2019-2020年高三数学9月月考试题（含解析）.doc

2019-2020年高三数学9月月考试题（含解析）【试卷综析】本试卷是高三试卷，以基础知识和基本技能为载体，以能力测试为主导，识考.试题重点考查：集合、不等式、复数、向量、函数模型、导数、简单的线性规划、函数的性质及图象、三角函数的性质、三角恒等变换与解三角形、命题、等；考查学生解决实际问题的综合能力，是份较好的试卷.【题文】一、选择题：（本大题共有12道小题，每小题5分，共60分）【题文】1已知集合，则 （ ）A B C D【知识点】集合及其运算A1【答案解析】B 由A中不等式变形得：（x+2）（x-6）0，解得：-2x6，即A=x|-2x6，由B中log2（x-1）0=log21，得到0x-11，即1x2，B=x|1x2，则AB=x|1x2故选B【思路点拨】求出A中不等式的解集确定出A，求出B中x的范围确定出B，找出A与B的交集即可【题文】2. 下列函数中既是奇函数，又在上单调递增的是 （ ）A B C D【知识点】函数的单调性函数的奇偶性B3 B4【答案解析】对于A，是奇函数，但是在R是周期函数，不单调；对于B，f（-x）=-x2-f（x），也不等于-f（x），所以是非奇非偶的函数；对于D，f（-x）=e|-x|=e|x|=f（x），是偶函数；故选C【思路点拨】对于四个选项分别分析，利用奇偶函数的定义及性质解答【题文】3下列命题中错误的是（ ）A命题“若则”与命题“若则”互为逆否命题.B命题，命题，为真.C若为假命题，则p、q均为假命题.D“若”，则的逆命题为真命题. 【知识点】命题及其关系A2【答案解析】D 对于A，根据“否条件当结论，否结论当条件”，可知A是真命题；对于B，当x0时，根据指数函数性质ex1，故p是真命题，所以pq为真，因此B项为真命题；对于C，或命题为假，当且仅当两个命题都是假时才为假，因此C是真命题；对于D，其逆命题是：若ab，则am2=bm2，显然是假命题故选D【思路点拨】对于A：根据逆否命题的写法规则“否条件当结论，否结论当条件”进行判断；对于B：先判断每个命题真假，再判断或命题的真假；对于C：或命题为假则当且仅当两个命题都为假；对于D：先写出逆命题，再判断真假【题文】4. 函数f(x)ln的图象是 ( )【知识点】函数的单调性B3【答案解析】B 由题意得x-0得到-1x1排除A D 由代入法得在x1时是增数，故选B【思路点拨】先确定定义域然后确定增减性利用排除法求解。【题文】5已知函数yf(x)是定义在R上的偶函数，且当时，不等式成立，若a30.2f(30.2)，b (log2)f(log2)，cf ，则，间的大小关系 ( )A B C D【知识点】函数的单调性函数的奇偶性B3 B4【答案解析】A 构造函数g（x）=xf（x），则g（x）=f（x）+xf（x）当x0时，不等式f（x）+xf（x）0成立，当x0时，g（x）0，函数g（x）单调递减函数y=f（x）是定义在R上的偶函数，g（-x）=-xf（-x）=-xf（x）=-g（x），g（x）在R上是奇函数g（x）在R上是减函数a=30.2f（30.2），b=（log2）f（log2），c=(log2 )f(log2 )，log2 =-22log230.2，cba故选A【思路点拨】构造函数g（x）=xf（x），由于当x0时，不等式f（x）+xf（x）0成立，利用导数可得当x0时，函数g（x）单调递减函数y=f（x）是定义在R上的偶函数，可得函数g（x）在R上是奇函数进而得到g（x）在R上是减函数【题文】6已知命题p：x22x30；命题q：xa，且的一个充分不必要条件是，则a的取值范围是 ( )A(，1B1，) C1，)D(，3【知识点】命题及其关系、充分条件、必要条件A2【答案解析】B由x2+2x-30得x1或x-3，即p：x1或x-3，p：-3x1，q：xa，q：xa，若q的一个充分不必要条件是p，则pq成立，但qp不成立，a1，故选B【思路点拨】先求出p的等价条件，利用q的一个充分不必要条件是p，即可求的取值范围【题文】7若点P是函数上任意一点，则点P到直线的最小距离为（ ）A B C D3【知识点】导数的应用B12【答案解析】A 过点P作y=x-2的平行直线，且与曲线y=x2-lnx相切，设P（x0，x02-lnx0）则有k=y|x=x0=2x0- 2x0- =1，x0=1或x0=- （舍去）P（1，1），d= = 故选A【思路点拨】设出切点坐标，利用导数在切点处的函数值，就是切线的斜率，求出切点，然后再求点P到直线y=x-2的最小距离【题文】8已知满足，为导函数，且导函数的图象如图所示则的解集是 （ ）-24A B C D 【知识点】导数的应用B12【答案解析】B 由导函数y=f（x）的图象可知，当x0时，f（x）0，此时函数f（x）得到递增，当x0时，f（x）0，此时函数f（x）得到递减，当x=0时，函数f（x）取得极小值，同时也是最小值，f（4）=f（-2）=1，不等式f（x）1的解为-2x4，即不等式f（x）1的解集为（-2，4），故选B【思路点拨】由函数y=f（x）的图象，确定函数的单调性和单调区间，然后函数的单调性即可求不等式的解集【题文】9. 设f(x)是定义域为R的偶函数，且对任意实数x，恒有f(x1)f(x)，已知时，则函数在（1，2）上 （ ） A是增函数，且B是增函数，且C是减函数，且D是减函数，且【知识点】 函数的单调性与最值函数的奇偶性与周期性B3 B4【答案解析】D f（x+1）=-f（x），f（x+2）=f（x+1+1）=-f（x+1）=-（-f（x）=f（x），函数为周期函数，周期T=2，u=1-x递减，y=log u递减，由复合函数的单调性知函数f（x）=log （1-x）递增，又x（0，1）时，01-x1，log （1-x）0，x（0，1）时，f（x）0，x（1，2），2-x（0，1），f（2-x）0，又函数为偶函数，f（x）=f（-x）=f（-x+2）0，设1x1x22，则-1-x1-x2-2，则12-x12-x20，函数f（x）=log （1-x）递增，f（2-x1）f（2-x2）又f（2-x1）=f（x1）、f（2-x2）=f（x2）f（x1）f（x2），函数f（x）在（1，2）上是减函数综上，选D【思路点拨】由f（x+1）=-f（x），可推出f（x+2）=f（x），因此函数为周期函数，T=2，由复合函数的单调性推出函数f（x）=log （1-x）递增，再由周期性与奇偶性把（1，2）上的单调性过度到（0，1）来研究【题文】10. 已知函数，则 （ ） Axx Bxx Cxx Dxx【知识点】函数及其表示B1【答案解析】D 当x=1时，f（1）=log5（5-1）=2，当x1时，f（x）=f（x-1）+1，令x=2，则f（2）=f（1）+1=2+1=3，令x=n，则f（n）-f（n-1）=1，f（n）是以2为首项，以1为公差的等差数列，f（xx）=2+（xx-1）1=xx，故选D【思路点拨】利用赋值法，先令x=1，求出f（1），再令x=2，求出f（2），令x=n，则f（n）-f（n-1）=1，再根据等差数列的通项求出f（xx）【题文】11. 若函数的大小关系是 ( ) ABC D不确定【知识点】导数的应用B12【答案解析】C 函数f（x）=cosx+2xf（），所以函数f（x）=-sinx+2f（），所以f（）=-sin+2f（）=，f（x）=cosx+x，则f（-）=cos-；f（）=cos+，所以f （-）f（）故选C【思路点拨】利用已知条件，求出函数的导数，推出f（），得到函数的表达式，然后比较f（- ）与f（）的大小【题文】12. 设函数在（1,2）内有零点，则实数a的取值范围是 （ ） A B C D【知识点】函数与方程B9【答案解析】B 函数f（x）在区间（1，2）内有零点，f（1）f（2）0，（-a）（-a）0，解得：x1，故选B【思路点拨】根据函数的零点的判定定理可得 f（1）f（2）0，由此求得实数a的取值范围【题文】二、填空题（本大题共有4道小题，每小题5分,共20分）【题文】13.（文）过点与曲线相切的直线方程是 .【知识点】导数的应用B12【答案解析】3x-y-2=0或3x-4y+1=0若直线与曲线切于点（x0，y0）（x00），则k= +x0+1y=3x2，y|x=x0=3x02，2x02-x0-1=0，x01，x0 ，过点A（1，1）与曲线C：y=x3相切的直线方程为3x-y-2=0或3x-4y+1=0，故答案为3x-y-2=0或3x-4y+1=0【思路点拨】设切点为（x0，y0），则y0=x03，由于直线l经过点（1，1），可得切线的斜率，再根据导数的几何意义求出曲线在点x0处的切线斜率，便可建立关于x0的方程从而可求方程（理）如图，矩形ABCD内的阴影部分是由曲线f(x)2x22x与直线y2x围成的，现向矩形ABCD内随机投掷一点，则该点落在阴影部分的概率为_【知识点】几何概型K3【答案解析】 f（x）=2x2-2x及直线y=2x的交点为C（0，0）和（2，4）曲线f（x）=2x2-2x及直线y=2x所围图形的面积为S=(2x2x2+2x)dx=(4x2x2)dx=（2x2-x3）=，矩形ABCD的面积2=9；矩形ABCD内随机投掷一点，则该点落在阴影部分的概率为；故答案为【思路点拨】根据见对方的几何意义，求出两条曲线的交点，由此可得所求面积为函数f（x）=2x2-2x及y=2x在区间0，2上的定积分的值，再用定积分计算公式加以运算即可得到本题答案【题文】14. 设的最大值是 . 【知识点】函数的单调性与最值B3【答案解析】 y4x32x+5=22x-1-32x+5=22x-32x+5，令t=2x，0x2，1t4，则y=t2-3t+5=(t3)2+， 当t=1时，y取得最大值，为故答案为【思路点拨】令t=2x，则原函数可转化为关于t的二次函数，配方后即可求得其最大值【题文】15. 若函数()满足且时，,函数,则函数在区间内零点的个数有_个.【知识点】函数与方程B9【答案解析】12 因为f（x+2）=f（x），所以函数y=f（x）（xR）是周期为2函数，因为x-1，1时，f（x）=1-x2，所以作出它的图象，则y=f（x）的图象如图所示：（注意拓展它的区间）再作出函数的图象容易得出到交点为12个故答案为12【思路点拨】由f（x+2）=f（x），知函数y=f（x）（xR）是周期为2的函数，进而根据f（x）=1-x2与函数的图象得到交点个数【题文】16. 存在区间（），使得，则称区间为函数的一个“稳定区间”.给出下列4 个函数：； ； 其中存在“稳定区间”的函数有_ .（把所有正确的序号都填上）【知识点】函数的单调性与最值B3【答案解析】 对于函数f（x）=ex若存在“稳定区间”a，b，由于函数是定义域内的增函数，故有ea=a，eb=b，即方程ex=x有两个解，即y=ex和y=x的图象有两个交点，这与即y=ex和y=x的图象没有公共点相矛盾，故不存在“稳定区间”对于f（x）=x3存在“稳定区间”，如 x0，1时，f（x）=x30，1对于f（x）=sin x，存在“稳定区间”，如 x0，1时，f（x）=sin x0，1对于 f（x）=lnx，若存在“稳定区间”a，b，由于函数是定义域内的增函数，故有lna=a，且lnb=b，即方程lnx=x 有两个解，即y=lnx 和 y=x的图象有两个交点，这与y=lnx 和 y=x的图象没有公共点相矛盾，故不存在“稳定区间”故答案为 【思路点拨】根据“稳定区间”的定义，我们要想说明函数存在“稳定区间”，我们只要举出一个符合定义的区间M即可，但要说明函数没有“稳定区间”，我们可以用反证明法来说明由此对四个函数逐一进行判断，即可得到答案【题文】三、解答题(本大题共有5道小题，每小题12分,共60分)【题文】17. 设为常数）（1）当时，求的最小值； （2）求所有使的值域为的的值.【知识点】函数的单调性与最值B3【答案解析】(1) 6（2）(1)设 当即时， （2） 当，即时，舍去 当，即【思路点拨】（1）利用换元法将函数转化为关于t的一元二次函数，利用二次函数的图象和性质进行求解即可（2）根据二次函数的图象和性质，建立值域关系即可求出a的值【题文】18. 设.(1) 当时，取到极值，求的值；(2) 当满足什么条件时，在区间，上有单调递增区间？【知识点】导数的应用B12【答案解析】(1) (2) (1)由题意知，f(x)的定义域为(1，)，且f(x)2ax1，由题意得：f(1)0，则2a2a10，得. 又当时，f(x)，当0x1时，f(x)1时，f(x)0，所以f(1)是函数f(x)的极大值，所以. (2)解法一：要使f(x)在区间，上有单调递增区间，即要求2ax(2a1)0在区间，上有解，当a0时，不等式恒成立；当a0时，得x，此时只要0；当a0时，得x，解得1a0在区间，上有解，即在区间，上，而在区间，单调递增，所以 综上所述，）【思路点拨】（1）当x=1时，f（x）取到极值，即f（1）=0，解得a的值；（2）f（x）在区间，- 上有单调递增的区间，即f（x）0时在-，-上有解，解含参数的不等式【题文】19已知函数，其中aR.(1)当时，求曲线在点处的切线的斜率；(2)当时，求函数的单调区间与极值【知识点】导数的应用B12【答案解析】(1) 3e (2)略(1)当a0时，f(x)x2ex，f(x)(x22x)ex，故f(1)3e.所以曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线的斜率为3e. (2)f(x)x2(a2)x2a24a ex 令f(x)0，解得x2a，或xa2，由a知，2aa2.以下分两种情况讨论：若a，则2aa2，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，2a)2a(2a，a2)a2(a2，)f(x)00f(x)极大值极小值所以f(x)在(，2a)，(a2，)上是增函数，在(2a，a2)上是减函数函数f(x)在x2a处取得极大值为f(2a)，且f(2a)3ae2a.函数f(x)在xa2处取得极小值为f(a2)，且f(a2)(43a)ea2. 若aa2，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，a2)a2(a2，2a)2a(2a，)f(x)00f(x)极大值极小值所以f(x)在(，a2)，(2a，)上是增函数，在(a2，2a)上是减函数函数f(x)在xa2处取得极大值f(a2)，且f(a2)(43a)ea2.函数f(x)在x2a处取得极小值f(2a)，且f(2a)3ae2a. 【思路点拨】（1）抓住两点切点是公共点，代入曲线方程求出f（1）的值；切点处的导数是切点的斜率（2）先求导数，令导数等于零找到所有可能的极值点，再通过列表法具体判断，注意对极值点大小的讨论【题文】20. 某旅游风景区有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元。根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超出6元，则每超过1元，租不出的自行车就增加3辆。为了便于结算，每辆自行车的日租金（元）只取整数，并且要求出租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用（元）表示出租自行车的日净收入（即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后的所得）. （1）求函数的解析式及其定义域； （2）试问当每辆自行车的日租金定为多少元时，才能使一日的净收入最多？【知识点】函数模型及其应用B10【答案解析】（1）（2）11（1）当时，令解得 当时，令有上述不等式的整数解为故定义域为 （2）对于y=50x-115（3x6，xN*）显然当x=6时，ymax=185（元），对于y=-3x2+68x-115=-3(x)2+（6x20，xN*）当x=11时，ymax=270（元）270185，当每辆自行车的日租金定在11元时，才能使一日的净收入最多【思路点拨】（1）利用函数关系建立各个取值范围内的净收入与日租金的关系式，写出该分段函数，是解决该题的关键，注意实际问题中的自变量取值范围；（2）利用一次函数，二次函数的单调性解决该最值问题是解决本题的关键注意自变量取值区间上的函数类型应取每段上最大值的较大的即为该函数的最大值【题文】21. 已知函数（） (1) 当 时，证明：在上，；(2)求证：【知识点】导数的应用B12【答案解析】(1)略 (2)略(1) 根据题意知，f(x) (x0)，当a0时，f(x)的单调递增区间为(0,1，单调递减区间为(1，)；当af(1)，即f(x)2，所以f(x)20. (2) 由(1)得ln xx320，即ln xx10，所以ln xx1对一切x(1，)恒成立n2，nN，则有0ln nn1，0， (n2，nN)【思路点拨】（1）利用导数求得函数在（1，+）上的最小值为f（1）=-2，即可得出证明；（2）由（1）得-lnx+x-3+20，即lnxx-1对一切x（1，+）恒成立0lnnn-1，即0，即可得出结论成立【题文】四、选考题（10分）请考生在第22、23、24题任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分【题文】22选修4-1：几何证明选讲如图，设为线段的中点，是以为一边的正方形，以为圆心，为半径的圆与及其延长线交于点及.CBDEAHK（I）求证： ；新 |课 |标|第 |一| （II）若圆半径为，求的值.【知识点】选修4-1 几何证明选讲N1【答案解析】（I）略（II）4（I）证明：连结DH、DK，别，DHDK RtDHCRtKDC DC=BC （II）连结AD则AC=CD=BC ABBD，AD=BD=2 AD为圆B切线 【思路点拨】（）证明DHCKDC，可得，根据DC=BC，可得结论；（）连接AD，BD，则可得AD是B的切线，由切割线定理可得AD2=AHAK，从而可求AHAK的值【题文】23选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，动点运动时，与成反比，动点的轨迹经过点（I）求动点轨迹的极坐标方程；（II）以极点为直角坐标系原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，将（I）中极坐标方程化为直角坐标方程，并说明所得点轨迹是何种曲线.【知识点】选修4-4 参数与参数方程N3【答案解析】（I）设 则 （II） w W w .x K b 1.c o M P点轨迹是开口向下，顶点为（0,1）的抛物线 【思路点拨】（I）设=，把点（2，0）代入求得k的值，可得动点P的轨迹的坐标方程，化简可得结果（II）由于+sin =2根据x=cos、y=sin化为直角坐标方程，整理可得结论【题文】24选修4-5：不等式选讲（I）解不等式；（II），证明：【知识点】选修4-5 不等式选讲N4【答案解析】（I）（II）略（I） 或 或得不等式解为 原不等式的解为：-2x2 （II）证明：=（）（ab）=（）（）（a+b）=()2（a+b）0，a2+b2（a+b）【思路点拨】（）通过对自变量x的取值范围的讨论，去掉绝对值符号，再解相应的不等式，最后取其并集即可；（）利用作差法，作差后化积，分析判断证明即可