2019-2020年高三数学总复习分类汇编 第三期 G单元 立体几何.doc

2019-2020年高三数学总复习分类汇编 第三期 G单元 立体几何目录G单元 立体几何1G1 空间几何体的结构2G2 空间几何体的三视图和直观图2G3 平面的基本性质、空间两条直线2G4 空间中的平行关系2G5 空间中的垂直关系2G6 三垂线定理2G7 棱柱与棱锥2G8 多面体与球2G9空间向量及运算2G10 空间向量解决线面位置关系2G11 空间角与距离的求法2G12 单元综合2G1 空间几何体的结构【数学理卷xx届辽宁师大附中高三上学期期中考试（xx11）】11.已知四面体中, ，,平面PBC,则四面体的内切球半径与外接球半径的比 A.B.C.D. （ ） 【知识点】空间几何体的结构G1【答案解析】C 设内切球的半径为r则=+求出r.把三棱锥补成一个三棱柱，根据勾股定理求出外接球的半径R，然后求出内切球半径与外接球半径的比为。【思路点拨】利用分割法求出内切球的半径，根据勾股定理求出外接球的半径，再求出比值。G2 空间几何体的三视图和直观图【数学（理）卷xx届重庆市重庆一中高三上学期第二次月考（xx10）】5一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）第5题AB.C. D.【知识点】由三视图求面积、体积G2 【答案解析】C 解析：由三视图可知该几何体，是过一正三棱柱的上底面一边作截面，截去的部分为三棱锥，而得到的几何体原正三棱锥的底面边长为2，高为2，体积V1=Sh=2=2截去的三棱锥的高为1，体积V2=1=故所求体积为V=V1V2=，故选A【思路点拨】由三视图可知该几何体，是过一正三棱柱的上底面一边作截面，截去的部分为三棱锥，利用间接法求出其体积【数学理卷xx届黑龙江省双鸭山一中高三上学期期中考试（xx11） 】6.若某多面体的三视图(单位：cm), 如图所示， 其中正视图与俯视图均为等腰三角形，则 此多面体的表面积是（ ）A. B. C. 15 D. 【知识点】空间几何体的三视图和直观图G2【答案解析】B 由三视图可知：该几何体是一个如图所示的三棱锥，侧棱PC=4且PC底面，底面是底边为6、高为4的等腰三角形在等腰三角形ABC中，CDAB，CD=4，AB=6，AC=BC= =5PC底面ABC，PCAC，PCBC，PCCDS表面积=254+64+64=32+12故答案为B【思路点拨】由三视图可知：该几何体是一个如图所示的三棱锥，侧棱PC=4且PC底面，底面是底边为6、高为4的等腰三角形据此即可计算出答案【数学理卷xx届辽宁师大附中高三上学期期中考试（xx11）】5一个棱锥的三视图如图（单位为cm），则该棱锥的全面积是 ( ) A、4+2 B、4+ C、4+2 D、4+ 【知识点】空间几何体的三视图和直观图G2【答案解析】A 由三视图可知：原几何体是一个如图所示的三棱锥，点O为边AC的中点，且PO底面ABC，OBAC，PO=AC=OB=2可求得SPAC=22=2，SABC=22=2POAC，在RtPOA中，由勾股定理得PA=同理AB=BC=PC=PA=由PO底面ABC，得POOB，在RtPOB中，由勾股定理得PB=2由于PAB是一个腰长为，底边长为2的等腰三角形，可求得底边上的高h=SPAB=2=同理SPBC=故该棱锥的全面积=2+2+=4+2故答案为4+2【思路点拨】由三视图可知：原几何体是一个如图所示的三棱锥，点O为边AC的中点，且PO底面ABC，OBAC，PO=AC=OB=2据此可计算出该棱锥的全面积【数学理卷xx届湖南省师大附中高三上学期第二次月考（xx10）word版】3、如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是（ ）A、54 B、27 C、18 D、9【知识点】由三视图求面积、体积G2 【答案解析】C 解析：由三视图可知，该几何体是一个以正视图为底面的四棱锥，底面长和宽分别为3和6，其底面面积S=36=18，又棱锥的高h=3，故该几何体的体积V=Sh=318=18故选：C【思路点拨】由已知的三视图可得：该几何体是一个以正视图为底面的四棱锥，分别求出底面面积和高，代入锥体体积公式，可得答案【数学理卷xx届浙江省重点中学协作体高三第一次适应性测试（xx11）word版】3一几何体的三视图如右图所示，若主视图和左视图都是等腰直角三角形，直角边长为1，则该几何体外接球的表面积为（ ）。A B C D【知识点】三视图，球体表面积G2，G8【答案解析】B 解析：由三视图可知，此几何体是四棱锥，是由正方体下底面四个顶点和上底面一个顶点构成。此几何体的外接球就是正方体的外接球，正方体的体对角线是球的直径，所以半径R=，球的表面积 。【思路点拨】由三视图确定几何体，应先由三视图分析原几何体的特征（注意物体的位置的放置与三视图的关系），再利用三视图与原几何体的数据对应关系进行解答.一般情况下，锥体或柱体都可以通过长方体和正方体取点得到。【数学理卷xx届浙江省温州十校（温州中学等）高三上学期期中联考（xx11） 】3.某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的的值是（ ）A.2 B. C. D.3【知识点】简单空间图形的三视图G2 【答案解析】D 解析：根据三视图判断几何体为四棱锥，其直观图是：，故选D【思路点拨】根据三视图判断几何体为四棱锥，再利用体积公式求高x即可【数学文卷xx届辽宁师大附中高三上学期期中考试（xx11）】9一个几何体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是腰长为4的两个全等的等腰直角三角形，若该几何体的所有顶点在同一球面上，则该球的表面积是()A12 B24C32 D48【知识点】空间几何体的三视图和直观图G2【答案解析】D 由三视图可知该几何体是有一条侧棱垂直于底面的四棱锥其中底面ABCD是边长为4的正方形，高为4，该几何体的所有顶点在同一球面上，则球的直径为4=4，即球的半径为2，所以该球的表面积是4(2)2=48故选D【思路点拨】该几何体的直观图如图所示，它是有一条侧棱垂直于底面的四棱锥其中底面ABCD是边长为4的正方形，高为CC1=4，故可求结论【数学文卷xx届贵州省遵义航天高级中学高三上学期第三次模拟考试（xx11）】7. 某几何体的三视图如右图所示，则其体积为 ()A B. C D【知识点】几何体的三视图. G2【答案解析】B 解析：由三视图可知此几何体是底面半径1，高2的半圆锥，所以其体积为，故选B.【思路点拨】由几何体的三视图，分析此几何体的结构，从而求得此几何体的体积.【数学文卷xx届湖南省师大附中高三上学期第二次月考（xx10）】5、如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是3336正视图侧视图俯视图A、54 B、27 C、18 D、9【知识点】几何体的三视图. G2【答案解析】C 解析：由三视图知该几何体是底面是长6宽3的矩形，高3的四棱锥，所以此几何体的体积为，故选C.【思路点拨】由三视图得该几何体的结构，从而求得该几何体的体积.【数学文卷xx届浙江省重点中学协作体高三第一次适应性测试（xx11）word版】2一几何体的三视图如右图所示，若主视图和左视图都是等腰直角三角形，直角边长为1，则该几何体外接球的表面积为（ ）。左视图主视图俯视图（第2题图）A B C D【知识点】三视图，三棱锥外接球，球的表面积公式G2 G8【答案解析】B解析：由三视图可知其直观图为底面是正方形的侧棱垂直底面的四棱锥，求其外接球半径，可采用补图成为一个边长为2的正方体的外接球的半径，半径为，所以外接球的表面积，故选择B.【思路点拨】先由三视图分析原几何体的特征（注意物体的位置的放置与三视图的关系），再利用三视图与原几何体的数据对应关系，确定直观图，该几何体的外接球采用补图成为长方体求解外接球半径.【数学文卷xx届浙江省温州十校（温州中学等）高三上学期期中联考（xx11）】12.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_【知识点】由三视图求面积、体积G2 【答案解析】 解析：由题意可知几何体是底面是底面为2的等边三角形，高为3的直三棱柱，所以几何体的体积为：故答案为：【思路点拨】通过三视图复原的几何体的形状，结合三视图的数据求出几何体的体积即可【数学文卷xx届云南省玉溪一中高三上学期期中考试（xx10）】16、一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积与其外接球面积之比为 【知识点】空间几何体的三视图和直观图G2【答案解析】 由三视图知，几何体是一个组合体，是由两个完全相同的四棱锥底面重合组成，四棱锥的底面是边长是1的正方形，四棱锥的高是，斜高为，这个几何体的表面积为81=2根据几何体和球的对称性知，几何体的外接球的直径是四棱锥底面的对角线是，外接球的表面积是4（）2=2则这个几何体的表面积与其外接球面积之比为=故答案为：【思路点拨】几何体是一个组合体，是由两个完全相同的四棱锥底面重合组成，四棱锥的底面是边长是1的正方形，四棱锥的高是 ，根据求和几何体的对称性得到几何体的外接球的直径是 ，求出表面积及球的表面积即可得出比值【数学文卷xx届云南省玉溪一中高三上学期期中考试（xx10）】9、一个棱锥的三视图如右图所示，则它的体积为（ ） A B C1 D【知识点】空间几何体的三视图和直观图G2【答案解析】A 由已知三视图我们可得：棱锥以俯视图为底面，以主视图高为高，故h=1，S底面= （1+2）1= ，故V= S底面h=，故答案为：A 【思路点拨】根据已知三视图，我们结合棱锥的结构特征易判断出几何体为四锥锥，结合三视图中标识的数据,我们易求出棱锥的底面面积及棱锥的高，代入棱锥体积公式即可得到答案G3 平面的基本性质、空间两条直线【数学理卷xx届浙江省重点中学协作体高三第一次适应性测试（xx11）word版】4给定下列两个关于异面直线的命题：那么（ ）。命题（1）：若平面上的直线与平面上的直线为异面直线，直线是与的交线，那么至多与中的一条相交； 命题（2）：不存在这样的无穷多条直线，它们中的任意两条都是异面直线。 A命题（1）正确，命题（2）不正确 B命题（2）正确，命题（1）不正确 C两个命题都正确 D两个命题都不正确【知识点】空间直线与平面 G3【答案解析】D解析：命题（1）中，至少与中的一条相交；命题（2）中的异面直线是存在的，所以两个命题都不对。【思路点拨】熟悉异面直线的画法，理解异面直线的定义是求解此题的关键。【数学文卷xx届贵州省遵义航天高级中学高三上学期第三次模拟考试（xx11）】6对于任意的直线l与平面，在平面内必有直线m，使m与l()A平行 B相交 C垂直 D互为异面直线【知识点】空间直线位置关系情况分析. G3【答案解析】C 解析：当直线l与平面相交时A不成立；当直线l与平面平行时B不成立；当直线l在平面内时D不成立.故选D.【思路点拨】采用排除法确定结论.G4 空间中的平行关系【数学理卷xx届辽宁师大附中高三上学期期中考试（xx11）】2.已知平面,则下列命题中正确的是 ( )A BC D 【知识点】空间中的平行关系 空间中的垂直关系G4 G5【答案解析】D A选项中b可能跟斜交，B选项中可能与垂直，C选项中a可能与b不垂直，故D选项正确，故选D.【思路点拨】根据平面与直线的位置关系求结果。【数学理卷xx届湖南省师大附中高三上学期第二次月考（xx10）word版】18、（本小题满分12分）如图，四面体A-BCD中，AD面BCD，BCCD，AD=2，BD=，M是AD的中点，P是BMD的外心，点Q在线段AC上，且。（）证明：PQ平面BCD；（）若二面角C-BM-D的大小为60，求四面体A-BCD的体积。【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定G4 G7 【答案解析】（）见解析；（）解析：（）取BD的中点O，在线段CD上取点F，使得DF=3CF，连接OP、OF、FQACD中，AQ=3QC且DF=3CF，QFAD且QF=ADBDM中，O、P分别为BD、BM的中点OPDM，且OP=DM，结合M为AD中点得：OPAD且OP=ADOPQF且OP=QF，可得四边形OPQF是平行四边形PQOFPQ平面BCD且OF平面BCD，PQ平面BCD；（）过点C作CGBD，垂足为G，过G作GHBM于H，连接CHAD平面BCD，CG平面BCD，ADCG又CGBD，AD、BD是平面ABD内的相交直线CG平面ABD，结合BM平面ABD，得CGBMGHBM，CG、GH是平面CGH内的相交直线BM平面CGH，可得BMCH因此，CHG是二面角CBMD的平面角，可得CHG=60设BDC=，可得RtBCD中，CD=BDcos=2cos，CG=CDsin=2sincos，BG=BCsin=2sin2RtBMD中，HG=；RtCHG中，tanCHG=tan=，可得=60，即BDC=60，BD=2，CD=，SBCD=，VABCD=【思路点拨】（）取BD的中点O，在线段CD上取点F，使得DF=3CF，连接OP、OF、FQ根据平行线分线段成比例定理结合三角形的中位线定理证出四边形OPQF是平行四边形，从而PQOF，再由线面平行判定定理，证出PQ平面BCD；（）过点C作CGBD，垂足为G，过G作GHBM于H，连接CH根据线面垂直的判定与性质证出BMCH，因此CHG是二面角CBMD的平面角，可得CHG=60设BDC=，用解直角三角形的方法算出HG和CG关于的表达式，最后在RtCHG中，根据正切的定义得出tanCHG，从而得到tan，由此可得BDC，进而可求四面体ABCD的体积【数学理卷xx届浙江省重点中学协作体高三第一次适应性测试（xx11）word版】20（本小题满分15分）（第20题图） 如图，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，、分别是、的中点，点在直线上，且满足。（1）证明：； （2）若平面与平面所成的角为，试确定点的位置。【知识点】空间平行、垂直关系，以及线面所成的角G4,G5,G10【答案解析】（1）略。（2）点P在B1A1的延长线上，且|A1P|（1） 证明：如图，以AB，AC，AA1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系Axyz则P（，0,1），N（，0），M（0,1，）， （2分）从而（，1），（0,1，）， （2分）（)0110，所以PNAM; （3分）（2）平面ABC的一个法向量为n（0,0,1）（1分）设平面PMN的一个法向量为m（x，y，z），由（1）得（，1，） （2分）由 （1分）解得 （1分）平面PMN与平面ABC所成的二面角为45，|cosm，n|， （1分）解得 故点P在B1A1的延长线上，且|A1P| （2分）【思路点拨】立体几何问题一般采用空间向量解比较简单，首先建立空间直角坐标系，写出各个点的坐标，要求PNAM，只需求=0即可；对于面面角，就求出两个面的法向量，根据这两个法向量的夹角可以确定参数的值，从而求出P点的位置。【数学理卷xx届浙江省温州十校（温州中学等）高三上学期期中联考（xx11） 】20.如图，已知四棱锥，底面为菱形，平面，分别是的中点PBECDFA（）证明：；（）若,求二面角的余弦 值【知识点】与二面角有关的立体几何综合题；空间中直线与直线之间的位置关系G4 G5 【答案解析】（）见解析；（） 解析：（）证明：由四边形为菱形，可得为正三角形因为为的中点，所以又，因此因为平面，平面，所以而平面，平面且，所以平面又平面，所以 （7分）（）解法一：因为平面，平面，所以平面平面P过作于，则平面，过作于，连接，则为二面角的平面角，SFADOCEB在中，又是的中点，在中，又， 在中，即所求二面角的余弦值为 （14分）解法二：由（）知两两垂直，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又分别为的中点，所以PBECDFAyzx，所以设平面的一法向量为，则因此取，则，因为，所以平面，故为平面的一法向量又，所以因为二面角为锐角，所以所求二面角的余弦值为 【思路点拨】（）由已知条件推导出AEAD，AEPA，由此能证明AE平面PAD，从而得到AEPD（）以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角EAFC的余弦值【数学理卷xx届浙江省温州十校（温州中学等）高三上学期期中联考（xx11） 】4.设是两条不同的直线， 是两个不同的平面,下列命题中错误的是（ ）A.若,则 B.若,则C.若,则 D.若,则【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系G4 G5 【答案解析】D 解析：若,，则由平面与平面垂直的判定定理得，故A正确；若,，则由直线与平面平行的判定定理得，故B正确；若,，则由平面与平面垂直的判定定理得，故C正确；若,，则m与n相交、平行或异面，故D错误故选：D【思路点拨】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解【数学理卷xx届广东省阳东一中、广雅中学高三第一次联考（xx10）】18.（本小题满分14分）B1C1A1BCD如图，三棱柱ABCA1B1C1中，AA1面ABC，BCAC，BC=AC=2，AA1=3， D为AC的中点.(1)求证：AB1/面BDC1；(2）求二面角C1BDC的余弦值；(3）在侧棱AA1上是否存在点P，使得CP面BDC1？并证明你的结论.【知识点】直线与平面平行；二面角；直线与平面垂直.G4,G5,G11【答案解析】略 解析：解：（I）证明：连接B1C，与BC1相交于O，连接OD BCC1B1是矩形，O是B1C的中点.又D是AC的中点，OD/AB1.2分AB1面BDC1，OD面BDC1，AB1/面BDC1.4分 （II）解：如图，建立空间直角坐标系，则 C1（0，0，0），B（0，3，2），C（0，3，0），A（2，3，0）， D（1，3，0）5分 设=（x1，y1，z1）是面BDC1的一个法向量，则即.6分易知=(0，3，0)是面ABC的一个法向量.8分二面角C1BDC的余弦值为.9分（III）假设侧棱AA1上存在一点P（2，y，0）（0y3），使得CP面BDC1.则方程组无解.假设不成立. 侧棱AA1上不存在点P，使CP面BDC1.14分【思路点拨】由条件可证明直线与平面平行，再建立空间坐标系利用向量求出二面角的余弦值，最利用向量进行说明.【数学理卷xx届吉林省实验中学高三上学期第三次质量检测（xx11）】7设是两条不同的直线, 是两个不同的平面,下列命题中正确的是 A若,则B若,则C若,则D若,则【知识点】空间中的平行关系 空间中的垂直关系G4 G5【答案解析】D 选项A，若，m，n，则可能mn，mn，或m，n异面，故A错误；选项B，若，m，n，则mn，或m，n异面，故B错误；选项C，若mn，m，n，则与可能相交，也可能平行，故C错误；选项D，若m，mn，则n，再由n可得，故D正确故选D【思路点拨】由，m，n，可推得mn，mn，或m，n异面；由，m，n，可得mn，或m，n异面；由mn，m，n，可得与可能相交或平行；由m，mn，则n，再由n可得【数学文卷xx届辽宁师大附中高三上学期期中考试（xx11）】21(本小题满分12分)如图，在四棱锥PABCD中，AB CD， ABAD，CD2AB，平面PAD底面ABCD，PAAD. E和F分别是CD和PC的中点求证：(1)PA底面ABCD；(2)BE平面PAD；(3)平面BEF平面PCD.【知识点】空间中的平行关系空间中的垂直关系G4 G5【答案解析】(1)略(2)略(3)略(1)因为平面PAD平面ABCDAD.又平面PAD平面ABCD，且PAAD.所以PA底面ABCD.(2)因为ABCD，CD2AB，E为CD的中点，所以ABDE，且ABDE.所以ABED为平行四边形所以BEAD.又因为BE平面PAD，AD平面PAD，所以BE平面PAD.(3)因为ABAD，且四边形ABED为平行四边形所以BECD，ADCD.由(1)知PA底面ABCD，所以PACD.所以CD平面PAD，从而CDPD.又E，F分别是CD和CP的中点，所以EFPD，故CDEF.CD平面PCD，由EF，BE在平面BEF内，且EFBEE，CD平面BEF.所以平面BEF平面PCD.【思路点拨】利用线线平行证明线面平行利用线面垂直证明面面垂直。【数学文卷xx届辽宁师大附中高三上学期期中考试（xx11）】3设m，n是两条不同直线，是两个不同的平面，下列命题正确的是()Am，n，且，则mnBm，n，且，则mnCm，n，mn，则Dm，n，m，n，则【知识点】空间中的平行关系 空间中的垂直关系G4 G5【答案解析】B 对于A，若m，n且，说明m、n是分别在平行平面内的直线，它们的位置关系应该是平行或异面，故A错；对于B，由m，n且，则m与n一定不平行，否则有，与已知矛盾，通过平移使得m与n相交，且设m与n确定的平面为，则与和的交线所成的角即为与所成的角，因为，所以m与n所成的角为90，故命题B正确对于C，根据面面垂直的性质，可知m，n，mn，n，也可能=l，也可能，故C不正确；对于D，若“m，n，m，n”，则“”也可能=l，所以D不成立故选B【思路点拨】对于A、由面面平行的判定定理，得A是假命题对于B、由m，n且，可知m与n不平行，借助于直线平移先得到一个与m或n都平行的平面，则所得平面与、都相交，根据m与n所成角与二面角平面角互补的结论对于C、通过直线与平面平行的判定定理以及平面与平面平行的性质定理，判断正误即可；对于D、利用平面与平面平行的判定定理推出结果即可【数学文卷xx届贵州省遵义航天高级中学高三上学期第三次模拟考试（xx11）】19.（本题满分12分）如图，在正三棱柱中，点D在边BC上，ADC1D.(1)求证：平面ADC1平面BCC1B1；(2)设E是B1C1上的一点，当的值为多少时，A1E平面ADC1？ 请给出证明【知识点】面面垂直的判定；线面平行的条件. G4 G5【答案解析】(1)证明：见解析；（2）当的值为1时，A1E平面ADC1，证明：见解析. 解析：（1）证明：在正三棱柱中，平面ABC,AD平面ABC ,ADC, 又AD,平面,平面,平面. 又平面, 平面平面.(2)由（1）得，,在正三角形ABC中，D是BC的中点，当,即E为得中点时，平面.证明如下：（如图）四边形是矩形，且D,E分别是BC, 的中点，所以 又,四边形为平行四边形，而平面,平面, 故平面.【思路点拨】（1）根据面面垂直的判定定理，只需在平面ADC1 找到直线与平面BCC1B1垂直即可，此直线为AD；（2）由（1）得D是线段BC的中点，所以E为得中点时，有，进而得A1E平面ADC1.【数学文卷xx届湖南省师大附中高三上学期第二次月考（xx10）】18、（本小题满分12分）如图，直三棱柱中，AC=BC=1，ACB=,点D为AB中点. (1) 求证：面；(2) 若,求二面角的平面角的大小.【知识点】线面平行的判定；二面角大小的求法. G4 G11【答案解析】(1)证明：见解析；（2）. 解析：(1)证明：连接与交于E，连接ED，则E为中点，又点D是AB中点，则,-3分而DE平面,平面,则有平面；-6分(2)因为二面角的平面角与二面角的平面角互补，又因为，则平面，所以,则为二面角的平面角，-9分在中，,故,即二面角的平面角大小为-11分所以二面角的平面角的大小为.-12分【思路点拨】(1)只需 在平面内找到直线与直线平行，为此连接与交于E，连接ED，证明即可；（2）由图知二面角的平面角与二面角的平面角互补，所以先求二面角的平面角大小，可证为二面角的平面角，易求，所以所求二面角大小为.【数学文卷xx届浙江省重点中学协作体高三第一次适应性测试（xx11）word版】6设为两条不同的直线，为两个不同的平面下列命题中，正确的是（ ）。A若与所成的角相等，则 B若，则C若，则 D若，则【知识点】空间中直线与平面的位置关系G4 G5【答案解析】C解析：A.两条直线的位置关系不能确定，所以错误；B. 与平面的关系都有可能，所以错误；C.当一条直线与一个平面垂直，与另一个平面平行时，则两个平面垂直，所以正确；D.两条直线分别于两个平面平行，则两条直线没有关系，所以错误；故选择C.【思路点拨】根据空间中平面与直线的位置关系，对错误的结论能找到反例即可.【数学文卷xx届浙江省温州十校（温州中学等）高三上学期期中联考（xx11）】20.(本小题满分14分)）如图，在三棱柱中，底面，且 为正三角形，为的中点(1)求证:直线平面；(2)求证:平面平面；(3)求三棱锥的体积【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定G4 G5 G7 【答案解析】(1)见解析； (2) 见解析；(3) 9 解析：（1）证明：连接B1C交BC1于点O，连接OD，则点O为B1C的中点1分D为AC中点，得DO为中位线，2分 直线AB1平面BC1D 4分（2）证明：底面， 5分底面正三角形，D是AC的中点 BDAC 6分，BD平面ACC1A1 7分, 8分（3）由（2）知ABC中，BDAC，BD=BCsin60=3 = 10分又是底面BCD上的高 11分=6=9 13分【思路点拨】（1）连接B1C交BC1于点O，连接OD，则点O为B1C的中点可得DO为AB1C中位线，A1BOD，结合线面平行的判定定理，得A1B平面BC1D；（2）由AA1底面ABC，得AA1BD正三角形ABC中，中线BDAC，结合线面垂直的判定定理，得BD平面ACC1A1，最后由面面垂直的判定定理，证出平面BC1D平面ACC1A；（3）利用等体积转换，即可求三棱锥CBC1D的体积【数学文卷xx届浙江省温州十校（温州中学等）高三上学期期中联考（xx11）】4.设是两个不同的平面，是一条直线，以下命题正确的是（ ）A.若，则 B.若，则 C.若，则 D.若，则 【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系G4 G5 【答案解析】C 解析：A：若，则l或者l，所以A错误B：若，则或者，所以B错误C：根据线面垂直的定义可得：若，则是正确的，所以C正确D：若，则或者l或者l与相交，所以D错误故选C【思路点拨】A：由题意可得l或者lB：由题意可得：或者C：根据线面垂直的定义可得：若，则是正确的，D：若，则或者l或者l与相交【数学文卷xx届吉林省实验中学高三上学期第三次质量检测（xx11）】6.关于直线，及平面，,下列命题中正确的是（ ）A.若l，=m，则lm B.若，m，则mC.若l，l，则 D.若l，ml，则m【知识点】空间中的平行关系 空间中的垂直关系G4 G5【答案解析】D A若l，=m，则l，m平行或异面，只有l，才有lm故A错；B若l，m，则由线面平行的性质可得l，m平行、相交、异面，故B错；C若l，l，则由线面平行的性质定理，l，=m，则lm，又l，故m，由面面垂直的判定定理得，故C正确；D若l，ml，则m与平行、相交或在平面内，故D错故选C【思路点拨】由线面平行的性质定理可判断A；又线面平行的性质定理和面面垂直的判定定理即可判断C；由线面平行的性质定理可判断B；由线面平行的性质定理可判断DG5 空间中的垂直关系【数学（理）卷xx届重庆市重庆一中高三上学期第二次月考（xx10）】19.（本题满分13分）如图，在多面体中，四边形是正方形，. (1)求证：； (2)求二面角的余弦值【知识点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定G5 G11 【答案解析】(1)见解析； (2) 解析：(1)作BC的中点E，连接且，四边形是平行四边形，则/面同理，面面面，面6分(2)四边形为正方形, , ， 由勾股定理可得：， ，同理可得 ,以A 为原点如图建系。 则设面的法向量为，则，令，则设面的法向量为，则则，令，则 所以所以 13分【思路点拨】(1) 取BC中点E，连结AE，C1E，B1E，由已知得四边形CEB1C1是平行四边形，AEC1A1是平行四边形，由此能证明AB1面A1C1C (2)由已知得A1A=AB=AC=1，A1AAB，A1AAC，从而A1A面ABC，以A为原点，以AC为x轴建立坐标系，利用向量法能求出二面角CA1C1B的余弦值的大小【数学理卷xx届辽宁师大附中高三上学期期中考试（xx11）】9 .已知点分别是正方体的棱的中点，点分别是线段与上的点，则与平面垂直的直线有 条。 （）A0 B1 C2 D无数个 【知识点】空间中的垂直关系G5【答案解析】B 设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，以C为原点建立空间直角坐标系，则D1（2，0，2），E（1，2，0），=（-1，2，-2），C1（0，0，2），F（2，2，1），=（2，2，-1），设，则M（2-，2，2-2），设，则N（2t，2t，2-t），=（2t-2+，2t-2，2-t），直线MN与平面ABCD垂直，解得=t=，方程组只有唯一的一组解，与平面ABCD垂直的直线MN有1条故选：B【思路点拨】设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，以C为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求出与平面ABCD垂直的直线MN只有1条【数学理卷xx届浙江省重点中学协作体高三第一次适应性测试（xx11）word版】20（本小题满分15分）（第20题图） 如图，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，、分别是、的中点，点在直线上，且满足。（1）证明：； （2）若平面与平面所成的角为，试确定点的位置。【知识点】空间平行、垂直关系，以及线面所成的角G4,G5,G10【答案解析】（1）略。（2）点P在B1A1的延长线上，且|A1P|（2） 证明：如图，以AB，AC，AA1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系Axyz则P（，0,1），N（，0），M（0,1，）， （2分）从而（，1），（0,1，）， （2分）（)0110，所以PNAM; （3分）（2）平面ABC的一个法向量为n（0,0,1）（1分）设平面PMN的一个法向量为m（x，y，z），由（1）得（，1，） （2分）由 （1分）解得 （1分）平面PMN与平面ABC所成的二面角为45，|cosm，n|， （1分）解得 故点P在B1A1的延长线上，且|A1P| （2分）【思路点拨】立体几何问题一般采用空间向量解比较简单，首先建立空间直角坐标系，写出各个点的坐标，要求PNAM，只需求=0即可；对于面面角，就求出两个面的法向量，根据这两个法向量的夹角可以确定参数的值，从而求出P点的位置。【数学理卷xx届浙江省温州十校（温州中学等）高三上学期期中联考（xx11） 】20.如图，已知四棱锥，底面为菱形，平面，分别是的中点PBECDFA（）证明：；（）若,求二面角的余弦 值【知识点】与二面角有关的立体几何综合题；空间中直线与直线之间的位置关系G4 G5 【答案解析】（）见解析；（） 解析：（）证明：由四边形为菱形，可得为正三角形因为为的中点，所以又，因此因为平面，平面，所以而平面，平面且，所以平面又平面，所以 （7分）（）解法一：因为平面，平面，所以平面平面P过作于，则平面，过作于，连接，则为二面角的平面角，SFADOCEB在中，又是的中点，在中，又， 在中，即所求二面角的余弦值为 （14分）解法二：由（）知两两垂直，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又分别为的中点，所以PBECDFAyzx，所以设平面的一法向量为，则因此取，则，因为，所以平面，故为平面的一法向量又，所以因为二面角为锐角，所以所求二面角的余弦值为 【思路点拨】（）由已知条件推导出AEAD，AEPA，由此能证明AE平面PAD，从而得到AEPD（）以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角EAFC的余弦值【数学理卷xx届浙江省温州十校（温州中学等）高三上学期期中联考（xx11） 】4.设是两条不同的直线， 是两个不同的平面,下列命题中错误的是（ ）A.若,则 B.若,则C.若,则 D.若,则【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系G4 G5 【答案解析】D 解析：若,，则由平面与平面垂直的判定定理得，故A正确；若,，则由直线与平面平行的判定定理得，故B正确；若,，则由平面与平面垂直的判定定理得，故C正确；若,，则m与n相交、平行或异面，故D错误故选：D【思路点拨】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解【数学理卷xx届广东省阳东一中、广雅中学高三第一次联考（xx10）】18.（本小题满分14分）B1C1A1BCD如图，三棱柱ABCA1B1C1中，AA1面ABC，BCAC，BC=AC=2，AA1=3， D为AC的中点.(1)求证：AB1/面BDC1；(2）求二面角C1BDC的余弦值；(3）在侧棱AA1上是否存在点P，使得CP面BDC1？并证明你的结论.【知识点】直线与平面平行；二面角；直线与平面垂直.G4,G5,G11【答案解析】略 解析：解：（I）证明：连接B1C，与BC1相交于O，连接OD BCC1B1是矩形，O是B1C的中点.又D是AC的中点，OD/AB1.2分AB1面BDC1，OD面BDC1，AB1/面BDC1.4分 （II）解：如图，建立空间直角坐标系，则 C1（0，0，0），B（0，3，2），C（0，3，0），A（2，3，0）， D（1，3，0）5分 设=（x1，y1，z1）是面BDC1的一个法向量，则即.6分易知=(0，3，0)是面ABC的一个法向量.8分二面角C1BDC的余弦值为.9分（III）假设侧棱AA1上存在一点P（2，y，0）（0y3），使得CP面BDC1.则方程组无解.假设不成立. 侧棱AA1上不存在点P，使CP面BDC1.14分【思路点拨】由条件可证明直线与平面平行，再建立空间坐标系利用向量求出二面角的余弦值，最利用向量进行说明.【数学理卷xx届吉林省实验中学高三上学期第三次质量检测（xx11）】19(本小题满分12分)如图在圆锥中，已知，O的直径,是弧ABPODC的中点，为的中点（）证明：平面平面;（）求二面角的余弦值【知识点】空间中的垂直关系G5【答案解析】（）略（）（）连接OC，OA=OC，D是AC的中点ACOD又PO底面O，AC底面OACPOOD、PO是平面POD内的两条相交直线AC平面POD，而AC平面PAC平面POD平面PAC（）在平面POD中，过O作OHPD于H，由（）知，平面POD平面PAC所以OH平面PAC，又PA平面PACPAHO在平面PAO中，过O作OGPA于G，连接GH，则有PA平面OGH，从而PAHG故OGH为二面角B-PA-C的平面角,在RtODA中，OD=OAsin45= 在RtODP中，OH= = = 在RtOPA中，OG= = = 在RtOGH中，sinOGH= = 所以cosOGH= =故二面角B-PA-C的余弦值为【思路点拨】（）连接OC，先根据AOC是等腰直角三角形证出中线ODAC，再结合POAC证出ACPOD，利用平面与平面垂直的判定定理，可证出平面POD平面PAC；（）过O分别作OHPD于H，OGPA于G，再连接GH，根据三垂线定理证明OGH为二面角B-PA-C的平面角，最后分别在RtODA、RtODP、RtOGH中计算出OH、OG和sinOGH，最后求出所求二面角的余弦值【数学理卷xx届吉林省实验中学高三上学期第三次质量检测（xx11）】7设是两条不同的直线, 是两个不同的平面,下列命题中正确的是 A若,则B若,则C若,则D若,则【知识点】空间中的平行关系 空间中的垂直关系G4 G5【答案解析】D 选项A，若，m，n，则可能mn，mn，或m，n异面，故A错误；选项B，若，m，n，则mn，或m，n异面，故B错误；选项C，若mn，m，n，则与可能相交，也可能平行，故C错误；选项D，若m，mn，则n，再由n可得，故D正确故选D【思路点拨】由，m，n，可推得mn，mn，或m，n异面；由，m，n，可得mn，或m，n异面；由mn，m，n，可得与可能相交或平行；由m，mn，则n，再由n可得【数学文卷xx届贵州省遵义航天高级中学高三上学期第三次模拟考试（xx11）】19.（本题满分12分）如图，在正三棱柱中，点D在边BC上，ADC1D.(1)求证：平面ADC1平面BCC1B1；(2)设E是B1C1上的一点，当的值为多少时，A1E平面ADC1？ 请给出证明【知识点】面面垂直的判定；线面平行的条件. G4 G5【答案解析】(1)证明：见解析；（2）当的值为1时，A1E平面ADC1，证明：见解析. 解析：（1）证明：在正三棱柱中，平面ABC,AD平面ABC ,ADC, 又AD,平面,平面,平面. 又平面, 平面平面.(2)由（1）得，,在正三角形ABC中，D是BC的中点，当,即E为得中点时，平面.证明如下：（如图）四边形是矩形，且D,E分别是BC, 的中点，所以 又,四边形为平行四边形，而平面,平面, 故平面.【思路点拨】（1）根据面面垂直的判定定理，只需在平面ADC1 找到直线与平面BCC1B1垂直即可，此直线为AD；（2）由（1）得D是线段BC的中点，所以E为得中点时，有，进而得A1E平面ADC1.【数学文卷xx届浙江省温州十校（温州中学等）高三上学期期中联考（xx11）】20.(本小题满分14分)）如图，在三棱柱中，底面，且 为正三角形，为的中点(1)求证:直线平面；(2)求证:平面平面；(3)求三棱锥的体积【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定G4 G5 G7 【答案解析】(1)见解析； (2) 见解析；(3) 9 解析：（1）证明：连接B1C交BC1于点O，连接OD，则点O为B1C的中点1分D为AC中点，得DO为中位线，2分 直线AB1平面BC1D 4分（2）证明：底面， 5分底面正三角形，D是AC的中点 BDAC