2019-2020年高三4月模拟考试数学试题（文）含解析.doc

2019-2020年高三4月模拟考试数学试题（文）含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）设全集U=R，集合A=x|x1，集合，则AB=（） A （，0） B （，1） C 1，+） D （1，3【考点】： 交集及其运算【专题】： 计算题【分析】： 由题意求出集合B，然后直接求出集合AB即可【解析】： 解：因为集合=x|x3，又集合A=x|x1，所以AB=x|x1x|x3=x|1x3，故选D【点评】： 本题考查集合的基本运算，函数的定义域的求法，考查计算能力2（5分）下面是关于复数z=的四个命题：p1：|z|=2；p2：z2=2i；p3：z的共轭复数为1+i；p4：z的虚部为1其中的真命题为（） A p1，p2 B p2，p4 C p2，p3 D p3，p4【考点】： 复数代数形式的乘除运算；命题的真假判断与应用【专题】： 数系的扩充和复数【分析】： 利用复数的运算法则、模的计算公式、共轭复数的定义、虚部的定义即可判断出【解析】： 解：复数z=1i|z|=，z2=2i，=1+i，z的虚部为1因此只有p2，p4是真命题故选：B【点评】： 本题考查了复数的运算法则、模的计算公式、共轭复数的定义、虚部的定义，属于基础题3（5分）函数f（x）=x|x+a|+b是奇函数的充要条件是（） A ab=0 B a+b=0 C a2+b2=0 D a=b【考点】： 函数奇偶性的判断；必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】： 函数的性质及应用【分析】： 若f（x）是奇函数，则f（x）=f（x）恒成立，根据恒等式成立的条件即可求得a、b的值【解析】： 解：若f（x）是奇函数，则f（x）=f（x），即x|xa|+b=x|x+a|b恒成立，亦即x（|xa|x+a|）=2b恒成立，要使上式恒成立，只需|xa|x+a|=2b=0，即a=b=0，故函数f（x）=x|x+a|+b是奇函数的充要条件是a=b=0，故选C【点评】： 本题考查函数奇偶性的性质，属中档题，定义是解决该类题的基本方法4（5分）已知某几何三视图如图所示，则该几何体的表面积是（） A 24 B C 36 D 【考点】： 由三视图求面积、体积【专题】： 计算题；空间位置关系与距离【分析】： 由几何体的三视图知，该几何体是四棱锥，并且四棱锥的一条棱垂直于底面，由此能求出该几何体的表面积【解析】： 解：由几何体的三视图知，该几何体是如图所求的四棱锥SABCD，SC平面ABCD，SC=DC=4，BC=3，ABCD是矩形，SD=4，AC=5，SA=，SB=5，cosASD=，cosASB=，sinASD=，sinASB=，SSAD=6SASB=10，该几何体的表面积S=S矩形ABCD+SSDC+SSBC+SSAB+SSAD=34+10+6=36+6故选B【点评】： 本题考查由几何体的三视图求几何体的表面积，是基础题解题时要认真审题，注意空间想象能力的培养5（5分）已知x，y满足，且z=2x+y的最大值是最小值的4倍，则a的值是（） A 4 B C D 【考点】： 简单线性规划【专题】： 不等式的解法及应用【分析】： 作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，结合目标函数z=2x+y的最大值是最小值的4倍，建立方程关系，即可得到结论【解析】： 解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=2x+y得y=2x+z，平移直线y=2x+z，由图象可知当直线y=2x+z经过点A时，直线的截距最大，此时z最大，由，解得即A（1，1），此时z=21+1=3，当直线y=2x+z经过点B时，直线的截距最小，此时z最小，由，解得，即B（a，a），此时z=2a+a=3a，目标函数z=2x+y的最大值是最小值的4倍，3=43a，即a=故选：D【点评】： 本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键6（5分）如图，在ABC中，AB=BC=4，ABC=30，AD是边BC上的高，则的值等于（） A 0 B 4 C 8 D 4【考点】： 平面向量数量积的运算【专题】： 数形结合【分析】： 通过解直角三角形求出边AD，利用向量的运算法则、向量垂直的充要条件、向量的数量积公式求出【解析】： 解：因为AB=BC=4，ABC=30，AD是边BC上的高，所以AD=4sin30=2所以=（+）=+=24=4，故选B【点评】： 本题考查向量的运算法则、向量垂直的充要条件、向量的数量积公式7（5分）已知函数f（x）=x2+cosx，f（x）是函数f（x）的导函数，则f（x）的图象大致是（） A B C D 【考点】： 函数的图象【专题】： 函数的性质及应用【分析】： 由于f（x）=x+cosx，得f（x）=xsinx，由奇函数的定义得函数f（x）为奇函数，其图象关于原点对称，排除BD，取x=代入f（）=sin=10，排除C，只有A适合【解析】： 解：由于f（x）=x+cosx，f（x）=xsinx，f（x）=f（x），故f（x）为奇函数，其图象关于原点对称，排除BD，又当x=时，f（）=sin=10，排除C，只有A适合，故选：A【点评】： 本题考查函数的图象，考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合的思维能力，同时考查导数的计算，属于中档题8（5分）函数f（x）=Asin（x+）（其中A0，0，|）的图象如图所示，为了得到g（x）=sin2x的图象，则只需将f（x）的图象（） A 向左平移个长度单位 B 向右平移个长度单位 C 向右平移个长度单位 D 向左平移个长度单位【考点】： 函数y=Asin（x+）的图象变换【专题】： 三角函数的图像与性质【分析】： 由函数的最值求出A，由周期求出，由五点法作图求出的值，可得函数的解析式，再根据y=Asin（x+）的图象变换规律，可得结论【解析】： 解：由函数f（x）=Asin（x+）的图象可得A=1，根据=，求得=2，再根据五点法作图可得2+=，求得=，f（x）=sin（2x+）=sin2（x+），故把f（x）的图象向右平移个长度单位，可得g（x）=sin2x的图象，故选：C【点评】： 本题主要考查利用y=Asin（x+）的图象特征，由函数y=Asin（x+）的部分图象求解析式，y=Asin（x+）的图象变换规律，属于基础题9（5分）已知抛物线y2=2px（p0）上一点M（1，m）（m0）到其焦点的距离为5，双曲线y2=1的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则实数a的值是（） A B C D 【考点】： 双曲线的简单性质；抛物线的简单性质【专题】： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】： 求得抛物线的准线方程，再由抛物线的定义可得p=8，求出M的坐标，求得双曲线的左顶点和渐近线方程，再由斜率公式，结合两直线平行的条件：斜率相等，计算即可得到a的值【解析】： 解：抛物线y2=2px（p0）的准线方程为x=，由抛物线的定义可得5=1+，可得p=8，即有y2=16x，M（1，4），双曲线y2=1的左顶点为A（，0），渐近线方程为y=x，直线AM的斜率为，由双曲线的一条渐近线与直线AM平行，可得=，解得a=，故选A【点评】： 本题考查抛物线和双曲线的定义、方程和性质，主要考查抛物线的定义和渐近线方程，运用两直线平行的条件是解题的关键10（5分）已知定义域为R的奇函数y=f（x）的导函数为y=f（x），当x0时，f（x）+0，若a=f（），b=2f（2），c=（ln）f（ln），则a，b，c的大小关系正确的是（） A abc B bca C acb D cab【考点】： 利用导数研究函数的单调性【专题】： 导数的概念及应用【分析】： 利用条件构造函数h（x）=xf（x），然后利用导数研究函数h（x）的单调性，利用函数的单调性比较大小【解析】： 解：设h（x）=xf（x），h（x）=f（x）+xf（x），y=f（x）是定义在实数集R上的奇函数，h（x）是定义在实数集R上的偶函数，当x0时，h（x）=f（x）+xf（x）0，此时函数h（x）单调递增a=f（）=h（），b=2f（2）=2f（2）=h（2），c=（ln）f（ln）=h（ln）=h（ln2）=h（ln2），又2ln2，bca故选：C【点评】： 本题考查如何构造新的函数，利用单调性比较大小，是常见的题目本题属于中档题二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11（5分）在ABC中，若b=1，c=，C=，则a=1【考点】： 三角形中的几何计算【专题】： 解三角形【分析】： 先根据b，c，c，由正弦定理可得sinB，进而求得B，再根据正弦定理求得a【解析】： 解：在ABC中由正弦定理得，sinB=，bc，故B=，则A=由正弦定理得a=1故答案为：1【点评】： 本题考查了应用正弦定理求解三角形问题属基础题12（5分）在某市“创建文明城市”活动中，对800名志愿者的年龄抽样调查统计后得到频率分布直方图（如图），但是年龄组为25，30）的数据不慎丢失，据此估计这800名志愿者年龄在25，30）的人数为160【考点】： 频率分布直方图【专题】： 概率与统计【分析】： 根据频率分布直方图中频率和等于1，计算年龄组为25，30）的数据频率，求出对应的频数即可【解析】： 解：根据频率分布直方图中频率和等于1，得；年龄组为25，30）的数据频率为1（0.01+0.07+0.06+0.02）5=0.2，估计这800名志愿者年龄在25，30）的人数为8000.2=160故答案为：160【点评】： 本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了频率=的应用问题，是基础题目13（5分）运行如图所示的程序框图，则输出的结果S为1007【考点】： 程序框图【专题】： 图表型；算法和程序框图【分析】： 程序运行的功能是求S=12+34+（1）k1k，根据计算变量n判断程序终止运行时的k值，利用并项求和求得S【解析】： 解：执行程序框图，有k=1，S=0满足条件nxx，S=1，k=2；满足条件nxx，S=1，k=3；满足条件nxxS=2，k=4；满足条件nxxS=2，k=5；满足条件nxxS=3，k=6；满足条件nxxS=3，k=7；满足条件nxxS=4，k=8；观察规律可知，有满足条件nxxS=1006，k=xx；满足条件nxxS=1006，k=xx；满足条件nxxS=1007，k=xx；满足条件nxx，S=1007，k=xx；不满足条件nxx，输出S的值为1007故答案为：1007【点评】： 本题考查了循环结构的程序框图，根据计算变量n判断程序终止运行时的k值是解答本题的关键14（5分）已知函数f（x）=，则满足f（a）2的实数a的取值范围是（，10，+）【考点】： 分段函数的应用【专题】： 计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用【分析】： 讨论a，结合分段函数有或，由指数函数的单调性和一次不等式的解法，即可得到所求范围【解析】： 解：函数f（x）=，且f（a）2，则有或，即或，即有a1或a0则a的取值范围为（，10，+）故答案为：（，10，+）【点评】： 本题考查分段函数的运用，主要考查不等式的解法和运用，运用指数函数的单调性是解题的关键15（5分）（xx东城区模拟）已知数集A=a1，a2，a3，a4，a5（0a1a2a3a4a5）具有性质p：对任意i，jZ，其中1ij5，均有（ajai）A，若a5=60，则a3=30或36【考点】： 数列的函数特性【专题】： 等差数列与等比数列【分析】： 对a1分类讨论，利用性质p：对任意i，jZ，其中1ij5，均有（ajai）A，及其a5=60，即可得出【解析】： 解：当a1=0时，则a2a1=a2A，a20，则a3a2=a2，a3=2a2，同理可得a4=3a2，a5=4a2；由4a2=60，解得a2=15，即A=0，15，30，45，605=a5=60，a3=30 当a10时，同理可得A=12，24，36，48，60，a3=36【点评】： 本题考查了满足某种性质的数列、集合的求法，考查了分类讨论思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题三、解答题：本大题共6小题，共75分16（12分）某中学在高二年级开设大学先修课程线性代数，共有50名同学选修，其中男同学30名，女同学20名为了对这门课程的教学效果进行评估，学校按性别采用分层抽样的方法抽取5人进行考核（I）求抽取的5人中男、女同学的人数；（II）考核前，评估小组打算从抽取的5人中随机选出2名同学进行访谈，求选出的两名同学中恰有一名女同学的概率【考点】： 列举法计算基本事件数及事件发生的概率；分层抽样方法【专题】： 概率与统计【分析】： （）按照分层抽样的方法：各层被抽到的比例相同解答；（）利用列举法分别明确从选出的5人中随机选出2名同学进行访谈和选出的两名同学中恰有一名女同学的所以可能，利用古典概率公式解答；【解析】： 解：（）抽取的5人中男同学的人数为5=3人，女同学的人数为5=2人（）记3名男同学为A1，A2，A3，2名女同学为B1，B2从5人中随机选出2名同学，所有可能的结果有A1A2，A1A3，A1B1，A1B2，A2A3，A2B1，A2B2，A3B1，A3B2，B1B2，共10个用C表示：“选出的两名同学中恰有一名女同学”这一事件，则C中的结果有6个，它们是A1B1，A1B2，A2B1，A2B2A3B1，A3B2，所以 选出的两名同学中恰有一名女同学的概率P（C）=【点评】： 本题考查了统计与概率的问题，属于基础题17（12分）已知函数f（x）=2asinxcosx+2cos2x（a0，0）的最大值为2，且最小正周期为（I）求函数f（x）的解析式及其对称轴方程；（II）若f（a）=，求sin（4+）的值【考点】： 两角和与差的正弦函数；由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式【专题】： 三角函数的图像与性质【分析】： （）根据条件函数最值和周期，利用三角函数的公式进行化简即可求a和的值，即可求出函数的解析式和对称轴方程；（）根据f（a）=，利用余弦函数的倍角公式进行化简即可求sin（4+）的值【解析】： 解：（）f（x）=2asinxcosx+2cos2x=asin2x+cos2x=sin（2x+）f（x）的最小正周期为T=，=1，f（x）的最大值为2，=2，即a=1，a0，a=1即f（x）=2sin（2x+）由2x+=+k，即x=+，（kZ）（）由f（）=，得2sin（2+）=，即sin（2+）=，则sin（4+）=sin2（2+）=cos2（2+）=1+2sin2（2+）=1+2（）2=【点评】： 本题主要考查三角函数的图象和性质，利用条件求出函数的解析式是解决本题的关键同时也考查三角函数倍角公式的应用18（12分）如图，已知四边形ABCD是正方形，PD平面ABCD，CD=PD=2EA，PDEA，F，G，H分别为PB，BE，PC的中点（I）求证：GH平面PDAE；（II）求证：平面FGH平面PCD【考点】： 直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定【专题】： 空间位置关系与距离【分析】： （）分别取PD的中点M，EA的中点N，连结MH、NG、MN，由已知得四边形CHMN是平行四边形，由此能证明GH平面PDAE（）由线面垂直得PDBC，由已知得BCCD，从而BC平面PCD，由三角形中位线定理得FHBC，从而FH平面PCD，由此能证明平面FGH平面PCD【解析】： 证明：（）分别取PD的中点M，EA的中点N，连结MH、NG、MN，G，H分别是BE，PC的中点，MH，NG，ABCD，MHNG，四边形CHMN是平行四边形，GHMN，又GH平面PDAE，MN平面PDAE，GH平面PDAE（）PD平面ABCD，BC平面ABCD，PDBC，BCCD，PDCD=D，BC平面PCD，F，H分别为PB、PC的中点，FHBC，FH平面PCD，FH平面FGH，平面FGH平面PCD【点评】： 本题考查线面平行的证明，考查面面垂直的证明，考查空间向量在立体几何中的应用，意在考查方程思想、等价转化思想等数学思想方法和学生的空间想象能力、逻辑推理能力和运算求解能力19（12分）已知数列an中，a1=1，an+1=（I）证明数列a2n是等比数列；（II）若Sn是数列an的前n项和，求S2n【考点】： 数列递推式；数列的求和【专题】： 等差数列与等比数列【分析】： （）设bn=a2n，则=，=，由此能证明数列是以为首项，为公比的等比数列（）由bn=a2n=（）n1=（）n，得+，从而a2n1+a2n=2（）n6n+9，由此能求出S2n【解析】： （）证明：设bn=a2n，则=（）=，=，数列是以为首项，为公比的等比数列（）解：由（）得bn=a2n=（）n1=（）n，+，由a2n=3（2n1），得a2n1=3a2n3（2n1）=（）n16n+，a2n1+a2n=（）n1+（）n6n+9=2（）n6n+9，S2n=（a1+a2）+（a3+a4）+（a2n1+a2n）=26（1+2+3+n）+9n=（）n3（n1）2+2【点评】： 本题考查等比数列的证明，考查数列的前2n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意构造法、等比数列性质、分组求和法的合理运用20（13分）已知椭圆C：=1（ab0），其中F1，F2为左、右焦点，且离心率e=，直线l与椭圆交于两不同点P（x1，y1），Q（x2，y2）当直线l过椭圆C右焦点F2且倾斜角为时，原点O到直线l的距离为（I）求椭圆C的方程；（II）若+=，当OPQ面积为时，求|的最大值【考点】： 直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程【专题】： 圆锥曲线中的最值与范围问题【分析】： （）根据椭圆得定义，即可求出椭圆C的方程；（）分直线斜率存在和不存在两种情况讨论，再联立方程组，利用韦达定理，和弦长公式，得到=4（3）（2+），再利用基本不等式即可求出答案【解析】： 解：（）因为直线l的倾斜角为，F2（c，0），直线l的方程为y=xc，由已知得=，所以c=1，又e=，所以a=，b=，所以椭圆C的方程=1；（）当直线l的斜率不存在时，P，Q两点关于x轴对称，则x1=x2，y1=y2，由P（x1，y1）在椭圆上，则+=1，而S=|x1y1|=，则|x1|=，|y1|=1，知|=2，当直线l的斜率存在时，设直线l为y=kx+m，代入=1可得，2x2+3（kx+m）2=6，即（2+3k2）x2+6kmx+3m26=0，由题意0，即3k2+2m2，x1+x2=，x1x2=，|PQ|=，d=，SPOQ=d|PQ|=|m|=，化为4m2（3k2+2m2）=（3k2+2）2，（3k2+2）222m2（3k2+2）+（2m2）2=0，即（3k2+22m2）2=0，则3k2+2=2m2，满足0，由于x1+x2=，y1+y2=k（x1+x2）+2m=+2m=，=（x1+x2）2+（y1+y2）2=2（3），=（1+k2）=2（2+），=4（3）（2+）25，当且仅当3=2+，即m=时等号成立，故|5，综上可知|得最大值为5【点评】： 本题考查了椭圆与抛物线的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得0及其根与系数的关系、弦长公式、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题21（14分）已知函数f（x）=sinx，g（x）=exf（x），其中e为自然对数的底数（I）求曲线y=g（x）在点（0，g（0）处的切线方程；（）若对任意x，0，不等式g（x）xf（x）+m恒成立，求实数m的取值范围；（）试探究当x，时，方程g（x）=xf（x）的解的个数，并说明理由【考点】： 利用导数研究曲线上某点切线方程；函数恒成立问题；根的存在性及根的个数判断【专题】： 导数的概念及应用；导数的综合应用；不等式的解法及应用【分析】： （）求出g（x）的导数，求得切线的斜率和切点坐标，运用点斜式方程即可得到切线方程；（）等价于对任意x，0，mg（x）xf（x）min设h（x）=g（x）xf（x）=excosxxsinx，x，0求出h（x）的导数，求得单调区间和最小值，即可得到m的范围；（）设H（x）=g（x）xf（x）=excosxxsinx，x，讨论当x，0时，当x（0，时，g（x）xf（x）恒成立，当x（，时，通过导数的符号判断单调性，结合零点存在定理，即可得到方程解的个数【解析】： 解：（）函数f（x）=sinx，g（x）=exf（x）=excosx，g（0）=e0cos0=1，g（x）=ex（cosxsinx），曲线y=g（x）在点（0，g（0）处的切线斜率为k=e0（cos0sin0）=1，所以曲线y=g（x）在点（0，g（0）处的切线方程为y1=x0即为xy+1=0（）等价于对任意x，0，mg（x）xf（x）min设h（x）=g（x）xf（x）=excosxxsinx，x，0则h（x）=excosxexsinxsinxxcosx=（exx）cosx（ex+1）sinx因为x，0，所以（exx）cosx0，sinx1，0所以h（x）0，故h（x）在，0单调递增，因此当x=时，函数h（x）取得最小值h（）=；所以m，即实数m的取值范围是（，；（）设H（x）=g（x）xf（x）=excosxxsinx，x，当x，0时，由（）知，函数H（x）在，0单调递增，故函数H（x）在，0至多只有一个零点，又H（0）=10，H（）=0，而且函数H（x）图象在，0上是连续不断的，因此，函数H（x）在，0上有且只有一个零点当x（0，时，g（x）xf（x）恒成立证明如下：设（x）=exx，x0，则（x）=ex10，所以（x）在0，上单调递增，所以x（0，时，（x）（x）=1，所以exx0，又x（0，时，cosxsinx0，所以excosxxsinx，即g（x）xf（x），即H（x）0故函数H（x）在（0，上没有零点当x（，时，H（x）=ex（cosxsinx）（sinx+xcosx）0，所以函数H（x）在（，上单调递减，故函数H（x）在（，至多只有一个零点，又H（）=（）0，H（）=0，而且函数H（x）在（，上是连续不断的，因此，函数H（x）在（，上有且只有一个零点综上所述，当x，时，方程g（x）=xf（x）有两个解【点评】： 本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间、极值和最值，主要考查导数的几何意义，同时考查单调性的运用和函数的零点存在定理，运用参数分离和分类讨论的思想方法是解题的关键