2019-2020年高三1月模拟数学理试题 含解析.doc

2019-2020年高三1月模拟数学理试题 含解析一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知i为虚数单位，复数对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【答案】B【解析】试题分析：因为，所以对应的点的坐标是，所以在第二象限，故选B考点：1、复数的乘法运算；2、复平面2.已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析：使有意义，必须满足，故选B考点：1、函数的定义域；2、集合的交集运算3.设向量，, 若方向相反, 则实数的值是（ ）A B C D【答案】D【解析】由题意得：，解得：，当时，此时，方向相同，不符合题意，舍去；当时，此时，方向相反，符合题意所以实数的值是，故选D试题分析：考点：1、向量的坐标运算；2、平行向量（共线向量）4.一算法的程序框图如图1，若输出的， 则输入的的值可能为（ ）A B C D 【答案】C【解析】试题分析：由程序框图知：当时，解得：（舍去）；当时，解得：（）或（），当时，或（舍去），所以输入的的值可能是，故选C考点：1、框图；2、分段函数5.将函数的图象向左平移个单位，再向上平移个单位，所得图象的函数解析式是（ ） A B C D 【答案】A【解析】试题分析：将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，再向上平移个单位，得到函数的图象所得函数的函数解析式是，故选A考点：1、三角函数的图象变换；2、诱导公式；3、倍角公式6.用,表示空间中三条不同的直线, 表示平面, 给出下列命题: 若, , 则; 若, , 则; 若, , 则; 若, , 则.其中真命题的序号是（ ）A B C D 【答案】D【解析】试题分析：若, , 则或与相交或与异面，所以是假命题；平行于同一直线的两条直线平行，所以是真命题；若, , 则或与相交或与异面，所以是假命题；若两条直线垂直于同一个平面，则这两条直线平行，所以是真命题故选D考点：空间点、线、面的位置关系7.已知双曲线的左，右焦点分别为，过点 的直线与双曲线的右支相交于，两点，且点的横坐标为，则的周长为（ ）A B C D【答案】A【解析】试题分析：因为，所以，因为点的横坐标为，所以轴，由，解得，所以，因为点、在双曲线上，所以，所以，所以的周长为，故选A考点：1、双曲线的定义；2、双曲线的弦长；3、焦点三角形的周长8.已知映射.设点，点是线段上一动点，.当点在线段上从点开始运动到点结束时，点的对应点所经过的路线长度为（ ）A B C D 【答案】B【解析】试题分析：因为点，所以线段的方程为（），设，则，因为点是线段上一动点，所以（），所以点的对应点的轨迹是一段圆弧，且圆心角为，所以点的对应点所经过的路线长度为，故选B考点：1、映射；2、轨迹方程；3、弧长二、填空题（本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分）（一）必做题（913题）9.不等式的解集是 .【答案】【解析】当，即时，不等式恒成立；当，即时，不等式可化为，化简得，解得或，或，故所求不等式的解集是试题分析：考点：绝对值不等式10.已知数列是等差数列，且，则的值为 .【答案】28【解析】试题分析：因为，所以，所以考点：等差数列的性质11.在平面直角坐标系中，设不等式组所表示的平面区域是，从区域中随 机取点，则的概率是 .【答案】【解析】试题分析：作出可行域如图所示：不等式组所表示的平面区域是图中正方形，则正方形的面积是从区域中随机取点，使，则点落在图中阴影部分在中，所以阴影部分的面积是，故所求的概率是考点：1、线性规划；2、几何概型12.由，这十个数字组成的无重复数字的四位数中，十位数字与千位数字之差的绝 对值等于的四位数的个数是 . 【答案】280【解析】试题分析：当十位数字为，千位数字为时，四位数的个数是；当十位数字与千位数字为，时，四位数的个数是；当十位数字与千位数字为，时，四位数的个数是，故所求的四位数的个数是考点：排列与组合13.已知函数, 则的值为 .【答案】-8058【解析】试题分析：因为，所以考点：1、函数值；2、推理与证明（二）选做题（1415题，考生只能从中选做一题）14.（几何证明选讲选做题）如图2，圆的直径，直线与圆相切于点，于点D，若，设，则_【答案】【解析】试题分析：因为直线与圆相切于点，所以，因为是圆的直径，所以，在中，在中，所以，故考点：1、弦切角；2、直径所对的圆周角15.（坐标系与参数方程选讲选做题）在极坐标系中，设曲线与的交点分别为，则线段的垂直平分线的极坐标方程为 . 【答案】【解析】试题分析：曲线的普通方程为，曲线的普通方程为，所以的方程为，又易知的垂直平分线斜率为，经过圆的圆心，所以的垂直平分线的方程为，即为，或化成考点：1、极坐标方程与直角坐标方程互化；2、两圆的公共弦所在直线方程三、解答题 （本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 16.（本小题满分12分） 已知函数R，是函数的一个零点. （1）求的值，并求函数的单调递增区间； （2）若，且，求的值.【答案】（1），Z；（2）【解析】试题分析：（1）由是函数的一个零点得，代入，用辅助角公式化简，得，利用正弦函数的单调递增区间即可求出函数的单调递增区间；（2）先将已知条件进行化简，再利用求出和的值，进而展开，代入数值试题解析：（1）解：是函数的一个零点， . 1分 . 2分 3分 . 4分由，Z ，得，Z ， 5分 函数的单调递增区间是Z. 6分（2）解：， . . 7分 ， . 8分， . . 9分 ， . 10分 11分 . 12分考点：1、函数的零点；2、辅助角公式；3、三角函数的单调性；4、诱导公式；5、同角三角函数的基本关系；6、两角和的正弦公式17.（本小题满分12分）广州某商场根据以往某种商品的销售记录，绘制了日销售量的频率分布表（如表）和频率分布直方图（如图） 分组频数频率 表1将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立（1）求，的值.（2）求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都高于100个且另1天的日销售量不高于50个的概率；（3）用表示在未来3天里日销售量高于100个的天数，求随机变量的分布列和数学期望【答案】（1），；（2）；（3）分布列见解析，【解析】试题分析：（1）利用计算出，的值；（2）计算日销售量都高于100个与日销售量不高于50个的概率，即可求出在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都高于100个且另1天的日销售量不高于50个的概率；（3）先分析确定随机变量的所有可能取值，再计算各个取值的概率，即可得其分布列，利用数学期望公式求数学期望.试题解析：（1）解：，. 2分(2) 解：设表示事件“日销售量高于100个”，表示事件“日销售量不高于50个”，表示事件“在未来连续3天里有连续2天日销售量高于100个且另1天销售量不高于50个”， ，. 5分(3)解：依题意，的可能取值为，且. 6分， ， 10分的分布列为01230.0640.2880.4320.216 11分. 12分考点：1、频率分布直方图；2、频率分布表；3、概率；4、离散型随机变量的分布列与数学期望.18.（本小题满分14分） 如图，四边形是正方形，与均是以为直角顶点的等腰直角三角形， 点是的中点，点是边上的任意一点.（1）求证：；（2）求二面角的平面角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）由已知可得，先证平面，得到，再证平面，得到，进而证平面，即可得；（2）先建立空间直角坐标系，再计算平面和平面的法向量，进而可算出二面角的平面角的余弦值，利用，即可得二面角的平面角的正弦值.试题解析：（1）证明：是的中点，且， . 1分 与均是以为直角顶点的等腰直角三角形， ，. ，平面，平面， 平面. 平面， . 2分 四边形是正方形， . 3分 ，平面，平面， 平面. 平面， . 4分 ，平面，平面， 平面. 5分 平面， . 6分（2）解法1：作于，连接， 平面，平面 . 7分 ，平面，平面， 平面. 8分 平面， . 9分为二面角的平面角. 10分设正方形的边长为，则， 在Rt中， 11分在Rt中，12分在Rt中， . 13分 二面角的平面角的正弦值为. 14分解法2：以为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，轴 ， 建立空间直角坐标系，设，则，,.7分，.设平面的法向量为，由 得 8分令 ，得， 为平面的一个法向量. 9分 平面，平面， 平面平面.连接，则. 平面平面，平面， 平面. 10分 平面的一个法向量为. 11分设二面角的平面角为，则. 12分. 13分 二面角的平面角的正弦值为. 14分考点：1、线线垂直、线面垂直；2、二面角.19.（本小题满分14分）已知数列的前项和满足：，为常数，且，（1）求数列的通项公式；（2）若，设，且数列的前项和为，求证：【答案】（1）；（2）证明见解析【解析】试题分析：（1）利用，即可得数列的通项公式；（2）先将代入，化简，再放缩，进而得到，即可得与的大小关系试题解析：（1）解：， . 1分当时， 3分得， 4分 数列是首项为，公比也为的等比数列 5分. 6分（2）证明：当时， 7分. 8分由， 10分. 11分 .13分 ， ，即. 14分考点：1、数列的通项公式；2、数列求和；3、不等式证明；4、放缩法.20.（本小题满分14分） 已知椭圆的离心率为，且经过点圆.（1）求椭圆的方程；（2）若直线与椭圆C有且只有一个公共点，且与圆相交于两点，问是否成立？请说明理由【答案】（1）；（2）不成立.【解析】试题分析：（1）由离心率为，可得：，由椭圆经过点，可得：，即可得椭圆的方程；（2）先将直线的方程与椭圆的方程联立，可得，利用，可得，再求出点的坐标，进而可得点不是线段的中点，即可得不成立.试题解析：（1）解： 椭圆过点， . 1分， 2分 3分椭圆的方程为. 4分（2）解法1：由（1）知，圆的方程为，其圆心为原点. 5分直线与椭圆有且只有一个公共点，方程组 （*） 有且只有一组解由（*）得 6分从而,化简得 7分 ，. 9分 点的坐标为. 10分由于，结合式知，. 11分 与不垂直. 12分 点不是线段的中点. 13分不成立. 14分解法2：由（1）知，圆的方程为，其圆心为原点. 5分直线与椭圆有且只有一个公共点，方程组 （*） 有且只有一组解由（*）得 6分从而,化简得 7分 ， 8分由于，结合式知，设,线段的中点为,由消去,得.9分 . 10分若,得 ,化简得,矛盾. 11分 点与点不重合. 12分 点不是线段的中点. 13分 不成立. 14分考点：1、椭圆的方程；2、直线与圆锥曲线.21.（本小题满分14分） 已知函数，R . （1）讨论函数的单调性; （2）若函数有两个极值点, 且, 求的取值范围; （3）在（2）的条件下, 证明:.【答案】（1）当时, 函数在上单调递减, 在上单调递增；当时, 函数在上单调递增, 在上单调递减, 在上单调递增；当时, 函数在上单调递增.（2）；（3）证明见解析.【解析】试题分析：（1）先求函数的定义域，再对函数求导，进而令导函数为零，得到方程，对方程是否有实数根进行讨论，即可得函数的单调性；（2）将函数有两个极值点,转化为方程在有两不等实根，结合（1），即可得的取值范围；（3）先将化简，再令, ，进而可证，即可得.试题解析：(1)解: 函数的定义域为, , 1分令, 得, 其判别式, 当,即时, , 此时,在上单调递增; 2分 当, 即时, 方程的两根为,3分若, 则, 则时, , 时, , 此时, 在上单调递减, 在上单调递增; 4分若,则, 则时, ,时, , 时, , 此时, 在上单调递增, 在上单调递减, 在上单调递增. 5分综上所述, 当时, 函数在上单调递减, 在上单调递增;当时, 函数在上单调递增, 在上单调递减, 在上单调递增;当时, 函数在上单调递增. 6分(2) 解:由(1)可知, 函数有两个极值点,等价于方程在有两不等实根, 故. 7分(3) 证明: 由(1), (2)得, , 且, . 8分, 9分令, ,则, 10分由于, 则, 故在上单调递减. 11分故. 12分. 13分. 14分考点：1、用导数判断函数的单调性；2、参数的取值范围；3、用导数证明不等式.