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2019-2020年高考冲刺卷(理科数学试卷六) 含答案一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分. 在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1. 已知集合,则等于(A) (B) (C) (D)2下列给出的函数中,既不是奇函数也不是偶函数的是(A) (B) (C) (D)3. 设,则(A) (B) (C) (D)4设向量,且,则等于(A) (B) (C) (D)开始是否输出结束5. 阅读右侧程序框图,为使输出的数据为,则处应填的数字为(A) (B) (C) (D)6.已知函数,则下列结论正确的是(A)两个函数的图象均关于点成中心对称(B)两个函数的图象均关于直线成中心对称(C)两个函数在区间上都是单调递增函数(D)两个函数的最小正周期相同7已知曲线及两点和,其中.过,分别作轴的垂线,交曲线于,两点,直线与轴交于点,那么(A)成等差数列 (B)成等比数列(C)成等差数列 (D)成等比数列8如图,四面体的三条棱两两垂直,,,为四面体外一点.给出下列命题.OABDC不存在点,使四面体有三个面是直角三角形不存在点,使四面体是正三棱锥存在点,使与垂直并且相等存在无数个点,使点在四面体的外接球面上其中真命题的序号是 (A) (B) (C) (D)第卷(非选择题 共110分)PABCO二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分. 9. 在复平面内,复数对应的点到原点的距离为_.10.如图,从圆外一点引圆的切线和割线,已知,圆心到的距离为,则圆的半径为_.正(主)视图俯视图侧(左)视图34433311.已知椭圆经过点,则_,离心率_.12.一个棱锥的三视图如图所示,则这个棱锥的体积为_.13.某展室有9个展台,现有件展品需要展出,要求每件展品独自占用个展台,并且件展品所选用的展台既不在两端又不相邻,则不同的展出方法有_种;如果进一步要求件展品所选用的展台之间间隔不超过两个展位,则不同的展出方法有_种.14.已知数列的各项均为正整数,对于,有当时,_;若存在,当且为奇数时,恒为常数,则的值为_.三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.15.(本小题满分13分)设中的内角,所对的边长分别为,且,.()当时,求角的度数;()求面积的最大值.16(本小题满分13分)甲、乙、丙三人独立破译同一份密码,已知甲、乙、丙各自破译出密码的概率分别为.且他们是否破译出密码互不影响.若三人中只有甲破译出密码的概率为.()求甲乙二人中至少有一人破译出密码的概率;()求的值;()设甲、乙、丙三人中破译出密码的人数为,求的分布列和数学期望.ABCDFE17.(本小题满分13分)如图, 是边长为的正方形,平面, ,与平面所成角为.()求证:平面;()求二面角的余弦值;()设点是线段上一个动点,试确定点的位置,使得平面,并证明你的结论.18. (本小题满分14分)已知函数,其中.()求函数的单调区间;()若直线是曲线的切线,求实数的值;()设,求在区间上的最大值.(其中为自然对数的底数)19. (本小题满分14分)已知抛物线的焦点为,过的直线交轴正半轴于点,交抛物线于两点,其中点在第一象限.()求证:以线段为直径的圆与轴相切;()若,,求的取值范围.20.(本小题满分13分)定义为有限项数列的波动强度.()当时,求;()若数列满足,求证:;()设各项均不相等,且交换数列中任何相邻两项的位置,都会使数列的波动强度增加,求证:数列一定是递增数列或递减数列.中国人民大学附属中学高考冲刺卷数学(理)试卷(六)参考答案一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分. 题号12345678答案CBADBCAD二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分. 9. 10. 11. ,12. 13. , 14.;或注:11题,13题,14题第一问2分,第二问3分.三、解答题:本大题共6小题,共80分.若考生的解法与本解答不同,正确者可参照评分标准给分. 15.(本小题满分13分)解:()因为,所以. 2分因为,由正弦定理可得. 4分因为,所以是锐角,所以. 6分()因为的面积, 7分所以当最大时,的面积最大.因为,所以. 9分因为,所以, 11分所以,(当时等号成立) 12分所以面积的最大值为. 13分16.(本小题满分13分)解:记“甲、乙、丙三人各自破译出密码”分别为事件,依题意有且相互独立.()甲、乙二人中至少有一人破译出密码的概率为. 3分()设“三人中只有甲破译出密码”为事件,则有, 5分所以,. 7分()的所有可能取值为. 8分所以,= . 11分分布列为: 12分所以,. 13分yBCAEzDFxM17.(本小题满分13分)()证明: 因为平面,所以. 2分因为是正方形,所以,从而平面. 4分()解:因为两两垂直,所以建立空间直角坐标系如图所示.因为与平面所成角为,即,5分所以.由可知,. 6分则,所以, 7分设平面的法向量为,则,即,令,则. 8分因为平面,所以为平面的法向量,所以. 9分因为二面角为锐角,所以二面角的余弦值为. 10分()解:点是线段上一个动点,设.则,因为平面,所以, 11分即,解得. 12分此时,点坐标为,符合题意. 13分18. (本小题满分14分)解:(),(), 3分在区间和上,;在区间上,.所以,的单调递减区间是和,单调递增区间是. 4分()设切点坐标为,则 7分(1个方程1分)解得,. 8分(),则, 9分解,得,所以,在区间上,为递减函数,在区间上,为递增函数. 10分当,即时,在区间上,为递增函数,所以最大值为. 11分当,即时,在区间上,为递减函数,所以最大值为. 12分当,即时,的最大值为和中较大者;,解得,所以,时,最大值为, 13分时,最大值为. 14分综上所述,当时,最大值为,当时,的最大值为.19. (本小题满分14分) 解:()由已知,设,则,圆心坐标为,圆心到轴的距离为, 2分圆的半径为, 4分所以,以线段为直径的圆与轴相切. 5分()解法一:设,由,得, 6分所以, 8分由,得.又,所以 . 10分代入,得,整理得, 12分代入,得,所以, 13分因为,所以的取值范围是. 14分解法二:设,将代入,得,所以(*), 6分由,得, 7分所以, 8分将代入(*)式,得, 10分所以,. 12分代入,得. 13分因为,所以的取值范围是. 14分20(本小题满分13分)()解: 1分. 3分()证明:因为,所以. 4分因为,所以,或.若,则当时,上式,当时,上式,当时,上式,即当时,. 6分若,则,.(同前)所以,当时,成立. 7分()证明:由()易知对于四个数的数列,若第三项的值介于前两项的值之间,则交换第二项与第三项的位置将使数列波动强度减小或不变.(将此作为引理)下面来证明当时,为递减数列.()证明.若,则由引理知交换的位置将使波动强度减小或不变,与已知矛盾.若,则,与已知矛盾.所以,. 9分()设,证明.若,则由引理知交换的位置将使波动强度减小或不变,与已知矛盾.若,则,与已知矛盾.所以,. 11分()设,证明.若,考查数列,则由前面推理可得,与矛盾.所以,. 12分综上,得证.同理可证:当时,有为递增数列. 13分
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