2019-2020年高二下学期4月段考数学试卷（理科）含解析.doc

2019-2020年高二下学期4月段考数学试卷（理科）含解析一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共计70分请把答案填写在答题卡相应位置上）1设集合A=0，2，3，B=x+1，x2+4，AB=3，则实数x的值为2命题“若a1，则a2”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数为3若命题p：xR，x21，则该命题的否定是4已知函数的定义域为M，函数g（x）=2x的值域为N，则MN=5函数f（x）=x+2cosx在0，上取得最值时，此时x的值为6曲线y=xex+2x+1在点（0，1）处的切线方程为7函数y=+2lnx的单调减区间为8已知函数f（x）=ax3+3x2x+1是R上的单调递减函数，则实数a的取值范围是9已知函数f（x）=ex在区间1，2上的最小值为1，则实数m的值为10已知函数f（x）=xlnxx2x在定义域内为单调函数，则实数a的取值范围是11已知f（x）为定义在（0，+）上的可导函数且f（x）0，若f（x）xf（x）恒成立，则不等式x2f（）f（x）0的解集为12若关于x的方程|ex3x|=kx有四个实数根，则实数k的取值范围为13设曲线y=（ax1）ex在点A（x0，y1）处的切线为l1，曲线y=（1x）ex在点B（x0，y2）处的切线为l2若存在，使得l1l2，则实数a的取值范围为14若函数f（x）=ax2+bx+c（a0）的图象与直线l交于两点A（t，t3t），B（2t2+3t，t3+t2），其中t0且t1，则f（t2+2t）的值为二、解答题：（本大题共6小题，共计90分请在答题卡指定的区域内作答，解答时应写出文字说明，求证过程或演算步骤）15已知集合A=x|（x2）（x3a1）0，函数的定义域为集合B（1）若a=2，求集合B；（2）若A=B，求实数a的值16命题p：“关于x的方程x2+ax+1=0有解”，命题q：“xR，e2x2ex+a0恒成立”，若“pq”为真，求实数a的取值范围17已知函数f（x）=x33ax+b（a0）的图象在点（2，f（2）处的切线方程为y=8（1）求实数a，b的值；（2）求函数f（x）的单调区间；（3）求函数f（x）的极值18如图，在半径为2，圆心角为变量的扇形OAB内作一内切圆P，再在扇形内作一个与扇形两半径相切并与圆P外切的小圆Q，设圆P与圆Q的半径之积为y（1）按下列要求写出函数关系式：设AOB=2（0），将y表示成的函数；设圆P的半径x（0x1），将y表示成x的函数（2）请你选用（1）中的一个函数关系式，求y的最大值19已知函数f（x）=x2+3x，g（x）=x（m+1）lnx，mR（1）求函数g（x）的极值；（2）若对任意x1，x21，e，f（x1）g（x2）1恒成立，求m的取值范围20已知函数f（x）=lnx，g（x）=ax+b（1）若函数h（x）=f（x）g（x）在（0，+）上单调递增，求实数a的取值范围；（2）若直线g（x）=ax+b是函数f（x）=lnx图象的切线，求a+b的最小值；（3）当b=0时，若f（x）与g（x）的图象有两个交点A（x1，y1），B（x2，y2），求证：x1x22e2（取e为2.8，取ln2为0.7，取为1.4）附加题21长方体A1B1C1D1ABCD中，AB=AD=2，A1A=2，M为棱C1C的中点，C1D与D1C交于点N，求证：AMA1N22已知A=，B=，且二阶矩阵M满足AM=B（1）求A1；（2）求矩阵M23设二阶矩阵M是把坐标平面上点的横坐标不变、纵坐标沿y方向伸长为原来5倍的伸压变换（1）求直线4x10y=1在M作用下的方程；（2）求M的特征值与特征向量（3）求M5的值24如图，四棱锥SABCD的底面是正方形，SD平面ABCD，SD=AD=a，点E是SD上的点，且DE=（01）（1）求证：对任意的（0，1，都有ACBE；（2）若二面角CAED的大小为60，求的值xx学年江苏省南通市如皋中学高二（下）4月段考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共计70分请把答案填写在答题卡相应位置上）1设集合A=0，2，3，B=x+1，x2+4，AB=3，则实数x的值为2【考点】交集及其运算【分析】由A，B，以及两集合的交集，确定出x的值即可【解答】解：A=0，2，3，B=x+1，x2+4，且AB=3，x+1=3或x2+4=3，解得：x=2或无解，则实数x的值为2故答案为：22命题“若a1，则a2”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数为2【考点】四种命题的真假关系【分析】根据四种命题的关系写出答案即可【解答】解：因为在命题的四种形式中原命题和逆否命题互为逆否命题，同真同假，否命题和逆命题互为逆否命题同真同假原命题为假命题；逆命题是真命题，命题的逆否命题为假命题，否命题为真命题；故答案为：2；3若命题p：xR，x21，则该命题的否定是xR，x21【考点】命题的否定【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，若命题p：xR，x21，则该命题的否定是xR，x21；故答案为：xR，x214已知函数的定义域为M，函数g（x）=2x的值域为N，则MN=（0，1）【考点】交集及其运算【分析】先求出f（x）定义域M和g（x）的值域N，再进行交集运算【解答】解：对于f（x），要满足1x0，即，x1，故M=x|x1对于g（x），由于g（x）=2x0，故N=y|y0=x|x0，所以，MN=x|x1x|x0=（0，1）故答案为：（0，1）5函数f（x）=x+2cosx在0，上取得最大值时，此时x的值为【考点】利用导数求闭区间上函数的最值【分析】利用导数法分析函数的单调性及函数两端点的函数值，可得函数的最大值点和最小值点，进而得到答案【解答】解：f（x）=x+2cosxf（x）=12sinx令f（x）=0，结合x0，得x=当x0，）时，f（x）0，函数为增函数；当x（，时，f（x）0，函数为减函数；又f（0）=2，f（）=故当x=时，函数取最大值；当x=时，函数取最小值；故答案为：大，或小，6曲线y=xex+2x+1在点（0，1）处的切线方程为y=3x+1【考点】导数的几何意义【分析】根据导数的几何意义求出函数y在x=0处的导数，从而求出切线的斜率，再用点斜式写出切线方程，化成斜截式即可；【解答】解：y=ex+xex+2，y|x=0=3，切线方程为y1=3（x0），y=3x+1故答案为：y=3x+17函数y=+2lnx的单调减区间为（0，【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】先利用导数运算公式计算函数的导函数y，再解不等式y0，即可解得函数的单调递减区间【解答】解：= （x0）由y0，得x，由y0，得0x，函数的单调减区间为（0，故答案为（0，8已知函数f（x）=ax3+3x2x+1是R上的单调递减函数，则实数a的取值范围是a3【考点】函数的单调性与导数的关系【分析】求出f（x），由题意f（x）0在R上恒成立，利用二次函数的性质求出a的取值范围即可得到满足题意的a范围【解答】解：f（x）=3ax2+6x1，由题意f（x）0在R上恒成立则，即于是a3故答案为：a39已知函数f（x）=ex在区间1，2上的最小值为1，则实数m的值为e1【考点】利用导数求闭区间上函数的最值【分析】求导，f（x）=ex=ex+0，函数在区间1，2单调递增，当x=1时，函数f（x）取最小值，f（1）=em=1，即可求得m的值【解答】解：f（x）=ex，f（x）=ex+0，函数在区间1，2单调递增，当x=1时，函数f（x）取最小值，f（1）=em=1，m=e1；故答案为：e110已知函数f（x）=xlnxx2x在定义域内为单调函数，则实数a的取值范围是【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】求出f（x）的导数，问题转化为f（x）=lnxax0在（0，+）恒成立，求出f（x）的最大值，得到关于a的不等式，解出即可【解答】解：f（x）=xlnxx2x的定义域是（0，+），f（x）=lnxax，若函数f（x）在定义域上单调，则f（x）=lnxax0在（0，+）恒成立，或f（x）=lnxax0在（0，+）恒成立，f（x）=lnxax0时，显然a0，f（x）=，令f（x）0，解得：0x，令f（x）0，解得：x，f（x）在（0，）递增，在（，+）递减，f（x）max=f（）=ln10，解得：a，f（x）=lnxax0时，即lnxax在（0，+）恒成立，显然不合题意；故答案为：11已知f（x）为定义在（0，+）上的可导函数且f（x）0，若f（x）xf（x）恒成立，则不等式x2f（）f（x）0的解集为（0，1）【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】令辅助函数F（x）=，求其导函数，据导函数的符号与函数单调性的关系判断出F（x）的单调性，利用单调性判断出，由不等式的关系，利用不等式的性质得到结论【解答】解：令F（x）=，（x0），则F（x）=，f（x）xf（x），F（x）0，F（x）为定义域上的增函数，由不等式x2f（）f（x）0，得：，x，0x1，故答案为：（0，1）12若关于x的方程|ex3x|=kx有四个实数根，则实数k的取值范围为（0，3e）【考点】根的存在性及根的个数判断【分析】作出函数的图象，根据函数y=|ex3x|的图象进行判断，再根据函数的图象求出满足条件的k值，即可得到满足条件的实数k的取值范围【解答】解：函数y=|ex3x|的图象如下图所示：由图可知当0kk1时，函数y=|ex3x|的图象与y=kx的图象有四个交点当k=3e时，函数y=3xex与y=kx的图象相切，故k1=3e即实数k的取值范围为（0，3e）故答案为：（0，3e）13设曲线y=（ax1）ex在点A（x0，y1）处的切线为l1，曲线y=（1x）ex在点B（x0，y2）处的切线为l2若存在，使得l1l2，则实数a的取值范围为【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的值域；两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系【分析】根据曲线方程分别求出导函数，把A和B的横坐标x0分别代入到相应的导函数中求出切线l1和切线为l2的斜率，然后根据两条切线互相垂直得到斜率乘积为1，列出关于等式由解出，然后根据为减函数求出其值域即可得到a的取值范围【解答】解：函数y=（ax1）ex的导数为y=（ax+a1）ex，l1的斜率为，函数y=（1x）ex的导数为y=（x2）exl2的斜率为，由题设有k1k2=1从而有a（x02x02）=x03得到x02x020，所以，又a=，另导数大于0得1x05，故在（0，1）是减函数，在（1，）上是增函数，x0=0时取得最大值为=；x0=1时取得最小值为1故答案为：14若函数f（x）=ax2+bx+c（a0）的图象与直线l交于两点A（t，t3t），B（2t2+3t，t3+t2），其中t0且t1，则f（t2+2t）的值为【考点】二次函数的性质【分析】由题意，将A，B坐标带入函数f（x）=ax2+bx+c，找到a，b与t的关系在求导函数，再值f（t2+2t）计算【解答】解：由题意：A（t，t3t），B（2t2+3t，t3+t2）在函数f（x）=ax2+bx+c上，则有：f（t）=at2+bt+c=t3t，f（2t2+3t）=a（2t2+3t）2+b（2t2+3t）+c=t3+t2那么：得：4at2（t2+3t+2）+2bt（t+1）=t（t+1） 化简：4at2（t+12bt（t+1）=t（t+1） 解得：4at（t+2）+2b=1f（x）=ax2+bx+cf（x）=2ax+bf（t2+2t）=2a（t2+2t）+b=2at（t+2）+6= 4at（t+2）+2b=故答案为二、解答题：（本大题共6小题，共计90分请在答题卡指定的区域内作答，解答时应写出文字说明，求证过程或演算步骤）15已知集合A=x|（x2）（x3a1）0，函数的定义域为集合B（1）若a=2，求集合B；（2）若A=B，求实数a的值【考点】对数函数的定义域；一元二次不等式的解法【分析】（I）由a=2及对数函数的定义域，直接解分式不等式可求集合B（II）要求集合A，需要对2与3a+1的大小进行讨论分23a+1，2=3a+123a+1三种情况分别求解集合A，然后根据集合A=B，从而可求a【解答】解：（）由，得4x5，故集合B=x|4x5；（）由题可知，a2+12aB=（2a，a2+1）若23a+1，即时，A=（2，3a+1），又因为A=B，所以，无解；若2=3a+1时，显然不合题意；若23a+1，即时，A=（3a+1，2），又因为A=B，所以，解得a=1综上所述，a=116命题p：“关于x的方程x2+ax+1=0有解”，命题q：“xR，e2x2ex+a0恒成立”，若“pq”为真，求实数a的取值范围【考点】复合命题的真假【分析】若p为真，可得0，解得a范围若q为真，令h（x）=e2x2ex+a，利用导数研究其单调性极值与最值，即可得出，a的取值范围由“pq”为真，可得p为真且q为真【解答】解：若p为真，则=a240，故a2或a2若q为真，则令h（x）=e2x2ex+a，则h（x）=2e2x2e=2e（e2x11），令h（x）0，则，h（x）在上单调递减；令h（x）0，则x，h（x）在上单调递增当时，h（x）有最小值，xR，h（x）0恒成立，a0“pq”为真，p为真且q为真，解得a0从而所求实数a的取值范围为0，+）17已知函数f（x）=x33ax+b（a0）的图象在点（2，f（2）处的切线方程为y=8（1）求实数a，b的值；（2）求函数f（x）的单调区间；（3）求函数f（x）的极值【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性【分析】（1）根据切点既在切线上又在函数f（x）的图象上，建立一等式关系，再根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=2处的导数，建立另一关系式，解方程组即可求出a和b的值；（2）先求导数f（x），在函数的定义域内解不等式f（x）0和f（x）0，即可求出函数的单调区间；（3）由（2）即可求函数f（x）的极值【解答】解：（1）切点（2，f（2）在切线y=8上，又f（2）=86a+b，86a+b=8，得b=6a，f（x）=3x23a，且y=f（x）在点（2，f（2）处的切线斜率为0，f（2）=123a=0，由得，a=4，b=6a=24（2）f（x）=x312x+24，f（x）=3x212令f（x）=0，则x=2或2，x（，2）2（2，2）2（2，+）f（x）+00+f（x）408故f（x）的单调增区间为：（，2）和（2，+）单调减区间为：（2，2）（3）由（2）得：当x=2时，f（x）有极大值，为40，当x=2时，f（x）有极小值，为818如图，在半径为2，圆心角为变量的扇形OAB内作一内切圆P，再在扇形内作一个与扇形两半径相切并与圆P外切的小圆Q，设圆P与圆Q的半径之积为y（1）按下列要求写出函数关系式：设AOB=2（0），将y表示成的函数；设圆P的半径x（0x1），将y表示成x的函数（2）请你选用（1）中的一个函数关系式，求y的最大值【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；三角函数中的恒等变换应用【分析】（1）设圆P与圆Q的半径分别为R、r由R=（2R）sin得，由此能将y表示成的函数圆Q的半径为r，由，能将y表示成x的函数（2）选择：由y=x3+x2（0x1）得y=3x2+2x（0x1），由此利用导数性质能求出y的最大值【解答】解：（1）如图，设圆P与圆Q的半径分别为R、r由R=（2R）sin得，又，圆Q的半径为r，由得r=xx2，y=rx=x3+x2（0x1）（2）选择：由y=x3+x2（0x1）得y=3x2+2x（0x1），令y0，得； 令y0，得y=x3+x2（0x1）在区间上是增函数，在区间上是减函数当时，19已知函数f（x）=x2+3x，g（x）=x（m+1）lnx，mR（1）求函数g（x）的极值；（2）若对任意x1，x21，e，f（x1）g（x2）1恒成立，求m的取值范围【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论m的范围，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；（2）求出f（x）的最大值，问题转化为g（x）min1，根据函数的单调性求出m的范围即可【解答】解：（1）当m0时，f（x）在区间（0，1）上是减函数，在区间（1，+）上是增函数，f（x）极小值=f（1）=1m，无极大值当0m1时，f（x）在区间（0，m）上是增函数，在区间（m，1）上是减函数，在区间（1，+）上是增函数，f（x）极大值=f（m）=m（m+1）lnm1，f（x）极小值=f（1）=1m当m=1时，f（x）在区间（0，+）是增函数，f（x）无极值当m1时，f（x）在区间（0，1）上是增函数，在区间（1，m）上是减函数，在区间（m，+）上是增函数，f（x）极小值=f（m）=m（m+1）lnm1，f（x）极大值=f（1）=1m（2），由题意，当x1，e时，f（x）maxg（x）min1即g（x）min1当m1时，g（x）min=g（1）=1m，1m1，m0当1me时，g（x）min=g（m）=m（m+1）lnm1，令F（m）=m（m+1）lnm1（1me），则，F（m）是减函数，F（m）F（1）=0，g（m）0，不合题意当me时，这与me矛盾，舍去综上，m的取值范围是（，020已知函数f（x）=lnx，g（x）=ax+b（1）若函数h（x）=f（x）g（x）在（0，+）上单调递增，求实数a的取值范围；（2）若直线g（x）=ax+b是函数f（x）=lnx图象的切线，求a+b的最小值；（3）当b=0时，若f（x）与g（x）的图象有两个交点A（x1，y1），B（x2，y2），求证：x1x22e2（取e为2.8，取ln2为0.7，取为1.4）【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性【分析】（1）把f（x）和g（x）代入h（x）=f（x）g（x），求其导函数，结合h（x）在（0，+）上单调递增，可得对x0，都有h（x）0，得到，由得到a的取值范围；（2）设切点，写出切线方程，整理得到，令换元，可得a+b=（t）=lnt+t2t1，利用导数求其最小值；（3）由题意知，把a用含有x1，x2的代数式表示，得到，不妨令0x1x2，记，构造函数，由导数确定其单调性，从而得到，即，然后利用基本不等式放缩得到，令，再由导数确定G（x）在（0，+）上单调递增，然后结合又得到，即【解答】（1）解：h（x）=f（x）g（x）=，则，h（x）=f（x）g（x）在（0，+）上单调递增，对x0，都有，即对x0，都有，a0，故实数a的取值范围是（，0；（2）解：设切点，则切线方程为，即，亦即，令，由题意得，令a+b=（t）=lnt+t2t1，则，当t（0，1）时，（t）0，（t）在（0，1）上单调递减；当t（1，+）时，（t）0，（t）在（1，+）上单调递增，a+b=（t）（1）=1，故a+b的最小值为1；（3）证明：由题意知，两式相加得，两式相减得，即，即，不妨令0x1x2，记，令，则，在（1，+）上单调递增，则，则，又，即，令，则x0时，G（x）在（0，+）上单调递增，又，则，即附加题21长方体A1B1C1D1ABCD中，AB=AD=2，A1A=2，M为棱C1C的中点，C1D与D1C交于点N，求证：AMA1N【考点】棱柱的结构特征【分析】两条异面直线垂直的证明，通过平行相交，求角是90即可或者是建立空间直角坐标系，用向量进行计算【解答】解法一：解：由题意：M为棱C1C的中点，C1D与D1C交于点N，即N是C1D，D1C的中点取A1B1的中点E，连接ME，MNMNCD，A1EAB，AB=CD平面MNA1E是平行四边形，则有EMA1N；所以：AM与A1N所成的角是AME取A1A的中点F，连接NF，由A1B1C1D1ABCD是长方体：A1FN是直角三角形，A1F=A1A=，FN=A1N=EM=AE=AM=在AME中，AE2=AM2+EM2，AME是直角三角形，AME=90，即AM与A1N所成的角是90故AMA1N，得证解法二：解：以A为原点，以为正交基底建立空间直角坐标系，AB=AD=2，A1A=2，M为棱C1C的中点，C1D与D1C交于点N，即中点则有A（0，0，0），AMA1N22已知A=，B=，且二阶矩阵M满足AM=B（1）求A1；（2）求矩阵M【考点】逆矩阵与二元一次方程组【分析】（1）通过变换计算即可；（2）通过AM=B可得M=BA1，计算即可【解答】解：（1）A=，|A|=210（1）=2，A*=，A1=A*=，（2）AM=B得，23设二阶矩阵M是把坐标平面上点的横坐标不变、纵坐标沿y方向伸长为原来5倍的伸压变换（1）求直线4x10y=1在M作用下的方程；（2）求M的特征值与特征向量（3）求M5的值【考点】逆矩阵的意义【分析】（1）由题意求得转换矩阵M，由，则，求得，代入直线4x10y=1方程，即可求得方程M作用下的方程；（2）令特征多项式f（）=0，求得特征值，将特征值代入即可求得特征向量；（3）由，则【解答】解：（1）由题意可知：变换矩阵M，设（x，y）是所求曲线上的任一点，则，所以从而代入4x10y=1得，4x2y1=0，曲线的方程为4x2y1=0（2）矩阵M的特征多项式，由f（）=0得，矩阵M的特征值为1=1，2=5当1=1时，对应的一个特征向量；当2=5时，对应的一个特征向量（3），24如图，四棱锥SABCD的底面是正方形，SD平面ABCD，SD=AD=a，点E是SD上的点，且DE=（01）（1）求证：对任意的（0，1，都有ACBE；（2）若二面角CAED的大小为60，求的值【考点】与二面角有关的立体几何综合题；空间中直线与直线之间的位置关系【分析】（1）以D为原点，DA，DC，DS的方向分别作为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，分别求出，的坐标，计算向量的数量积，只要说明数量积与无关即可；（2）分别求出平面ADE与平面ACE的一个法向量，利用二面角CAED的大小为60建立两法向量的关系式，求出的值即可【解答】解：以D为原点，DA，DC，DS的方向分别作为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则D（0，0，0），A（a，0，0），B（a，a，0），C（0，a，0），E（0，0，a），（1）证明：=（a，a，0），=（a，a，a），=（a，0，a），=（0，a，a）=（a，a，0）（a，a，a）=a2a2+0a=0，即对任意的（0，1，都有ACBE（2）=（0，a，0）为平面ADE的一个法向量设平面ACE的一个法向量为n=（x，y，z），则nE，nE，即取z=1，得n=（，1）cos60=2|由（0，1，解得=xx年12月1日