2019-2020年高三数学知识点汇总 专题 三角函数.doc

2019-2020年高三数学知识点汇总 专题 三角函数一、角的概念和弧度制：（1）在直角坐标系内讨论角：角的顶点在原点，始边在轴的正半轴上，角的终边在第几象限，就说过角是第几象限的角。若角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限，它叫象限界角。（2）与角终边相同的角的集合：与角终边在同一条直线上的角的集合： ；与角终边关于轴对称的角的集合： ；与角终边关于轴对称的角的集合： ；与角终边关于轴对称的角的集合： ； 一些特殊角集合的表示：终边在坐标轴上角的集合： ；终边在一、三象限的平分线上角的集合： ；终边在二、四象限的平分线上角的集合： ；终边在四个象限的平分线上角的集合： ；（3）区间角的表示：象限角：第一象限角： ；第三象限角： ；第一、三象限角： ；写出图中所表示的区间角：xyOxyO（4）正确理解角：要正确理解“间的角”= ；“第一象限的角”= ；“锐角”= ；“小于的角”= ；（5）由的终边所在的象限，通过 来判断所在的象限。 （6）弧度制：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零；任一已知角的弧度数的绝对值，其中为以角作为圆心角时所对圆弧的长，为圆的半径。（7）弧长公式： ；半径公式： ；扇形面积公式： ；二、任意角的三角函数：（1）任意角的三角函数定义：以角的顶点为坐标原点，始边为轴正半轴建立直角坐标系，在角的终边上任取一个异于原点的点，点到原点的距离记为，则 ； ； ； ； ； ； 如：角的终边上一点，则 。（2）在图中画出角的正弦线、余弦线、正切线；xyOaxyOaxyOayOa比较，的大小关系： 。（3）特殊角的三角函数值：0sincos三、同角三角函数的关系与诱导公式：（1）同角三角函数的关系平方关系是 ， ， ；倒数关系是 ， ， ；商式关系是 ， 。作用：已知某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值。（2）诱导公式： ， ， ；： ， ， ；： ， ， ；： ， ， ；： ， ， ；： ， ， ；： ， ， ；： ， ， ；： ， ， ；诱导公式可用概括为： ， 。作用：求任意角的三角函数值。（3）同角三角函数的关系与诱导公式的运用：已知某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值。注意：用平方关系，有两个结果，一般可通过已知角所在的象限加以取舍，或分象限加以讨论。求任意角的三角函数值。步骤：任意负角的三角函数任意正教的三角函数0o360o角的三角函数求值公式三、一公式一0o90o角的三角函数公式二、四、五、六、七、八、九已知三角函数值求角：注意：所得的解不是唯一的，而是有无数多个步骤： 确定角所在的象限；如函数值为正，先求出对应的锐角；如函数值为负，先求出与其绝对值对应的锐角；根据角所在的象限，得出间的角如果适合已知条件的角在第二限；则它是；如果在第三或第四象限，则它是或；如果要求适合条件的所有角，再利用终边相同的角的表达式写出适合条件的所有角的集合。如，则 ， ； ；_。注意：巧用勾股数求三角函数值可提高解题速度：（3，4，5）；（6，8，10）；（5，12，13）；（8，15，17）；四、三角函数公式：相除以代积化和差：以代以代和差化积倍角公式万能公式：反解，以代半角公式：开方三倍角公式：；五、三角恒等变换：三角变换是运算化简的过程中运用较多的变换，提高三角变换能力，要学会创设条件，灵活运用三角公式，掌握运算，化简的方法和技能常用的数学思想方法技巧如下：（1）角的变换：在三角化简，求值，证明中，表达式中往往出现较多的相异角，可根据角与角之间的和差，倍半，互补，互余的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获解，对角的变形如：是的二倍；是的二倍；是的二倍；是的二倍；是的二倍；是的二倍；是的二倍。；问： ； ；等等（2）函数名称变换：三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数。如在三角函数中正余弦是基础，通常化切、割为弦，变异名为同名。（3）常数代换：在三角函数运算，求值，证明中，有时需要将常数转化为三角函数值，例如常数“1”的代换变形有： （4）幂的变换：降幂是三角变换时常用方法，对次数较高的三角函数式，一般采用降幂处理的方法。常用降幂公式有： ； 。降幂并非绝对，有时需要升幂，如对无理式常用升幂化为有理式，常用升幂公式有： ； ；（5）公式变形：三角公式是变换的依据，应熟练掌握三角公式的顺用，逆用及变形应用。 如：； ； ； ； ； = ； = ； （其中 ；） ； ；（6）三角函数式的化简运算通常从：“角、名、形、幂”四方面入手；基本规则是：切割化弦，异角化同角，复角化单角，异名化同名，高次化低次，无理化有理，和积互化，特殊值与特殊角的三角函数互化。如： ； ； ； ；推广： ；推广：六、三角函数的图象和性质：（1）正弦函数、余弦函数及正切函数的性质：图 象作法： ；定义域值域最值（指出此时的值）最大值最小值周期奇偶性对称性对称轴中心单调性增区间减区间（2）与可由怎样变化得到：（a）先平移后伸缩：（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（b）先伸缩后平移： 注意：对于由三角函数图象求的解析式的问题：即确定；：可由得到，在图象中，相邻的最大值和最小值间的距离为周期的；相邻的最大值或最小值与零点间的距离为周期的。：可运用得到，其中为最大值左侧和原点最近的第一个零点的横坐标。与的性质：定义域值域最值（指出此时的值）最大值最小值周期奇偶性对称性对称轴中心单调性增区间减区间如：函数的单调增区间为 ；函数的单调增区间为 ；函数的单调减区间为 ；函数的最大值是 ，最小值是 ，周期是 ，频率是 ，相位是 ，初相是 ；其图象的对称轴是直线 ，点 是该图象的对称中心。七、与三角有关的值域与最值问题（运用三角函数的有界性）：如：配方法（转化为同名同角函数的二次三项式），如：求函数的值域。降幂（转化为一个角的三角函数形式），如：求函数的最大值与最小值。解不等式（等号一边化成一个角的三角函数形式，利用正余弦的有界性解不等式），如：求函数的值域。数形结合（联想到解析几何中圆与椭圆的参数方程），如：求函数的值域。判别式法（运用万能公式，构造成关于（可设为）的以为参数的二次函数）， 如：求函数的值域。换元法：如：设，求函数的最值。 注意：熟悉之间的换算，在具体运用中还要注意、的符号问题：（可借助单位圆） 。 。 。 。xyOyO利用函数的单调性：如：设，求函数的最小值。分类讨论（对含参数的三角函数的值域最值问题，需要对参数进行讨论），如：设，（1）用表示的最大值；（2）当时，求的值。基本不等式法：如：求函数的最大值。八、重要的结论：（1）特殊函数的周期：， ；， ；若函数的最小正周期是，为非零常数，则的最小正周期是 ；的最小正周期是 ；的最小正周期是 。函数的最小正周期是两个函数与的最小正周期的最小公倍数。 如：求的最小正周期。九、解斜三角形：（1）正弦定理： = = =（为 ）（2）余弦定理： ； ； ；（3）求角公式： ； ； ；注意：正余弦定理适用的题型：（一）余弦定理适用的题型：已知三边，求三个角；已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角；（二）正弦定理适用的题型：已知两角和任一边，求其他两边和一角；已知两边和一边的对角，求第三边和其他两个角；（解常不唯一）（4）三角形解的个数：已知两边和其一边的对角解三角形，有两解、一解、无解三种情况：（一）为锐角： ACCCCAAABB1B2B 无解 一解 两解 一解ACB（二）为直角或钝角： 无解； 一解；亦可以用下面的方法来解题：先计算若且，有唯一解，且若由（5）面积公式： = = 其中，、分别为的外接圆和内切圆的半径。（6）三角形中常用的结论：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。边角之间的不等式关系：； ； ； ； ； ； ；