范围可得答案【解答】解：，两边平方可得=，化简可得=0，设向量与的夹角为则可得cos=，又0，故=故选B9函数f（x）=2xx的一个零点所在区间是（）A（0，1）B（1，2）C（2，3）D（3，4）【考点】函数零点的判定定理【分析】函数零点附近函数值的符号相反，这类选择题通可采用代入排除的方法求解【解答】解：由 f（1）=10，f（2）=20及零点定理知f（x）的零点在区间（1，2）上，故选B10已知a0，实数x，y满足：，若z=2x+y的最小值为1，则a=（）A2B1CD【考点】简单线性规划【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即先确定z的最优解，然后确定a的值即可【解答】解：作出不等式对应的平面区域，（阴影部分）由z=2x+y，得y=2x+z，平移直线y=2x+z，由图象可知当直线y=2x+z经过点C时，直线y=2x+z的截距最小，此时z最小即2x+y=1，由，解得，即C（1，1），点C也在直线y=a（x3）上，1=2a，解得a=故选：C11等差数列an的前n项和为Sn，2a8=6+a11，则S9=（）A27B36C45D54【考点】等差数列的性质【分析】根据等差数列的性质，看出6等于数列的第五项，根据等差数列的性质得到前9项之和等于数列的第五项的九倍，得到结果【解答】解：等差数列an的2a8=6+a11，a5+a11=6+a11，a5=6，S9=9a5=54，故选D12一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是（）A1B2C3D4【考点】由三视图求面积、体积【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是底面为直角梯形，高为2的四棱锥，求出它的体积即可【解答】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是如图所示的四棱锥PABCD，且底面为直角梯形ABCD，高为2；该四棱锥的体积为V四棱锥=（2+4）22=4故选：D二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中的横线上13已知函数f（x）=，则ff（）=【考点】函数的值【分析】根据分段函数的表达式，直接代入进行求解即可【解答】解：由分段函数可知，f（）=log，f（1）=，故答案为：14已知（0，），cos=，则sin（）=【考点】运用诱导公式化简求值【分析】利用诱导公式与同角三角函数间的关系即可求得答案【解答】解：cos=，（0，），sin（）=sin=故答案为：15三棱锥ABCD的侧棱两两相等且相互垂直，若外接球的表面积s=8，则侧棱的长=【考点】球的体积和表面积；棱锥的结构特征【分析】三棱锥ABCD中，侧棱AB、AC、AD两两相等且相互垂直，补成正方体，两者的外接球是同一个，正方体的对角线就是球的直径，利用外接球的表面积s=8，即可求出侧棱的长【解答】解：三棱锥ABCD中，侧棱AB、AC、AD两两相等且相互垂直，补成正方体，两者的外接球是同一个，正方体的对角线就是球的直径，设侧棱的长为a，外接球的半径为R，则外接球的表面积s=8，4R2=8正方体的对角线就是球的直径a=16若函数f（x）=2x2lnx在其定义域内的一个子区间（k1，k+1）内不是单调函数，则实数k的取值范围是1，）【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】先对函数进行求导，根据导函数大于0时原函数单调递增，导函数小于0时原函数单调递减得解【解答】解：因为f（x）定义域为（0，+），又f（x）=4x，由f（x）=0，得x=据题意，解得1k故答案为：1，）三、解答题：本大题共5小题，共70分解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤17在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边已知a=2，A=（）若b=2，求角C的大小；（）若c=2，求边b的长【考点】正弦定理；余弦定理【分析】（）根据正弦定理和已知条件求得sinB的值，进而求得B，最后利用三角形内角和求得C（）用余弦定理列出关于b的表达式，整理求得b【解答】解：（）由正弦定理=，sinB=sinA=，B=或，ba，（）依题意，即b22b8=0，又b0，b=418已知正项数列an满足a1=，且an+1=（1）求正项数列an的通项公式；（2）求和+【考点】数列的求和；数列递推式【分析】（1）由，得，由此能求出（2）由=，利用裂项法能求出的值【解答】（满分12分）解：（1）由，an+1an+an+1=an，数列是首项为2，公差为1的等差数列，（2）=，=19某班同学利用暑假在A、B两个小区逐户进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查及宣传活动若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则，称为“非低碳族”各小区中，这两“族”人数分别与本小区总人数的比值如下表：低碳族非低碳族比值（A小区）比值（B小区）（）如果甲、乙来自A小区，丙、丁来自B小区，求这4人中恰有2人是“低碳族”的概率；（）经过大力宣传后的连续两周，A小区“非低碳族”中，每周有20%的人加入到“低碳族”的行列这两周后，如果从A小区中随机地选出25个人，用表示这25个人中的“低碳族”人数，求数学期望E（）【考点】离散型随机变量的期望与方差；列举法计算基本事件数及事件发生的概率【分析】（）这4人中恰好有两人是低碳族分三类：甲、乙低碳族，丙、丁非低碳族；甲、乙非低碳族，丙、丁低碳族；甲、乙中一人低碳族，一人非低碳族，丙、丁一人低碳族，一人非低碳族；每类中按独立事件求概率，再求和即可（）首先求出两周后随机地从A小区中非低碳族的概率，服从二项分布，利用二项分布的期望和方差公式求解即可【解答】解：（）记“这4人中恰有2人为低碳族”为事件A，则P（A）=+4+=；（）设A小区的总人数为 a，过两周后，A小区中的“非低碳族”人数与本小区总人数的比为=2周后低碳族的概率小区中的“非低碳族”人数与本小区总人数的比为P=1=依题意B（25，），所以E（）=25=1720如图，在四棱锥EABCD中，AB平面BCE，CD平面BCE，AB=BC=CE=2CD=4，BCE=60（1）证明：平面BAE平面DAE；（2）点P为线段AB上一点，求直线PE与平面DCE所成角的取值范围【考点】向量语言表述面面的垂直、平行关系；用空间向量求直线与平面的夹角【分析】（1）取BE的中点O，连OC，OF，DF，可利用条件得OCFD，再利用条件证得OC平面ABE即可得到平面ADE平面ABE；（2）以0为原点建立空间直角坐标系Oxyz，设出P点的坐标，分别求出直线PE的方向向量与平面DCE的法向量，代入向量夹角公式，求出直线PE与平面DCE所成角正弦值的取值范围，进而可以确定直线PE与平面DCE所成角的取值范围【解答】解：（1）证明：取BE的中点O，连OC，OF，DF，则2OF与BA平行且相等AB平面BCE，CD平面BCE，2CD与BA平行且相等，OF与CD平行且相等，OCFDBC=CE，OCBE，又AB平面BCEOC平面ABEFD平面ABE从而平面ADE平面ABE（2）以0为原点建立空间直角坐标系Oxyz，如图，则已知条件有：C（2，0，0），D（2，0，2），E（0，2，0）平面DCE的一个法向量记为=（x，y，z）则，即=（1，0）9分令直线PE与平面DCE所成角为设P（0，2，Z），（0Z4）则sin=11分0Z4直线PE与平面DCE所成角的范围为arcsin，12分21已知函数f（x）=x22lnx（） 求函数f（x）的单调递减区间；（）若对任意x（0，+），不等式f（x）x（x+a）恒成立，求实数a的取值范围【考点】利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题【分析】（）求函数的定义域和导数，利用函数单调性和导数之间的关系进行求解即可（）利用参数分离法进行参数分离，构造函数，求函数的导数，了利用导数研究函数的最值即可【解答】解：（）函数f（x）的定义域为（0，+），当x（0，1）时，f（x）0，函数f（x）的单调递减区间为（0，1）（）由f（x）x（x+a）得x22lnxx（x+a），ax2lnx，记，则，令g（x）=0得x=e当x（0，e）时，g（x）0；当x（e，+）时，g（x）0g（x）的最小值为，于是所以实数a的取值范围是选做题：请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号选修4-1：几何证明选讲22如图，在ABC中，C为钝角，点E，H分别是边AB上的点，点K和M分别是边AC和BC上的点，且AH=AC，EB=BC，AE=AK，BH=BM（）求证：E、H、M、K四点共圆；（）若KE=EH，CE=3，求线段KM的长【考点】相似三角形的性质【分析】（）先由AC=AH，AK=AE得四边形CHEK为等腰梯形，利用等腰梯形的对角互补可得C，H，E，K四点共圆；同理C，E，H，M四点共圆，即可得E，H，M，K均在点C，E，H所确定的圆上（）先由（1）得E，H，M，C，K五点共圆，再利用CEHM为等腰梯形得EM=HC，以及由KE=EH可得KME=ECH，推得MKECEH，即可得线段KM的长【解答】解：（）证明：连接CH，AC=AH，AK=AE，四边形CHEK为等腰梯形，注意到等腰梯形的对角互补，故C，H，E，K四点共圆，同理C，E，H，M四点共圆，即E，H，M，K均在点C，E，H所确定的圆上，证毕（）连接EM，由（1）得E，H，M，C，K五点共圆，CEHM为等腰梯形，EM=HC，故MKE=CEH，由KE=EH可得KME=ECH，故MKECEH，即KM=EC=3为所求选修4-4：（本小题满分0分）坐标系与参数方程23平面直角坐标系中，直线l的参数方程是（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为2cos2+2sin22sin3=0（1）求直线l的极坐标方程；（2）若直线l与曲线C相交于A、B两点，求|AB|【考点】点的极坐标和直角坐标的互化；两点间的距离公式【分析】（1）将直线化成普通方程，可得它是经过原点且倾斜角为的直线，由此不难得到直线l的极坐标方程；（2）将直线l的极坐标方程代入曲线C极坐标方程，可得关于的一元二次方程，然后可以用根与系数的关系结合配方法，可以得到AB的长度【解答】解：（1）直线l的参数方程是（t为参数），化为普通方程得：y=x在平面直角坐标系中，直线l经过坐标原点，倾斜角是，因此，直线l的极坐标方程是=，（R）； （2）把=代入曲线C的极坐标方程2cos2+2sin22sin3=0，得23=0由一元二次方程根与系数的关系，得1+2=，12=3，|AB|=|12|= 选修4-5：不等式选讲24已知实数a、b、c、d满足a2+b2=1，c2+d2=2，求ac+bd的最大值【考点】不等式的基本性质；基本不等式【分析】首先由等式a2+b2=x2，c2+d2=y2求证xyac+bd把已知条件代入得到x2y2=（a2+b2）（c2+d2），展开再根据基本不等式证明求解，即可得到结果【解答】解：（ac+bd）2=（ac）2+（bd）2+2abcd（ac）2+（bd）2+（ad）2+（bc）2=（a2+b2）（c2+d2）=2，即，当且仅当ad=bc，即时取最大值，综上ac+bd的最大值为xx年9月29日