外文翻译--三自由度并联机器人精度分析 中文版

三自由度并联机器人的精度分析 摘要 三自由度平面并联机器人越来越多的被应用于精确度很重要的领域，因而毫无疑问地会需要测试这些机器人精确性的方法。那些设计精良，制作很好，校正好的并联机器人的精确性主要依靠输入误差（传感器和控制器的误差）灵巧和其他类似的性能指标经常被用来直接测试输入误差的影响。然而工业需要的是在一个既定的额定配置下，有关最大的方向和位置的输出误差的精确知识。一种能够用于此目的的区间分析法已经在文 献 中提出，但是对于优化设计的问题并没有给出运动学方面的深刻见解。在此论文里，我将在对三自由度平面 并联机器人进行详细的 误差 分析的基础上，提出一个更简单的，有助于理解 误差 放大的方法。 并联机器人越来越多地应用于精确定位，而且许多并联机器人被 用来 做三自由度平面 校准 。显然，在这些工业实际应用中，精确度是最重要的。因此，工业很需要能够简单快速的计算一个给定的机器人的精确度的方法，以便用其设计寻求最大精确度的最佳求解程序。 并联机器人在方向和位置上的误差取决于以下几个因素： 差 ，此种 误差 在校对的时候是能够考虑到 ； 力 ，选择适当的机械零部件可以消除这种影响 ； 用更坚硬的结构消除这种 影响（这种方法将增加惯性，降低操作速度） ； 于编码器有限的决定以及传感器错误和控制器错误。 因而，正如梅尔莱所指出的，明显的关节处的失误（输出 误差 ）是 设计精良，制作很好，校正好的并联机器人出错的最重要的 误差 来源。 在此论文里，我们将解决计算并联机器人只存在明显的关节连接的错误时，它的精确度的问题。 为了论文总体平衡，“精确度”这个术语因而指的是当并联机器人只存在明显的关节连接错误时在方向和定位上的失误。 经典分析法存在于使得输入错误与输出误差相一致的一级近似值中： P= 的是的 驱动关节的 （输入）错误的向量， 差 的向量， 然而 ,这种方法将只提供一种近似的输出最大误差 。 事实上 ,正如我们在文章中所论述的 ,当给定驱动关节变量一个标准结构和一些不确定的范围，一般情况下 驱动关节 变量的一个局部最大位置误差和一个局部最大定位误差不仅仅出现在不同的装置上，而且这些驱动关节变量在不确定的极限范围内是根本不需要的。 一些发展成熟的性能指标已经被用来粗略的评价串联和并联机器人的精确度。最近的一篇文献中研究了大多数这些性能指标并且分析了它们应用到并联机器人的移动和转动 自由度中所遇到的矛盾。最常见的间接优化并联机器人精度的性能指标是敏捷指标，条件数和整体的环境负荷指标。然而 ,在最近的一项对三自由度平面并联机器人精度的研究中 ,论证了敏捷指标对机器人的精度几乎没有任何影响 ,正如我们所定义的一样。 很明显 ,考虑到执行机构的不精确的情况下，提高工业并联机器人精度的最好方法是将最大位置误差和最大定位误差安排在给定的一部分工作空间之外或者在给定的标准结构里面。 最近提出了一个通用的方法是基于统计学的区间分析对给定的一部分工作空间以外的输出误差的近似值进行计算。显而易见的，给定的一部分 工作空间以外的输出误差对机器人设计者来说是最重要的。不过 ,对于不给定机器人在工作空间内的精度变化的信息和优化设计运动的问题用这种方法是相对非常困难的。相反 ,一个非常简单的几何计算方法用来计算三自由度并联机器人精度的精确值被描绘出来了。 该方法提出了 取代了现有的关于最大位置误差映射与最小定位误差映射的敏捷映射。 虽然这种方法包括了当下精密并联机器人最有前途的三个设计理念 (其中之一是商业化 ,另两个建成实验室原型 ),它并不总是能适用于其他三自由度平面并联机器人。 本文概括了文献 5所提出的 方法并遵循一个让我们对三 自由度并联机器人精度有深刻认识的详细的数学证明。 现代研究认为只有三杆三自由度并联机器人有移动副和转动副，每个杆子上面都有一个驱动副，而且在每个杆子上面最多只有一个被动的移动副。这种方法是以两个实际的设计为例的： 机器人。这个机器人是机器人 面 3器人 。一个以此为基础设计的精密的并联机器人已经在德国 布伦斯维克 科技大学研究开发。 第二节简略的概括了文章中所用到的一 些数学原理。第三节提供了一些分析定位误差和位置误差的方法。最后 ,第四节包括几个数值例 ,并在最后一节给出了结论。 现如今主要研究的是分析由驱动关节变量有限误差引起的 并联机器人的（局部）最大位置误差和（局部）最大定位误差。在一个闭区间上，函数的最大值 X 和 ,定义为 : 2020 )()( ， 20 )( ， 在0x,0并联机器人在笛 卡尔坐标中相应的 名义 （理论） 平台位姿 （方向和位置） ,而 x ， y 和 是 实际平台坐标系 。 如果一个三自由度平面机器人是完全并联的 , x 和 是这三个变量的函数：机器人的驱动关节变量（输入），我们用 3,2,1因此，我们必须求出当, 00 x 和 的最大值，其中 0 分别是驱动关节变量相应于名义平台位姿和驱动关节变量上的误差。 为了简化我们的误差分析 ,我们可以假设标准结构非常的远离 (1 型和 2 型 )奇点。 1 型奇点是当并联机器人失去一个泛函数就失去一个或更多个自由度的结构。这些都是内部和外部工作空间的界限。因为这个原因 ,在有效的工作空间内的工业并联机器人都远离这个奇点。类似的， 2 型奇点是并联机器人失去一个泛函数将会失去对整个移动平台控制的另外一种结构。此外 ,靠近这些结构时输出误差将会以指数的数量级 来增加。因为这些原因工业并联机器人必须要排除一些奇点。因此只有当结构非常的远离奇点时我们将会完成我们的误差分析，也就是 当驱动关节变量在误差区间范围内机器人不能进入奇点的标准结构。 当我们提出这些实用性的假设时，我们忙于寻找 x 和 的最大值难题。总所周知通过分析海赛矩阵在给定区间范围以外寻找连续性多变量函数的最大值 f ，H ： 图 1 输入误差边界图 232322222312212212变量的集合为 21 ,， 00 , 果 0, 321 么得出一个 f 的极值而且 H 一定是负数。如果存在一个这样的点，我们称之为第一类极值。 从输入误差边界图（图 1）中可以看出，在对面同意存在一个 f 的极值，这个时候，我们就要对六个函数中 每 两个变量的极值进行研究，定义为：).,(),(:g ),(),(:),(),(: ),(),(:),(),(: ),(),(:302121632013133021215321032232013143,210321如果这些点存在，我们称之为第二类极值。在输入误差边界框的边缘上同样存在 f 的极值 。这个时 候，我们 就得研究 函数中十 二个变量 的极值：),(: ),(:),(: ),(:),(: ),(:),(: ),(:),(: ),(:),(: ),(:3201031230210263201031130,21025320103103020114320103930201133021028302011230210273020111如果这些点存在，我们称之为第三类极值。 最后，在输入误差边界框的八个棱角上面也存在着 f 的极值。这八个 点被称为第四类极值。 找出 和x 的极值也就相当于找出了 22 和X 函数的极值。在文章的下一部分中，我们将研究 22 和X 函数的极值。 大定位误差 2 的偏导数为： ).(2)( 02 ii 00 或个导数的值等于零。很明显可以看出，不论怎么样，只有当 0，极值才存在。 对于三自由度平面并联机器人来说， 0条件相当于两种不同的情形。 机器人处在 1型奇点。然而，我们已经假设在 研究区间中机器人是不能进入 1型奇点的。 当 j和 k 杆固定住 ),3,2,1,( ，移动平台的运动将会是完全的移动。图 2表示为通过转动关节将机器人的移动平台连接到三个驱动杆上。在移动平台上的每个杆子都给一个旋转运动的运动中心表示为 P。当制动器 1和 2 是固定的，而制动器 3 是运动的，那么 21 转动的交点3 因此，如果 ，矢量3，定义为 ，代表仅仅只有制动器 3工作时平台的瞬时位移。为了使平台做完全的移动，转动杆1R 和 2R 必须是平行的（图 3所示）。当这种结构在我们所研究的区间内，则与之图 2 移动杆应用于移动平台上 相对应的定位误差为局部的极值。 因此，只有当jR，kR ),3,2,1,(时第二类极值才存在。然而，这个就相当于以前发生过的不可能的情况。 当3,2,1,( 第三类 极值存在。如果这种结构是可能的，那么就要去测试以确定它的性质。 最后，第四类极值是一直存在的，也必须一直用来做测试。 因此，在对定位误差的分析中，只有第三或者第四类极值才有可能出现。即使是对结构最简单的三自由度平面并联机器人来说，计算分析第三类最大值也是非常困难的。由于在能感应到机器人结构中可能有两个平行的旋转杆的工作空间范围内，可能存在一个定位角局部的最大值（而不是最小值），因此，我们坚信进行实验最好的方法是将输入误差边界框的边缘进行离散（图 1），在每一个离散点计算 ，并且保留最大值。显然，这种离散是有那么点耗费时间的而且不是太精确，但是我们的这种方法相比于简单的 敏捷图 依然得出了非常有意义的结果。然而要注意的是在大部分情况下这种结构将不会发生。在这种情况下，必须有人能够在输入误差边界框的每个棱角上计算出 并保留最大值。这样得出的定位误差才是精确的。 图 明了纯平移运动的一种变化 大位置误差 2X 的偏导数为： ).()(2)( 02 如果当 00者 00 个导数的值为零。很明显可以看 出，条件 00 此将被忽略。对于三自由度平面并联机器人来说， 0 机器人处在 1型奇点。然而，我们已经假设在 研究区间 中机器人是不能进入 1型奇点的。 当 j和 k 杆固定住 ),3,2,1,( ，移动平台的运动将会是完全的移动。如果平台的运动时完 全的转动的，那就意味着杆 1R 和3 点相重合（图 5）。当这种结构在我们所 研究的区间 内，则与之相对应的定位误差为局部的极值。 图 4 函数 2 的第一和第二类极值 极小 的运动 接下来，我们将要用几何的方法来说明 2X 的全局的最大值仅仅存在于输入误差边界框的边缘上（包括各个顶点）。事实上，找出这个最大值就等同于发现远离名义上的移动平台位置中心无常区域中的点。通过去除相应的区间中的驱动关节变量获得这个无常的区域上机器人基本的最大工作空间 (也就是平台中心可达到的所有位置）， 00 , 然，我们所寻找的点将会最大工作空间的边界上。 文献 10 中介绍了用几何算法来计算这个边界，但在这 里我们不会去详细的讨论它。我们只需要提到相对应这段边界曲线组成的这种结构至少有一条边在 1类奇点上（这是排除在我们研究范围以外的）或者在驱动关节极限内（依然被我们认为没有极限的被动关节）。这一段只有一个驱动关节在一个限制的直线段（在第一类中是移动关节）或一个圆弧半径取决于杆的长度与平台的尺寸（在第二类中是转动关节）。 在误差分析中，机器人的 区间间隔 相对应外形尺寸是非常小的，所以给不确定的区域一个名义上的结构。那就意味着在实践当中，一个属于边界不确定区域的圆弧半径将会远远大于最大位置误差。因此，对于这样一个大半 径的小圆弧，离名义上的位置最远的点将在两末端之一的圆弧上。因此这个点在极限内将至少对应两个驱动关节变量。 因此，感谢这个几何分析，我们将能够证明最大位置误差不会出现在其他地方而是在输入误差边界框的边缘上。下一步更深入的分析将会得到保证，在某一精度条件下，最大位置误差仅仅出现在输入误差边界框的八个棱角的某一个上面。 对于杆 j 和 k（ ,3,2,1, ），有第三种最大的条件在区间上 00 , ii ： 图 明了纯转动的一种变化 （ a） 0 （ b）正交与0 条件（ a）已经讨论过了。这样一种结构必须要检查去判断它是否符合全局最大值。但是，要分析识别这种结构是相当困难的。因此，我们再一次的确信最好的着手点是在一种让你感觉到机器人可能处在两腿压力相交于移动平台中心的结 构的区域活动空间，把输入边界框的边缘进行离散，在每一个离散点上计算X ，并保留最大值。但是注意，这种结构在大多数情况下显然是不存在的。对于这种情况，我们必须只考虑条件（ b）。 条件（ b）是更加复杂的分析。的偏导数代表的机器人建立雅克比 阵最初的两个要素。如果矢量的 方向在研究区间内接近一个常量（但是要远离第二类奇点），那么就可以说在这个区间内当杆 j 和 k 是固定的，机器的位移近似的为一条直线。这个我们可以近似的通过计算矢量在输入误差边界框的每个棱角来验证。如果矢量的方向的变化量没有达到给定值（比如 1 ），那我们就可以认为在研究区间内没有发生变化。 令正交于0 B（图 6）。矢量 u 定义为在 B 点允许移动位移的方向。如果我们描绘一条线穿过 的方向根据矢量 有当驱动器在运转的时候这条线定义为平台位移的轨迹在 果我们描绘出两个图 正交于0得出一个极值 点 A 和 C 在这条直线上在 B 点周围，当 它的驱动杆指向的量 此，当驱动杆运动的时候它就一次通过 A、 B、 这就可以确定的标出 点在 )()(0i 上的结果了。在 就可以看出 X 的局部最小值。因此这种结构不能代表第三类最大值。 当然，也存 在我们经验法则例外的情况，但是那些都是针对某些特定的机构而极少出现的。比如三自由度并联机器人就是这种情况。当两个制动器都关闭的时候，通过曲线描述平台中心将是一个椭圆。因此，如果我们在它的端点取一条线段，斜率是基本不会变化的，这条线段明显的接近这条直线。然而，如果考虑到三自由度并联机器人，这条曲线就是 6次方的。理论上，可能存在这样的线段在端点的斜率是几乎一致的，但这条线段并不是线性的。但是我们考虑到这种情形是几乎不可能发生的，而且即使它们发生了也是在某一特定情况下而不是在工作空间内。所以为了简单起见，在我们研 究时忽略这种极小的可能性。 论 总而言之，我们提出的方案对很多实际的三自由度并联机器人的设计是很容易去简单而又快速地实现。对于大多数的设计，在每个名义上的结构我们都要计算 8套关节变量的直接运动点，既不能用分析也不能用精确数值的方法（因为我们远离奇点）。因此，为了计算给定名以上结构的三自由度并联机器人的局部最大定位误差和局部最大位置误差，我们至少也要计算 12用图 11中给出的方法）， 面已经提到，这样的离散化是相当耗费时间的而且可能 导致计算精度不够高。然而，相对简单的分析可以显示，对于机器人设计只有输入误差边界框的八个顶点需要验证。也就是说，为了计算最大定位误差，这是没有两个压力可以平行的条件下而导致局部最大值，为了计算最大位置误差，这是没有两个压力在平台中心相交的情况下且矢量的方向变化是非常微小的。 自由度 3面并联机器人 在这部分中，我们将研究三自由度 3面并联机器人的精度（图 7）。这个机器人的设计如下： 装在底部位于转动关节 - 5.0 。 这个机器人的第二类奇点是总所周知的 12当机器人是这种结构的时间出现： 7 3 c o s 111 ； 位于以 c 的圆上； 当点三个第一类奇点位于第二类奇点的圆上。 因此我们建议分析以 个不同的定位角 分别为 0和10时的可用工作区。这个工作区远离奇点（第二类奇点的圆在 0和 10时的半径分别为 这个机器人的直接运动学模型是很容易获得的且有两个明显的解决方案，因为驱动关节变量不会一起奇点。我们要研究这里的三种不同情况： (a)两个压力并联的结构。这种情况不是定位误差的局部最大值就是局部最小值。在我们的例子中，压力垂直于移动关节的方向并且通过点此，这种情况图 出现是当两个移动关节的方向是并联的（图 8a）。对于这种结构，要使定位的平台保 持不变只有当受操控的关节移动。因此，这种结构是定位误差的局部最小值。 (b)两个压力相交于平台中心的结构。这种情况不是位置误差的局部最大值就是局部最小值。在我们的例子中，很容易验证这种结构只出现在研究工作空间以外（图8b）。 (c)矢量的方向是不断变化的结构。图 9a和 的方向在研究区间里的变化量。可以看出这种变化在研究区间里是非 常微小的（小于 因此，只有 8套驱动关节变量对机器人最大定位误差和最大位置误差的给定名义图 对应于三自由度并联机构的局部最大定位误差 03 q。 b 图对应的最大位置误差 03 工 作 空间边界 图 的两个变化方向为（ a） 0 和（ b） 10 上的姿势进行测试。对其中的每一套，都可能有两个平台姿势得到分析，且对相对应的定位误差和位置误差接近名义上的姿势的解决方案的计算。两个位置等高线的结果在图 10和图 11 中所表示出来。 正如我们所预期的，机器人在远离奇点的工作空间的中心是更加准确的。越靠近机器人奇点的圆准确性就越低。但要注意的是总有一种实质性的位置误差，在工作空间中心的定位误差几乎为零。 自由度 3面并联机 器人 在这部分中，我们将研究三自由度 3面并联机器人的精度（图 12)。这款机器人的设计如下： 图 时的最大定位和位置误差。 a 图为最大定位误差， b 图为最大位置误差。 图 0 时的最大定位和位置误差。 a 图为最大定位误差， b 图为最大位置误差。 为圆心1半径的圆； - ； m 10 。 该机器人允许 6 个直接运动点的分析和不能被解决的分析。当驱动关节变量保留它们的间隔时，我们只需要解决达到名义上的姿势， 而最好的办法是用一种迭代数值方法如牛顿方法。该方法只需要计算机器人的雅克比矩阵，而这是很容易实现的。在我们的误差分析中，我们总是先对名义上的结构进行计算并改变驱动关节变量在一个非常小的区间长度 。此外，我们将用这种方法计算足够远离奇点的结构。因此，正如这个例子所验证的，这种计算方法收敛很快（通常精度达到 2010 010度只需做两步的迭代计算）。 这种机器人奇异点已经被研究，但其对应的曲线是相当复杂的。然而幸运的是，很容易找到一个在工作空间内没有奇异点的工作模型的设计（给定一个逆向运动方图 法）。我们所研究的机器人的工作空间相当于一个内接于以 O 为圆心，半径为 角形的一条边平行于 们所研究的工作空间的定向角为 0和 10。这其中没有第二类奇点。 我们必须研究以下三种不同的情况： (a)两个压力并联的结构。这种情况不是定位误差的局部最大值就是局部最小值。在我们的例子 中，瞬时压力沿着直线此这种情况出现是当两个杆平行的时候（图 13）。第二种类型结构存在。图 13a 表示相当于局部最小定位误差时的结构。对这种平行四边形的两条边和平台的定位保持不变的结构，第三个执行机构单独运转。图 13b 表示相当于局部最大定位误差时的结构。在这种结构中，如果第三根杆推动移动平台往任意方向移动，那么它就相当于是转动了。然而在我们的例子中，很容易去验证在我们研究的工作空间内是不会出现这种结构的。 (b)两个压力相交于平台中心的结构。这种情况不是位置误差的局部最大值就是局部最小值。在我们的例子中，很容易验证这种结构不会出现在研究工作空间之内 。 (c)矢量的方向是不断变化的结构。图 14a 和 以看出这种变化在研究区间里是非常微小的（小于 前面已经提到，这个并不能保证最大位置误差在输入误差边界框的任意一个顶点上面出现。因此，目前我们已经验证了在边界框边缘上的实例（通过对每条边进行 20 次离散）。就连一个位置误差不在 8 个顶点的任意一个上面的名义上的结构都没有发现。所以在 这个例子当中我们的假设就成立的。 因此，对于这个机器人也一样，也是只有八套驱动关节变量对局部最大定位误差和局部最大位置误差的计算进行测试。两个位置等高线的结果在图 15 和图 16 中所表示出来。 图 a 图）和局部最大定位误差（ b 图）。 可以看出，这个并联机器人的最大定位误差和最大位置误差值接近一个常数，大约为 11 m 到 17 m 之间，仅仅略大于输入误差的范围 m 10 。这个可以用机器人在研究工作空间内远离第二类奇点来解释。并且在工作空间内它所产生的定位误差是一个几乎为零的常数。因此正如参考文献 8 的作者所验证的那样，这款并联机器人是进行精确定位的最佳候选人。 图 的两个变化方向的取向（ a） 0 和 (b） 10 。 图 的时候的最大定位误差（ a）图和最大位置误差（ b）图。 图 0 的时候的最大定位误差（ a）图和最 大位置误差（ b）图。 5 结论 这篇论文 对 三自由度平面并联机器人的局部最大定位和位置误差进行了详细的研究。研究证明，当距离奇异点足够远，且至少两个输入出现一个最大误差，局部最大定位和位置误差才会出现。然而，当仅有两个输入就处于最大误差时， 一个简单的程序，对于一个 给定的设计，建议评估是否会出现输出误差。多亏了此次的详细研究，提出了一个简单的方法来计算给定的名义上的结构和输入误差界限的局部极大方向与位置误差。该方法包含解决 8 个直接运到点或最大限度为 12n（其中 输入。此方法是相对快速和精确的，但主要是容易实现，和能对并联机器人的运动精度产生有价值的发现。作者认为本文中推荐的方法应该被用于所有三自由度完全平面并联机器人，而不是那些没什么意义的图。