2019-2020年高二下学期期中数学试卷（理科） 含解析(I).doc

2019-2020年高二下学期期中数学试卷（理科） 含解析(I)一、选择题（每个题目只有一个正确答案，共12小题，每小题5分，共60分）1复数i=（）A2iBC0D2i2”x5”是”x225”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分又不必要条件35名学生相约第二天去春游，本着自愿的原则，规定任何人可以“去”或“不去”，则第二天可能出现的不同情况的种数为（）ACB25C52DA4已知命题p：x0R，使得，则p为（）A对xR，都有ex0B对xR，都有ex0Cx0R，使得ex0D对xR，都有ex05用数学归纳法证明“”时，由n=k的假设证明n=k+1时，如果从等式左边证明右边，则必须证得右边为（）ABCD6已知a为实数，函数f（x）=（x2+）（x+a），若函数f（x）的图象上有与x轴平行的切线，则a的取值范围是（）ABCD7已知=2， =3， =4， =6，（a，b均为实数），则可推测a，b的值分别为（）A6，35B6，17C5，24D5，358某三棱锥的三视图如图所示，且三个三角形均为直角三角形，则xy的最大值为（）A32BC64D9（x+）（2x）5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（）A40B20C20D4010从混有5张假钞的20张百元钞票中任意抽取2张，将其中1张放在验钞机上检验发现是假钞，则另一张也是假钞的概率为（）ABCD11已知双曲线=1（a0，b0）的两条渐近线与抛物线y2=2px（p0）的准线分别交于O、A、B三点，O为坐标原点若双曲线的离心率为2，AOB的面积为，则p=（）A1BC2D312已知函数f（x）=x3+bx2+cx+d（b、c、d为常数），当x（0，1）时取得极大值，当x（1，2）时取极小值，则（b+）2+（c3）2的取值范围是（）A（，5）B（，5）C（，25）D（5，25）二、填空题（共4个小题，每小题5分，共20分）13若随机变量B（16，），若变量=51，则D=14由抛物线y=x22x+3与直线y=x+3所围成的图形的面积是15在冬奥会志愿者活动中，甲、乙等5人报名参加了A，B，C三个项目的志愿者工作，因工作需要，每个项目仅需1名志愿者，且甲不能参加A，B项目，乙不能参加B，C项目，那么共有种不同的志愿者分配方案（用数字作答）16已知定义在R上的函数f（x）满足f（x）f（x）=（12x）ex，且f（0）=0则下列命题正确的是（写出所有正确命题的序号）f（x）有极大值，没有极小值；设曲线f（x）上存在不同两点A，B处的切线斜率均为k，则k的取值范围是；对任意x1，x2（2，+），都有恒成立；当ab时，方程f（a）=f（b）有且仅有两对不同的实数解（a，b）满足ea，eb均为整数三、解答题（共6个小题，其中22题10分，其余每小题12分，共70分.）17已知函数f（x）=xlnx（）求曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程；（）求证：f（x）x118某批发市场对某种商品的日销售量（单位：吨）进行统计，最近50天的统计结果如下：日销售量11.52天数102515频率0.2ab（）求5天中该种商品恰好有两天的销售量为1.5吨的概率；（）已知每吨该商品的销售利润为2千元，X表示该种商品某两天销售利润的和（单位：千元），求X的分布列和数学期望19如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为直角梯形，ADBC，ADC=90PA=PD=AD=2BC=2，CD=，Q是AD的中点，M是棱PC上的点，且PM=3MC（）求证：平面PAD底面ABCD；（）求二面角MBQC的大小20已知函数（）讨论函数f（x）的单调区间；（）若2xlnx2mx21在1，e恒成立，求m的取值范围21已知椭圆C： +=1（ab0）的离心率为，左、右焦点分别是F1，F2，点P为椭圆C上任意一点，且PF1F2面积最大值为（1）求椭圆C的方程；（2）过F2作垂直于x轴的直线l交椭圆于A、B两点（点A在第一象限），M、N是椭圆上位于直线l两侧的动点，若MAB=NAB，求证：直线MN的斜率为定值22已知函数f（x）=ln（1+ax）（a0）（1）当a=时，求f（x）的极值；（2）若a（，1），f（x）存在两个极值点x1，x2，试比较f（x1）+f（x2）与f（0）的大小（3）求证en!（n2，nN）xx重庆七中高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每个题目只有一个正确答案，共12小题，每小题5分，共60分）1复数i=（）A2iBC0D2i【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案【解答】解：i=，故选：D2”x5”是”x225”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分又不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】因为“x225”可以求出x的范围，再根据充分必要条件的定义进行求解；【解答】解：“x225”可得x5或x5，“x5”“x225”，“x5”是“x225”的充分不必要条件，故选：A35名学生相约第二天去春游，本着自愿的原则，规定任何人可以“去”或“不去”，则第二天可能出现的不同情况的种数为（）ACB25C52DA【考点】计数原理的应用【分析】直接利用分步乘法计数原理得答案【解答】解：不妨设5名同学分别是A，B，C，D，E，对于A同学来说，第二天可能出现的不同情况有去和不去2种，同样对于B，C，D，E都是2种，由分步乘法计数原理可得，第二天可能出现的不同情况的种数为22222=25（种）故选：B4已知命题p：x0R，使得，则p为（）A对xR，都有ex0B对xR，都有ex0Cx0R，使得ex0D对xR，都有ex0【考点】命题的否定【分析】根据特称命题的否定是全称命题即可得到结论【解答】解：命题p：x0R，使得是特称命题，根据特称命题的否定是全称命题，得p：对xR，都有ex0故选：A5用数学归纳法证明“”时，由n=k的假设证明n=k+1时，如果从等式左边证明右边，则必须证得右边为（）ABCD【考点】数学归纳法【分析】当n=k+1时，右边=，由此可得结论【解答】解：由所证明的等式，当n=k+1时，右边=故选D6已知a为实数，函数f（x）=（x2+）（x+a），若函数f（x）的图象上有与x轴平行的切线，则a的取值范围是（）ABCD【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】若函数f（x）的图象上有与x轴平行的切线，则f（x）=0有实数解，从而可求a的取值范围【解答】解：f（x）=x3+ax+x+a，f（x）=3x2+2ax+，函数f（x）的图象上存在与x轴平行的切线，f（x）=0有实数解，=4a2430，a2，解得a或a，因此，实数a的取值范围是（，+），故选D7已知=2， =3， =4， =6，（a，b均为实数），则可推测a，b的值分别为（）A6，35B6，17C5，24D5，35【考点】归纳推理【分析】根据题意，分析所给的等式，可归纳出等式=n，（n2且n是正整数），将n=6代入可得答案【解答】解：根据题意，分析所给的等式可得： =n（n2且n是正整数）当n=6时，a=6，b=621=35；故选：A8某三棱锥的三视图如图所示，且三个三角形均为直角三角形，则xy的最大值为（）A32BC64D【考点】简单空间图形的三视图【分析】由已知中的三个视图中的三角形均为直角三角形，设三视图的高为h，则h2+y2=102，且h2+（2）2=x2，进而根据基本不等式可得xy的最大值【解答】解：由已知中的三个视图中的三角形均为直角三角形，设三视图的高为h，则h2+y2=102，且h2+（2）2=x2，则x2+y2=1282xy，xy64，即xy的最大值为64，故选：C9（x+）（2x）5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（）A40B20C20D40【考点】二项式系数的性质【分析】由于二项式展开式中各项的系数的和为2，故可以令x=1，建立a的方程，解出a的值，然后再由规律求出常数项【解答】解：令x=1则有1+a=2，得a=1，故二项式为（x+）（2x）5故其常数项为22C53+23C52=40故选：D10从混有5张假钞的20张百元钞票中任意抽取2张，将其中1张放在验钞机上检验发现是假钞，则另一张也是假钞的概率为（）ABCD【考点】等可能事件的概率【分析】设事件A表示“抽到的两张都是假钞”，事件B表示“抽到的两张至少有一张假钞”，所求的概率即 P（A/B）先求出P（AB）和P（B）的值，再根据P（A/B）=，运算求得结果【解答】解：设事件A表示“抽到的两张都是假钞”，事件B表示“抽到的两张至少有一张假钞”，则所求的概率即 P（A/B）又P（AB）=P（A）=，P（B）=，由公式P（A/B）=，故选A11已知双曲线=1（a0，b0）的两条渐近线与抛物线y2=2px（p0）的准线分别交于O、A、B三点，O为坐标原点若双曲线的离心率为2，AOB的面积为，则p=（）A1BC2D3【考点】双曲线的简单性质【分析】求出双曲线的渐近线方程与抛物线y2=2px（p0）的准线方程，进而求出A，B两点的坐标，再由双曲线的离心率为2，AOB的面积为，列出方程，由此方程求出p的值【解答】解：双曲线，双曲线的渐近线方程是y=x又抛物线y2=2px（p0）的准线方程是x=，故A，B两点的纵坐标分别是y=，双曲线的离心率为2，所以，则，A，B两点的纵坐标分别是y=，又，AOB的面积为，x轴是角AOB的角平分线，得p=2故选C12已知函数f（x）=x3+bx2+cx+d（b、c、d为常数），当x（0，1）时取得极大值，当x（1，2）时取极小值，则（b+）2+（c3）2的取值范围是（）A（，5）B（，5）C（，25）D（5，25）【考点】利用导数研究函数的极值【分析】据极大值点左边导数为正右边导数为负，极小值点左边导数为负右边导数为正得a，b的约束条件，据线性规划求出最值【解答】解：f（x）=x3+bx2+cx+d，f（x）=3x2+2bx+c，函数f（x）在x（0，1）时取得极大值，当x（1，2）时取极小值，f（x）=3x2+2bx+c=0在（0，1）和（1，2）内各有一个根，f（0）0，f（1）0，f（2）0，即，在bOc坐标系中画出其表示的区域，如图，（b+）2+（c3）2表示点A（，3）与可行域内的点连线的距离的平方，点A（，3）到直线3+2b+c=0的距离为=，由12+4b+c=0与3+2b+c=0联立，可得交点为（4.5，6），与点A（，3）的距离为5，（b+）2+（c3）2的取值范围是（5，25），故选：D二、填空题（共4个小题，每小题5分，共20分）13若随机变量B（16，），若变量=51，则D=100【考点】离散型随机变量的期望与方差【分析】随机变量B（16，），可得D由变量=51，可得D=25D，即可得出【解答】解：随机变量B（16，），D=16=4，变量=51，则D=25D=254=100故答案为：10014由抛物线y=x22x+3与直线y=x+3所围成的图形的面积是【考点】定积分【分析】求出抛物线和直线的交点，利用积分的几何意义求区域面积即可【解答】解：由，解得或，根据积分的几何意义可知所求面积为=故答案为：15在冬奥会志愿者活动中，甲、乙等5人报名参加了A，B，C三个项目的志愿者工作，因工作需要，每个项目仅需1名志愿者，且甲不能参加A，B项目，乙不能参加B，C项目，那么共有21种不同的志愿者分配方案（用数字作答）【考点】计数原理的应用【分析】由题意可以分为四类，根据分类计数原理可得【解答】解：若甲，乙都参加，则甲只能参加C项目，乙只能参见A项目，B项目有3种方法，若甲参加，乙不参加，则甲只能参加C项目，A，B项目，有A32=6种方法，若甲不参加，乙不参加，则乙只能参加A项目，B，C项目，有A32=6种方法，若甲不参加，乙不参加，有A33=6种方法，根据分类计数原理，共有3+6+6+6=21种16已知定义在R上的函数f（x）满足f（x）f（x）=（12x）ex，且f（0）=0则下列命题正确的是（写出所有正确命题的序号）f（x）有极大值，没有极小值；设曲线f（x）上存在不同两点A，B处的切线斜率均为k，则k的取值范围是；对任意x1，x2（2，+），都有恒成立；当ab时，方程f（a）=f（b）有且仅有两对不同的实数解（a，b）满足ea，eb均为整数【考点】命题的真假判断与应用；利用导数研究函数的极值【分析】由已知中函数f（x）满足f（x）f（x）=（12x）ex，可得f（x）=xex，f（x）=（1x）ex，逐一分析四个命题的真假，可得答案【解答】解：f（x）f（x）=（12x）ex，f（x）=xex，f（x）=（1x）ex，令f（x）0，解得：x1，令f（x）0，解得：x1，函数f（x）在（，1）递增，在（1，+）递减，函数f（x）的极大值是f（1），没有极小值；故正确；k=f（x）=（1x）ex，f（x）=ex（x2），令f（x）0，解得：x2，令f（x）0，解得：x2，f（x）在（，2）递减，在（2，+）递增，f（x）最小值=f（x）极小值=f（2）=，而x时，f（x）0，k的取值范围是；故正确；结合函数f（x）在（2，+）上是凹函数，恒成立，故正确；当ab时，方程f（a）=f（b），不妨令ab，则a（0，1），则ea（1，e），又有ea为整数故ea=eb=2，同理ab时，也存在一对实数（a，b）使ea=eb=2，故有两对不同的实数解（a，b）满足ea，eb均为整数故正确；故答案为：三、解答题（共6个小题，其中22题10分，其余每小题12分，共70分.）17已知函数f（x）=xlnx（）求曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程；（）求证：f（x）x1【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】（）设切线的斜率为k，利用导数求解切线斜率，然后求解切线方程（）要证：f（x）x1，需证明：g（x）=xlnxx+10在（0，+）恒成立，利用函数的导数，通过函数的单调性以及函数的最值，证明即可【解答】（）解：设切线的斜率为k，f（x）=lnx+1，k=f（1）=ln1+1=1因为f（1）=1ln1=0，切点为（1，0）切线方程为y0=1（x1），化简得：y=x1（）证明：要证：f（x）x1只需证明：g（x）=xlnxx+10在（0，+）恒成立，g（x）=lnx+11=lnx当x（0，1）时f（x）0，f（x）在（0，1）上单调递减；当x（1，+）时f（x）0，f（x）在（1，+）上单调递增；当x=1时g（x）min=g（1）=1ln11+1=0g（x）=xlnxx+10在（0，+）恒成立所以f（x）x118某批发市场对某种商品的日销售量（单位：吨）进行统计，最近50天的统计结果如下：日销售量11.52天数102515频率0.2ab若以上表中频率作为概率，且每天的销售量相互独立（）求5天中该种商品恰好有两天的销售量为1.5吨的概率；（）已知每吨该商品的销售利润为2千元，X表示该种商品某两天销售利润的和（单位：千元），求X的分布列和数学期望【考点】二项分布与n次独立重复试验的模型；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差【分析】（）先求得销售量为1.5吨的概率p=0.5，然后利用二项分布求得其概率（）X的可能取值为4，5，6，7，8，分别求得其概率，写出分布列和数学期望【解答】解：（），依题意，随机选取一天，销售量为1.5吨的概率p=0.5，设5天中该种商品有Y天的销售量为1.5吨，则YB（5，0.5），（）X的可能取值为4，5，6，7，8，则：P（X=4）=0.22=0.04，P（X=5）=20.20.5=0.2，P（X=6）=0.52+20.20.3=0.37，P（X=7）=20.30.5=0.3，P（X=8）=0.32=0.09，X的分布列为：X的数学期望E（X）=40.04+50.2+60.37+70.3+80.09=6.219如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为直角梯形，ADBC，ADC=90PA=PD=AD=2BC=2，CD=，Q是AD的中点，M是棱PC上的点，且PM=3MC（）求证：平面PAD底面ABCD；（）求二面角MBQC的大小【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定【分析】（）连结BQ，易得PQAD，利用勾股定理可得PQBQ，通过面面垂直的判定定理即得结论；（）以Q为原点，分别以QA、QB、QP为x、y、z轴建立坐标系如图，通过题意可得Q（0，0，0），B（0，0），M（，），则所求二面角即为平面MBQ的一个法向量与平面BCQ的一个法向量的夹角，计算即可【解答】（）证明：连结BQ，四边形ABCD是直角梯形，ADBC，AD=2BC，Q为AD的中点，四边形ABDQ为平行四边形，又CD=，QB=，PAD是边长为2的正三角形，Q是AD的中点，PQAD，PQ=，在PQB中，QB=，PB=，有PQ2+BQ2=PB2，PQBQ，ADBQ=Q，AD、BQ平面ABCD，PQ平面ABCD，又PQ平面PAD，平面PAD底面ABCD；（）解：由（I）可知能以Q为原点，分别以QA、QB、QP为x、y、z轴建立坐标系如图，则Q（0，0，0），B（0，0），BC=1，CD=，Q是AD的中点，PQ=，QC=2，PC=，又PM=3MC，M（，），=（0，0），=（，），设平面MBQ的一个法向量为=（x，y，z），由，即，令z=，得=（1，0，），又=（0，0，1）为平面BCQ的一个法向量，=，二面角MBQC为20已知函数（）讨论函数f（x）的单调区间；（）若2xlnx2mx21在1，e恒成立，求m的取值范围【考点】利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题【分析】（）求导函数，对参数a进行讨论，即可确定函数f（x）的单调区间；（）先分离参数，构造函数，确定函数的最大值，即可求得m的取值范围【解答】解：（）求导函数，可得当a0时，x（0，a），f（x）0，f（x）单调递减，x（a，+），f（x）0，f（x）单调递增当a0时，x（0，+），f（x）0，f（x）单调递增 （）2xlnx2mx21，得到令函数，求导数，可得a=1时，x（0，1），f（x）0，f（x）单调递减，x（1，+），f（x）0，f（x）单调递增f（x）f（1）=1，即，0g（x）在x（0，+），g（x）0，g（x）单调递减，函数在1，e上的最大值为在1，e上，若恒成立，则21已知椭圆C： +=1（ab0）的离心率为，左、右焦点分别是F1，F2，点P为椭圆C上任意一点，且PF1F2面积最大值为（1）求椭圆C的方程；（2）过F2作垂直于x轴的直线l交椭圆于A、B两点（点A在第一象限），M、N是椭圆上位于直线l两侧的动点，若MAB=NAB，求证：直线MN的斜率为定值【考点】椭圆的简单性质【分析】（1）根据条件便可得到关于a，b的方程组：，可解出a，b，从而可得出椭圆的方程为；（2）根据条件可得A的坐标为，可设直线MN的方程为y=kx+m，联立椭圆的方程便可得到（4k2+3）x2+8kmx+4m212=0，可设M（x1，y1），N（x2，y2），由韦达定理便可得到，而根据条件可得到kAM+kAN=0，这样便可得出关于k，m的式子，并可整理成（2k1）（2m+2k3）=0，从而得出直线MN的斜率为定值【解答】解：（1）椭圆的离心率为；即；PF1F2面积的最大值为，即；（a2b2）b2=3；联立解得a2=4，b2=3；椭圆C的方程为；（2），设直线MN的方程为：y=kx+m，联立椭圆方程可得：（4k2+3）x2+8kmx+4m212=0；设M（x1，y1），N（x2，y2），则：；由MAB=NAB知，kAM+kAN=0；即；=；化简得，（2k1）（2m+2k3）=0；为定值22已知函数f（x）=ln（1+ax）（a0）（1）当a=时，求f（x）的极值；（2）若a（，1），f（x）存在两个极值点x1，x2，试比较f（x1）+f（x2）与f（0）的大小（3）求证en!（n2，nN）【考点】利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用【分析】（1）求出函数的定义域，求出导数，求得单调区间，即可得到极值；（2）求出导数，求得极值点，再求极值之和，构造当0t1时，g（t）=2lnt+2，运用导数，判断单调性，即可得到结论；（3）当0t1时，g（t）=2lnt+20恒成立，即lnt+10恒成立，设t=（n2，nN），即ln+n10，即有n1lnn，运用累加法和等差数列的求和公式及对数的运算性质，即可得证【解答】解：（1）f（x）=ln（1+x），定义域解得x2，f（x）=，即有（2，2）递减，（2，+）递增，故f（x）的极小值为f（2）=ln21，没有极大值（2）f（x）=ln（1+ax）（a0），x，f（x）=由于a1，则a（1a）（0，），ax24（1a）=0，解得x=，f（x1）+f（x2）=ln1+2+ln12即f（x1）+f（x2）=ln（12a）2+ =ln（12a）2+2 设t=2a1，当a1，0t1，则设f（x1）+f（x2）=g（t）=lnt2+2，当0t1时，g（t）=2lnt+2，g（t）=0g（t）在0t1上递减，g（t）g（1）=0，即f（x1）+f（x2）f（0）=0恒成立，综上述f（x1）+f（x2）f（0）；（3）证明：当0t1时，g（t）=2lnt+20恒成立，即lnt+10恒成立，设t=（n2，nN），即ln+n10，即有n1lnn，即有1ln2，2ln3，3ln4，n1lnn，即有1+2+3+（n1）ln2+ln3+ln4+lnn=ln（234n）=ln（n!），则ln（n!），故en!（n2，nN）xx1月15日