雅安中学2016届九年级上10月月考数学试卷含答案解析.doc

2016届四川省雅安中学九年级上学期10月月考数学 试卷一、选择题：1下列命题中的真命题是（）A三个角相等的四边形是矩形B对角线互相垂直且相等的四边形是正方形C顺次连接矩形四边中点得到的四边形是菱形D正五边形既是轴对称图形又是中心对称图形2如图，点F是ABCD的边CD上一点，直线BF交AD的延长线与点E，则下列结论错误的是（）ABCD3如图，在菱形ABCD中，M，N分别在AB，CD上，且AM=CN，MN与AC交于点O，连接BO若DAC=28，则OBC的度数为（）A28B52C62D724用配方法解下列方程时，配方错误的是（）Ax2+2x99=0化为（x+1）2=100BCx2+8x+9=0化为（x+4）2=25D5设a，b是方程x2+x2009=0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（）A2006B2007C2008D20096如图，在ABC 中，C=90，BC=6，D，E 分别在 AB、AC上，将ABC沿DE折叠，使点A落在点A处，若A为CE的中点，则折痕DE的长为（）AB2C3D47如图，菱形ABCD的对角线AC=4cm，把它沿着对角线AC方向平移1cm得到菱形EFGH，则图中阴影部分图形的面积与四边形EMCN的面积之比为（）A4：3B3：2C14：9D17：98如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1、S2，则S1+S2的值为（）A16B17C18D199关于未知数x的方程ax2+4x1=0只有正实数根，则a的取值范围为（）A4a0B4a0C4a0D4a010若2a=3b=4c，且abc0，则的值是（）A2B2C3D311如图，OAB与OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为1：2，OCD=90，CO=CD若B（1，0），则点C的坐标为（）A（1，2）B（1，1）C（，）D（2，1）12如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD、AD上的点，且CE=DF，AE、BF相交于点O，下列结论：（1）AE=BF；（2）AEBF；（3）AO=OE；（4）SAOB=S四边形DEOF中正确的有（）A4个B3个C2个D1个二、填空题：13如图，已知点C是线段AB的黄金分割点，且BCAC若S1表示以BC为边的正方形面积，S2表示长为AB、宽为AC的矩形面积，则S1与S2的大小关系为14要组织一场篮球比赛，每两支队伍之间比赛一场，计划安排21场比赛，则参赛球队的个数是15某商场销售一批服装，平均每天可售出20件，每件盈利40元为扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施经调查发现，每件衣服降价1元，商场平均每天可多售出2件若商场平均每天要通过销售这种衣服获利1200元，每件衣服要降价多少元？设每件衣服降价x元，可列方程16已知x，y均为实数，且满足关系式x22x6=0，y22y6=0，则=17如图，在边长为4的菱形ABCD中，点E在边CD上，点F为BE延长线与AD延长线的交点若DE=1，则DF的长为18如图，在边长为2的菱形ABCD中，A=60，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将AMN沿MN所在直线翻折得到AMN，连接AC，则AC长度的最小值是三、解答题：（共66分）19解方程（若题目有要求，请按要求解答）（1）用配方法解方程x2+4x1=0（2）2x2+3x2=0（3）解关于x的方程2ax2+（a4）x2=020如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边AB、CD上的点，AE=CF，连接EF、BF，EF与对角线AC交于点O，且BE=BF，BEF=2BAC（1）求证：OE=OF；（2）若BC=2，求AB的长21随着经济的发展，尹进所在的公司每年都在元月一次性的提高员工当年的月工资尹进2008年的月工资为2000元，在2010年时他的月工资增加到2420元，他2011年的月工资按2008到2010年的月工资的平均增长率继续增长（1）尹进2011年的月工资为多少？（2）尹进看了甲、乙两种工具书的单价，认为用自己2011年6月份的月工资刚好购买若干本甲种工具书和一些乙种工具书，当他拿着选定的这些工具书去付书款时，发现自己计算书款时把这两种工具书的单价弄对换了，故实际付款比2011年6月份的月工资少了242元，于是他用这242元又购买了甲、乙两种工具书各一本，并把购买的这两种工具书全部捐献给西部山区的学校请问，尹进总共捐献了多少本工具书？22（10分）（2015崇左）一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC=120mm，高AD=80mm，把它加工成正方形零件如图1，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上（1）求证：AEFABC；（2）求这个正方形零件的边长；（3）如果把它加工成矩形零件如图2，问这个矩形的最大面积是多少？23（10分）（2015秋雅安校级月考）已知关于x的方程x2（m2）x=0（1）求证：无论m为何值，方程总有两个不相等实数根（2）设方程的两实数根为x1，x2，且满足|x1|=|x2|+2，求m的值和相应的x1，x224（12分）（2002河北）如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm点P沿AB边从点A开始向点B以2cm/s的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1 cm/s的速度移动如果P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间（0t6）那么：（1）当t为何值时，QAP为等腰直角三角形？（2）求四边形QAPC的面积，提出一个与计算结果有关的结论；（3）当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与ABC相似？参考答案一、选择题：1下列命题中的真命题是（）A三个角相等的四边形是矩形B对角线互相垂直且相等的四边形是正方形C顺次连接矩形四边中点得到的四边形是菱形D正五边形既是轴对称图形又是中心对称图形【考点】命题与定理【分析】根据矩形、菱形、正方形的判定以及正五边形的性质得出答案即可【解答】解：A、根据四个角相等的四边形是矩形，故此命题是假命题，故此选项错误；B、根据对角线互相垂直、互相平分且相等的四边形是正方形，故此命题是假命题，故此选项错误；C、顺次连接矩形四边中点得到的四边形是菱形，故此命题是真命题，故此选项正确；D、正五边形是轴对称图形不是中心对称图形，故此命题是假命题，故此选项错误故选：C【点评】此题主要考查了矩形、菱形、正方形的判定以及正五边形的性质等知识，熟练掌握相关定理是解题关键2如图，点F是ABCD的边CD上一点，直线BF交AD的延长线与点E，则下列结论错误的是（）ABCD【考点】平行线分线段成比例；平行四边形的性质【分析】由四边形ABCD是平行四边形，可得CDAB，ADBC，CD=AB，AD=BC，然后平行线分线段成比例定理，对各项进行分析即可求得答案【解答】解：四边形ABCD是平行四边形，CDAB，ADBC，CD=AB，AD=BC，故A正确；，故B正确；，故C错误；，故D正确故选C【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，找准对应关系，避免错选其他答案3如图，在菱形ABCD中，M，N分别在AB，CD上，且AM=CN，MN与AC交于点O，连接BO若DAC=28，则OBC的度数为（）A28B52C62D72【考点】菱形的性质；全等三角形的判定与性质【分析】根据菱形的性质以及AM=CN，利用ASA可得AMOCNO，可得AO=CO，然后可得BOAC，继而可求得OBC的度数【解答】解：四边形ABCD为菱形，ABCD，AB=BC，MAO=NCO，AMO=CNO，在AMO和CNO中，AMOCNO（ASA），AO=CO，AB=BC，BOAC，BOC=90，DAC=28，BCA=DAC=28，OBC=9028=62故选：C【点评】本题考查了菱形的性质和全等三角形的判定和性质，注意掌握菱形对边平行以及对角线相互垂直的性质4用配方法解下列方程时，配方错误的是（）Ax2+2x99=0化为（x+1）2=100BCx2+8x+9=0化为（x+4）2=25D【考点】解一元二次方程-配方法【专题】配方法【分析】配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方【解答】解：A、由原方程，得x2+2x=99，等式的两边同时加上一次项系数2的一半的平方1，得（x+1）2=100；故本选项正确；B、由原方程，得m27m=4，等式的两边同时加上一次项系数7的一半的平方，得；故本选项正确；C、由原方程，得x2+8x=9，等式的两边同时加上一次项系数8的一半的平方16，得（x+4）2=7；故本选项错误；D、由原方程，得3x24x=2，化二次项系数为1，得x2x=等式的两边同时加上一次项系数的一半的平方，得；故本选项正确故选C【点评】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数5设a，b是方程x2+x2009=0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（）A2006B2007C2008D2009【考点】根与系数的关系；一元二次方程的解【专题】压轴题【分析】由于a2+2a+b=（a2+a）+（a+b），故根据方程的解的意义，求得（a2+a）的值，由根与系数的关系得到（a+b）的值，即可求解【解答】解：a是方程x2+x2009=0的根，a2+a=2009；由根与系数的关系得：a+b=1，a2+2a+b=（a2+a）+（a+b）=20091=2008故选：C【点评】本题综合考查了一元二次方程的解的定义及根与系数的关系，要正确解答本题还要能对代数式进行恒等变形6如图，在ABC 中，C=90，BC=6，D，E 分别在 AB、AC上，将ABC沿DE折叠，使点A落在点A处，若A为CE的中点，则折痕DE的长为（）AB2C3D4【考点】相似三角形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）【专题】计算题【分析】ABC沿DE折叠，使点A落在点A处，可得DEA=DEA=90，AE=AE，所以，ACBAED，A为CE的中点，所以，可运用相似三角形的性质求得【解答】解：ABC沿DE折叠，使点A落在点A处，DEA=DEA=90，AE=AE，DEBCACBAED，又A为CE的中点，AE=AE=AC=AC，即，ED=2故选：B【点评】本题考查了翻折变换和相似三角形的判定与性质，翻折变换后的图形全等及两三角形相似，各边之比就是相似比7如图，菱形ABCD的对角线AC=4cm，把它沿着对角线AC方向平移1cm得到菱形EFGH，则图中阴影部分图形的面积与四边形EMCN的面积之比为（）A4：3B3：2C14：9D17：9【考点】菱形的性质；平移的性质【专题】计算题；压轴题【分析】首先得出MECDAC，则=，进而得出=，即可得出答案【解答】解：MEAD，MECDAC，=，菱形ABCD的对角线AC=4cm，把它沿着对角线AC方向平移1cm得到菱形EFGH，AE=1cm，EC=3cm，=，=，图中阴影部分图形的面积与四边形EMCN的面积之比为： =故选：C【点评】此题主要考查了菱形的性质以及相似三角形的判定与性质，得出=是解题关键8如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1、S2，则S1+S2的值为（）A16B17C18D19【考点】勾股定理【分析】由图可得，S2的边长为3，由AC=BC，BC=CE=CD，可得AC=2CD，CD=2，EC=2；然后，分别算出S1、S2的面积，即可解答【解答】解：如图，设正方形S1的边长为x，ABC和CDE都为等腰直角三角形，AB=BC，DE=DC，ABC=D=90，sinCAB=sin45=，即AC=BC，同理可得：BC=CE=CD，AC=BC=2CD，又AD=AC+CD=6，CD=2，EC2=22+22，即EC=2；S1的面积为EC2=22=8；MAO=MOA=45，AM=MO，MO=MN，AM=MN，M为AN的中点，S2的边长为3，S2的面积为33=9，S1+S2=8+9=17故选B【点评】本题考查了勾股定理，要充分利用正方形的性质，找到相等的量，再结合三角函数进行解答9关于未知数x的方程ax2+4x1=0只有正实数根，则a的取值范围为（）A4a0B4a0C4a0D4a0【考点】根与系数的关系；一元二次方程的定义；根的判别式【分析】当a=0时，方程是一元一次方程，方程的根可以求出，即可作出判断；当a0时，方程是一元二次方程，只有正实数根，则应满足：0，x1+x20，x1x20，建立关于a的不等式，求得a的取值范围即可【解答】解：当a=0时，方程是一元一次方程，方程是4x1=0，解得x=，是正根；当a0时，方程是一元二次方程a=a，b=4，c=1，=16+4a0，x1+x2=0，x1x2=0解得：4a0总之：4a0故选：A【点评】注意本题分a=0与a0两种情况讨论是解决本题的关键并且利用了一元二次方程若只有正实数根的条件，则应有0，两根之积大于0，两根之和大于0求解10若2a=3b=4c，且abc0，则的值是（）A2B2C3D3【考点】比例的性质【分析】根据2、3、4的最小公倍数是12，设2a=3b=4c=12k（k0），然后表示出a、b、c，再代入比例式进行计算即可得解【解答】解：设2a=3b=4c=12k（k0），则a=6k，b=4k，c=3k，所以， =2故选：B【点评】本题考查了比例的性质，利用k表示出a、b、c可以使计算更加简便11如图，OAB与OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为1：2，OCD=90，CO=CD若B（1，0），则点C的坐标为（）A（1，2）B（1，1）C（，）D（2，1）【考点】位似变换；坐标与图形性质【分析】首先利用等腰直角三角形的性质得出A点坐标，再利用位似是特殊的相似，若两个图形ABC和ABC以原点为位似中心，相似比是k，ABC上一点的坐标是（x，y），则在ABC中，它的对应点的坐标是（kx，ky）或（kx，ky），进而求出即可【解答】解：OAB=OCD=90，AO=AB，CO=CD，等腰RtOAB与等腰RtOCD是位似图形，点B的坐标为（1，0），BO=1，则AO=AB=，A（，），等腰RtOAB与等腰RtOCD是位似图形，O为位似中心，相似比为1：2，点C的坐标为：（1，1）故选：B【点评】此题主要考查了位似变换的性质，正确理解位似与相似的关系，记忆关于原点位似的两个图形对应点坐标之间的关系是解题的关键12如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD、AD上的点，且CE=DF，AE、BF相交于点O，下列结论：（1）AE=BF；（2）AEBF；（3）AO=OE；（4）SAOB=S四边形DEOF中正确的有（）A4个B3个C2个D1个【考点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质【专题】压轴题【分析】根据正方形的性质得AB=AD=DC，BAD=D=90，则由CE=DF易得AF=DE，根据“SAS”可判断ABFDAE，所以AE=BF；根据全等的性质得ABF=EAD，利用EAD+EAB=90得到ABF+EAB=90，则AEBF；连结BE，BEBC，BABE，而BOAE，根据垂直平分线的性质得到OAOE；最后根据ABFDAE得SABF=SDAE，则SABFSAOF=SDAESAOF，即SAOB=S四边形DEOF【解答】解：四边形ABCD为正方形，AB=AD=DC，BAD=D=90，而CE=DF，AF=DE，在ABF和DAE中，ABFDAE，AE=BF，所以（1）正确；ABF=EAD，而EAD+EAB=90，ABF+EAB=90，AOB=90，AEBF，所以（2）正确；连结BE，BEBC，BABE，而BOAE，OAOE，所以（3）错误；ABFDAE，SABF=SDAE，SABFSAOF=SDAESAOF，SAOB=S四边形DEOF，所以（4）正确故选：B【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等也考查了正方形的性质二、填空题：13如图，已知点C是线段AB的黄金分割点，且BCAC若S1表示以BC为边的正方形面积，S2表示长为AB、宽为AC的矩形面积，则S1与S2的大小关系为【考点】黄金分割【分析】根据黄金分割的定义得到BC2=ACAB，再利用正方形和矩形的面积公式有S1=BC2，S2=ACAB，即可得到S1=S2【解答】解：C是线段AB的黄金分割点，且BCAC，BC2=ACAB，又S1表示以BC为边的正方形面积，S2表示长为AB、宽为AC的矩形面积，S1=BC2，S2=ACAB，S1=S2故答案为S1=S2【点评】本题考查了黄金分割的定义：一个点把一条线段分成较长线段和较短线段，并且较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，那么就说这个点把这条线段黄金分割，这个点叫这条线段的黄金分割点14要组织一场篮球比赛，每两支队伍之间比赛一场，计划安排21场比赛，则参赛球队的个数是【考点】一元二次方程的应用【分析】赛制为单循环形式（2015秋雅安校级月考）某商场销售一批服装，平均每天可售出20件，每件盈利40元为扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施经调查发现，每件衣服降价1元，商场平均每天可多售出2件若商场平均每天要通过销售这种衣服获利1200元，每件衣服要降价多少元？设每件衣服降价x元，可列方程【考点】由实际问题抽象出一元二次方程【专题】销售问题【分析】设每件衣服降价x元，则多售出2x件，根据商场平均每天要通过销售这种衣服获利1200元，列出方程即可【解答】解：设每件衣服降价x元，则多售出2x件，由题意得，（40x）（20+2x）=1200故答案为：（40x）（20+2x）=1200【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是根据题意设出未知数，找出合适的等量关系，列方程16已知x，y均为实数，且满足关系式x22x6=0，y22y6=0，则=【考点】根与系数的关系；一元二次方程的解【专题】分类讨论【分析】当x=y时，容易求解；当xy时，由关系式x22x6=0，y22y6=0，可知x、y是z22z6=0的两根，由根与系数的关系，求出x+y与xy的值，再根据=，代入即可求值【解答】解：当xy时，x、y满足关系式x22x6=0，y22y6=0，x、y是z22z6=0的两根，x+y=2，xy=6，=当x，y的值相等时，原式=2故答案为：或2【点评】本题容易忽视的情况是x，y可能是同一个值这一个情况17如图，在边长为4的菱形ABCD中，点E在边CD上，点F为BE延长线与AD延长线的交点若DE=1，则DF的长为【考点】菱形的性质；相似三角形的判定与性质【分析】求出EC，根据菱形的性质得出ADBC，得出相似三角形，根据相似三角形的性质得出比例式，代入求出即可【解答】解：DE=1，DC=4，EC=41=3，四边形ABCD是菱形，ADBC，DEFCEB，=，=，DF=故答案为：【点评】本题考查了菱形的性质，相似三角形的性质和判定的应用，掌握菱形的性质和相似三角形的判定是解决问题的关键18如图，在边长为2的菱形ABCD中，A=60，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将AMN沿MN所在直线翻折得到AMN，连接AC，则AC长度的最小值是【考点】菱形的性质；翻折变换（折叠问题）【分析】根据题意，在N的运动过程中A在以M为圆心、AD为直径的圆上的弧AD上运动，当AC取最小值时，由两点之间线段最短知此时M、A、C三点共线，得出A的位置，进而利用锐角三角函数关系求出AC的长即可【解答】解：如图所示：MA是定值，AC长度取最小值时，即A在MC上时，过点M作MFDC于点F，在边长为2的菱形ABCD中，A=60，M为AD中点，2MD=AD=CD=2，FDM=60，FMD=30，FD=MD=，FM=DMcos30=，MC=，AC=MCMA=1故答案为：1【点评】此题主要考查了菱形的性质以及锐角三角函数关系等知识，得出A点位置是解题关键三、解答题：（共66分）19解方程（若题目有要求，请按要求解答）（1）用配方法解方程x2+4x1=0（2）2x2+3x2=0（3）解关于x的方程2ax2+（a4）x2=0【考点】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-配方法【分析】（1）首先把1移到等号右边，然后再两边同时加上4，把左边配方，然后再直接开平方解方程即可；（2）首先确定a、b、c的值，计算出，再利用求根公式x=进行计算；（3）首先利用因式分解法把左边分解因式可得（2x+1）（ax2）=0，进而可得2x+1=0，ax2=0，再解即可【解答】解：（1）x2+4x1=0，x2+4x=1，x2+4x+4=1+4，（x+2）2=5，x+2=，则x+2=，x+2=，故x1=2，x2=2；（2）2x2+3x2=0，a=2，b=3，c=2，=b24ac=9+16=25，x=，故x1=2，x2=（3）2ax2+（a4）x2=0（2x+1）（ax2）=0，则2x+1=0，ax2=0，故x1=，x2=【点评】此题主要考查了一元二次方程的解法，解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法20如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边AB、CD上的点，AE=CF，连接EF、BF，EF与对角线AC交于点O，且BE=BF，BEF=2BAC（1）求证：OE=OF；（2）若BC=2，求AB的长【考点】矩形的性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；含30度角的直角三角形【分析】（1）根据矩形的对边平行可得ABCD，再根据两直线平行，内错角相等求出BAC=FCO，然后利用“角角边”证明AOE和COF全等，再根据全等三角形的即可得证；（2）连接OB，根据等腰三角形三线合一的性质可得BOEF，再根据矩形的性质可得OA=OB，根据等边对等角的性质可得BAC=ABO，再根据三角形的内角和定理列式求出ABO=30，即BAC=30，根据直角三角形30角所对的直角边等于斜边的一半求出AC，再利用勾股定理列式计算即可求出AB【解答】（1）证明：在矩形ABCD中，ABCD，BAC=FCO，在AOE和COF中，AOECOF（AAS），OE=OF；（2）解：如图，连接OB，BE=BF，OE=OF，BOEF，在RtBEO中，BEF+ABO=90，由直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半可知：OA=OB=OC，BAC=ABO，又BEF=2BAC，即2BAC+BAC=90，解得BAC=30，BC=2，AC=2BC=4，AB=6【点评】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，直角三角形30角所对的直角边等于斜边的一半，综合题，但难度不大，（2）作辅助线并求出BAC=30是解题的关键21随着经济的发展，尹进所在的公司每年都在元月一次性的提高员工当年的月工资尹进2008年的月工资为2000元，在2010年时他的月工资增加到2420元，他2011年的月工资按2008到2010年的月工资的平均增长率继续增长（1）尹进2011年的月工资为多少？（2）尹进看了甲、乙两种工具书的单价，认为用自己2011年6月份的月工资刚好购买若干本甲种工具书和一些乙种工具书，当他拿着选定的这些工具书去付书款时，发现自己计算书款时把这两种工具书的单价弄对换了，故实际付款比2011年6月份的月工资少了242元，于是他用这242元又购买了甲、乙两种工具书各一本，并把购买的这两种工具书全部捐献给西部山区的学校请问，尹进总共捐献了多少本工具书？【考点】一元二次方程的应用；解三元一次方程组【专题】应用题【分析】（1）设2008至2010年的年平均增长率为x，得到2000（1+x）2=2420，求出x，然后计算2420（1+x）得到尹进2011年的月工资（2）可设甲工具书单价为m元，第一次选购y本设乙工具书单价为n元，第一次选购z本根据等量关系：用242元购买了甲、乙两种工具书各一本；实际付款比2011年6月份的月工资少了242元；2011年6月份的月工资刚好购买若干本甲种工具书和一些乙种工具书列出方程组求解即可【解答】解：（1）设2008至2010年的年平均增长率为x，依题意列方程：2000（1+x）2=2420，（1+x）2=1.21，1+x=1.1，解得：x1=10%，x2=210%增产率不能是负数，210%要舍去尹进2011年的月工资为：2420（1+10%）=2662元故尹进2011年的月工资为2662元；（2）设甲工具书单价为m元，第一次选购y本设乙工具书单价为n元，第一次选购z本则由题意，可列方程：由+，整理得，（m+n）（y+z）=22662242，把代入得，242（y+z）=22662242，y+z=221=2121+2=23本答：尹进捐出的这两种工具书总共有23本【点评】本题考查的是一元二次方程的应用，先列方程求出2008至2010年的增长率，然后利用这个增长率进行计算求出2011年的利用收入同时考查了解三元一次方程组，注意找准等量关系，及整体思想的应用22（10分）（2015崇左）一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC=120mm，高AD=80mm，把它加工成正方形零件如图1，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上（1）求证：AEFABC；（2）求这个正方形零件的边长；（3）如果把它加工成矩形零件如图2，问这个矩形的最大面积是多少？【考点】相似三角形的应用；二次函数的应用【专题】压轴题【分析】（1）根据矩形的对边平行得到BCEF，利用“平行于三角形的一边的直线截其他两边或其他两边的延长线，得到的三角形与原三角形相似”判定即可（2）根据正方形边的平行关系，得出对应的相似三角形，即AEFABC，BFGBAD，从而得出边长之比，得到，进而求出正方形的边长；（3）分别讨论长方形的长和宽在BC上的情况，再根据相应得关系式得出所求【解答】解：（1）四边形EGFH为矩形，BCEF，AEFABC；（2）设正方形零件的边长为a在正方形EFGH中，EFBC，EGADAEFABC，BEGBAD，即：解得：a=48即：正方形零件的边长为48；（3）设长方形的长为x，宽为y，当长方形的长在BC时，由（1）知：，当，即x=60，y=40，xy最大为2400当长方形的宽在BC时，当，即x=40，y=60，xy最大为2400，又xy，所以长方形的宽在BC时，面积2400综上，长方形的面积最大为2400【点评】本题考查了正方形以及矩形的性质，结合了平行线的比例关系求解，注意数形结合的运用23（10分）（2015秋雅安校级月考）已知关于x的方程x2（m2）x=0（1）求证：无论m为何值，方程总有两个不相等实数根（2）设方程的两实数根为x1，x2，且满足|x1|=|x2|+2，求m的值和相应的x1，x2【考点】根的判别式；根与系数的关系【分析】（1）根据根的判别式求出的值，再进行判断即可；（2）由x1x2=0，得到x1，x2异号，设x20，根据根与系数的关系得到m=4，然后解方程x22x4=0即可得到结果【解答】解：（1）=（m2）24（）=2m24m+4=2（m1）2+20，方程总有两个不相等的实数根；（2）x1x2=0，x1，x2异号，设x20，|x1|=|x2|+2，x1+x2=2，m2=2，解得：m=4，原方程可化为x22x4=0解得：x1=，x2=【点评】该题主要考查了一元二次方程根的判别式及根与系数的关系及其应用问题；解题的关键是灵活运用有关定理来分析、判断、求解或证明24（12分）（2002河北）如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm点P沿AB边从点A开始向点B以2cm/s的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1 cm/s的速度移动如果P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间（0t6）那么：（1）当t为何值时，QAP为等腰直角三角形？（2）求四边形QAPC的面积，提出一个与计算结果有关的结论；（3）当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与ABC相似？【考点】一元一次方程的应用；等腰三角形的判定；相似三角形的性质【专题】几何图形问题；综合题；压轴题；分类讨论【分析】（1）根据题意分析可得：因为对于任何时刻t，AP=2t，DQ=t，QA=6t当QA=AP时，QAP为等腰直角三角形，可得方程式，解可得答案；（2）根据（1）中在QAC中，QA=6t，QA边上的高DC=12，由三角形的面积公式可得关系式，计算可得在P、Q两点移动的过程中，四边形QAPC的面积始终保持不变；（3）根据题意，在矩形ABCD中，可分为=、=两种情况来研究，列出关系式，代入数据可得答案【解答】解：（1）对于任何时刻t，AP=2t，DQ=t，QA=6t当QA=AP时，QAP为等腰直角三角形，即：6t=2t，解得：t=2（s），所以，当t=2s时，QAP为等腰直角三角形（2）在QAC中，QA=6t，QA边上的高DC=12，SQAC=QADC=（6t）12=366t在APC中，AP=2t，BC=6，SAPC=APBC=2t6=6tS四边形QAPC=SQAC+SAPC=（366t）+6t=36（cm2）由计算结果发现：在P、Q两点移动的过程中，四边形QAPC的面积始终保持不变（也可提出：P、Q两点到对角线AC的距离之和保持不变）（3）根据题意，可分为两种情况来研究，在矩形ABCD中：当=时，QAPABC，那么有：=，解得t=1.2（s），即当t=1.2s时，QAPABC；当=时，PAQABC，那么有：=，解得t=3（s），即当t=3s时，PAQABC；所以，当t=1.2s或3s时，以点Q、A、P为顶点的三角形与ABC相似【点评】此题比较复杂，综合了等腰三角形、相似三角形的判定定理与性质，是一道具有一定综合性的好题