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专题10 数学思想方法,第47练 转化与化归思想,思想方法解读,转化与化归思想，就是在研究和解决有关数学问题时，采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而使问题得到解决的一种数学方法.一般是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题.转化与化归思想是实现具有相互关联的两个知识板块进行相互转化的重要依据，如函数与不等式、函数与方,程、数与形、式与数、角与边、空间与平面、实际问题与数学问题的互化等，消去法、换元法、数形结合法等都体现了等价转化思想，我们也经常在函数、方程、不等式之间进行等价转化，在复习过程中应注意相近主干知识之间的互化，注重知识的综合性.,转化与化归思想的原则 (1)熟悉已知化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，将未知的问题转化为已知的问题，以便于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决. (2)简单化原则：将复杂问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据.,(3)和谐统一原则：转化问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐统一的形式；或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或符合人们的思维规律. (4)正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，应想到问题的反面，设法从问题的反面去探讨，使问题获得解决.,常考题型精析,高考题型精练,题型一 正难则反的转化,题型二 函数、方程、不等式之间的转化,题型三 主与次的转化,常考题型精析,题型四 以换元为手段的转化与化归,题型一 正难则反的转化,例1 已知集合AxR|x24mx2m60，BxR|x0，若AB，求实数m的取值范围. 解 设全集Um|(4m)24(2m6)0，,若方程x24mx2m60的两根x1，x2均为非负，,所以，使AB的实数m的取值范围为m|m1.,点评 本题中，AB，所以A是方程x24mx2m60的实数解组成的非空集合，并且方程的根有三种情况：(1)两负根；(2)一负根和一零根；(3)一负根和一正根.分别求解比较麻烦，我们可以从问题的反面考虑，采取“正难则反”的解题策略，即先由0，求出全集U，然后求的两根均为非负时m的取值范围，最后利用“补集思想”求解，这就是正难则反这种转化思想的应用，也称为“补集思想”.,变式训练1 若对于任意t1,2，函数g(x)x3 x22x在区间(t,3)上总不为单调函数，则实数m的取值范围是_. 解析 g(x)3x2(m4)x2，若g(x)在区间(t,3)上总为单调函数， 则g(x)0在(t,3)上恒成立，或g(x)0在(t,3)上恒 成立. 由得3x2(m4)x20，,题型二 函数、方程、不等式之间的转化,所以令f(x)0，,由0a1，知12a2.,所以函数f(x)在(1,2a)上单调递减，在(2a,2)上单调递增.,由对任意x1，x2，x31,2，都有f(x1)f(x2)f(x3)恒成立，得2f(x)minf(x)max(x1,2).,点评 解决方程、不等式的问题需要函数帮助，解决函数的问题需要方程、不等式的帮助，因此借助于函数、方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简，一般可将不等关系转化为最值(值域)问题，从而求出参变量的范围.,变式训练2 (2015课标全国)设函数f(x)e2xaln x. (1)讨论f(x)的导函数f(x)零点的个数； 解 f(x)的定义域为(0，)，,当a0时，f(x)0，f(x)没有零点.,所以f(x)在(0，)上单调递增.,f(b)0时，f(x)存在唯一零点.,题型三 主与次的转化,例3 已知函数f(x)x33ax1，g(x)f(x)ax5，其中f(x)是f(x)的导函数.对满足1a1的一切a的值，都有g(x)0，则实数x的取值范围为_. 解析 由题意，知g(x)3x2ax3a5， 令(a)(3x)a3x25，1a1. 对1a1，恒有g(x)0，即(a)0，,点评 主与次的转化法 合情合理的转化是数学问题能否“明朗化”的关键所在，通过变换主元，起到了化繁为简的作用.在不等式中出现两个字母：x及a，关键在于该把哪个字母看成变量，哪个看成常数.显然可将a视作自变量，则上述问题即可转化为在1,1内关于a的一次函数小于0恒成立的问题.,变式训练3 设f(x)是定义在R上的单调递增函数，若f(1axx2)f(2a)对任意a1,1恒成立，则x的取值范围为_. 解析 f(x)是R上的增函数， 1axx22a，a1,1. (*) (*)式可化为(x1)ax210，对a1,1恒成立. 令g(a)(x1)ax21.,解得x0或x1， 即实数x的取值范围是(，10，). 答案 (，10，),题型四 以换元为手段的转化与化归,0cos x1，令cos xt，,点评 换元有整体代换、特值代换、三角换元等情况. 本题是关于三角函数最值的存在性问题，通过换元，设 cos xt，转化为关于t的二次函数问题，把三角函数的最值问题转化为二次函数 0t1的最值问题，然后分类讨论解决问题.,变式训练4 若关于x的方程9x(4a)3x40有解，则实数a的取值范围是_. 解析 设t3x，则原命题等价于关于t的方程t2(4a)t40有正解，分离变量a，,a8，即实数a的取值范围是(，8.,(，8,高考题型精练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,高考题型精练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,又函数ylogax(a1)为增函数，,abc. 答案 B,高考题型精练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,高考题型精练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,解析 若f(x)(2xx2)ex0，则0x2，正确；,答案 A,高考题型精练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,3.(2014湖南)若0x1x21，则( ),高考题型精练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,解析 设f(x)exln x(0x1)，,令f(x)0，得xex10.,高考题型精练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,又0g(x2)，,答案 C,高考题型精练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,高考题型精练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,答案 C,高考题型精练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,A.a2 B.b2 C.2ab D.a2b2,A,高考题型精练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,6.设P为曲线C：yx22x3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为 ，则点P横坐标的取值范围为( ),A,高考题型精练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,7.P为双曲线 1的右支上一点，M、N分别是圆(x5)2y24和圆(x5)2y21上的点，则|PM|PN|的最大值为( ) A.6 B.7 C.8 D.9 解析 设双曲线的左、右焦点分别为F1、F2， 则其分别为已知两圆的圆心， 由已知|PF1|PF2|236.,高考题型精练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,要使|PM|PN|最大，需PM，PN分别过F1、F2点即可. (|PM|PN|)max(|PF1|2)(|PF2|1) |PF1|PF2|39. 答案 D,高考题型精练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,A,9.已知等差数列an的公差d0，且a1、a3、a9成等比数列，则 的值是_. 解析 由题意知，只要满足a1、a3、a9成等比数列的条件，an取何种等差数列与所求代数式的值是没有关系的. 因此，可把抽象数列化归为具体数列.比如，可选取数列ann(nN*)，,高考题型精练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,高考题型精练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,高考题型精练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,10.已知一个几何体的三视图如图所示，如果点P，Q在正视图中所示位置：P为所在线段中点，Q为顶点，则在几何体侧面上，从P点到Q点的最短路径的长为_.,高考题型精练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,解析 由三视图，知此几何体是一个圆锥和一个圆柱的组合体，分别沿P点与Q点所在母线剪开圆柱侧面并展开铺平，如图所示.,高考题型精练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,证明 f(x)x21，当x1,1时，f(x)0， f(x)在1,1上递减.,高考题型精练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,高考题型精练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,令g(x)0，解得01.,高考题型精练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,函数g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减， g(x)极大值g(1)2.,高考题型精练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,证明 由(1)知x1是函数g(x)的极大值点，也是最大值点， g(x)g(1)2，即ln x(x1)2ln xx1(当且仅当x1时等号成立)， 令tx1，得tln(t1)(t1)，,高考题型精练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,
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