高等数学(第三版)1-1函数.ppt

绪 论,一、关于微积分,1.微积分的诞生及发展,微积分诞生在300多年前。16世纪的欧洲处于 资本主义萌芽时期，生产力得到了很大的发展，工 业、交通和战争的需要向自然科学提出了新的研究 课题，迫切需要力学、天文学等基础学科给予解答。 归纳起来，主要是两个基本问题：物理上，一个是,微积分的出现，是由初等数学向高等数学转变的一个具有划时代意义的大事。,已知路程求速度；另一个是已知速度求路程。在 等速运动的情况下，这两个问题可以用初等数学 来解决，但在变速运动的情况下，只用初等数学 就无法解决了。几何上的两个问题是求任意曲线 的切线以及求任意曲线所围成的面积。 许多数学家为解决这两类问题都做出了重要 的贡献。这其中以牛顿和莱布尼兹为杰出代表， 他们在前人工作的基础上，分别从力学和几何学 独立地创造了微积分学。 微积分刚一形成，就在解决实际问题中显示 出强大的威力。例如 ，在天文学中，它能够精确 地计算行星、彗星的运行轨迹和位置。英国天文,学家哈雷就通过这种计算断定1531年、1607年、 1682年出现过的彗星是同一颗彗星，并推测它将 于1759年再次出现，这个预见后来果然被证实。 随后微积分的应用愈来愈广泛，内容也愈来 愈丰富，但在使用的过程中也出现了一些混乱。 这主要是因为当时的微积分并没有确切的数学定 义，它的理论体系还不严密，特别是一些定理的 证明和公式的推导在逻辑上前后矛盾，不好理解， 使人感到可疑，但推出的结论往往又是正确无误 的。这样微积分就具有了一种“神秘性”，微积分 也因此遭到各方面的非议，但是，数学家们并没 有就此止步，在牛顿、莱布尼兹之后，数学家们,一方面继续完善微积分的运算体系和推广它的应 用，一方面澄清它的基本概念，并建立它的科学 体系，到19世纪，经过法国的柯西和德国的维尔 斯特拉斯等人的工作，给出了极限概念的精确定 义，确立了以极限论为基础的微积分体系之后， 才使微积分克服了逻辑上的困难，并使之建立在 严格的理论基础之上，真正成为一门具有完整科 学体系的学科。 微积分是与应用联系着发展起来的，最初牛 顿应用微积分学及微分方程从开普勒行星运动三 大定律导出了万有引力定律。此后，微积分学极大的推动了数学的发展，同时也极大的推动自然,科学、社会科学及应用科学各个分支中的发展。并在这些学科中有越来越广泛的应用。微积分诞生之初的主要背景是物理学和几何学，而今，它几乎为一切领域所运用。 从1665年牛顿创造了流数法到1855年维尔斯特拉斯给出极限的严格定义，经历了190年。如果从我国魏晋时代就有微积分计算方法的萌芽割圆术算起，大约经历了1600多年，若再从阿基米德于公元前3世纪提出“穷竭法”算起，则经历了2000多年。微积分这个漫长的发展史，给我们的重要启示就是：一个新的理论的诞生，需要许多人付出艰辛的劳动，甚至要经过几代人的努力，科学研究的道路从来就是不平坦的。,积分学的作用是使人们能够从物体现在的位置和作用在物体上力的知识计算该物体将来的位置，求平面上不规则区域的面积，度量曲线的长度，以及求任意空间物体的体积和质量,2.微积分的作用,微积分是关于运动和变化的数学。哪里有运动或增长，哪里要用到的数学就是微积分。 微分学的作用是使人们能够定义曲线的斜率，计算运动物体的速度和加速度，求得炮弹能达到其最大射程的发射角，预测何时行星靠得最近或离得最远。,3.如何学好微积分,(1)端正态度是关键态度决定一切,(2)掌握方法很重要预习、复习、做练习,早在几年前,世界经济组织进行了一次全球 青少年阅读能力的调查。 这个组织在调查报告中指出，15岁的青少年 不可能在学校里学习到成年以后所需的一切知识 技能，因此学校教育必须为终生学习奠定稳固的 知识基础，而阅读能力是一个人终生学习的基础 和最大的本钱。 一个经济组织为什么要关注青少年的阅读能 力呢？原来他们在研究国际成人阅读能力时发现 ，阅读能力强的人不但比较容易找到工作，甚至 薪水也比较高。学历高低固然会影响就业机会，,犹太民族饱经磨难，但在智力领域中，却常 能处于优势。在犹太人家里，小孩稍微懂事，母 亲就会翻开圣经，滴一点蜂蜜在上面，然后 叫孩子去吻圣经上的蜂蜜。这仪式的用意是: 书本是甜的。犹太人家庭还有一个世代相传的传 统，那就是书橱要放在床头，要是放在床尾，就 会被认为是对书的不敬。14岁以上的犹太人平均 每月读一本书，为世界之最。,但是当学历相当时，阅读能力强的人担任高技能白领工作的机率就明显高得多，而且阅读能力比学历高低更能准确预测一个人在职场的发展。,二、两个故事 介绍数学家欧拉 1707年4月15日欧拉（Euler,1707-1783）出生于瑞士第二名城巴塞尔，1720年进入巴塞尔大学学习神学、医学和东方语言。由于受到该校著名教授约翰.伯努利及其家族的赏识和影响，欧拉阅读了不少数学家的原著，在数学的广阔天地里纵横弛骋。欧拉17岁就获得了巴塞尔大学的硕士学位，18岁开始发表数学论文，1727年由丹尼尔. 伯努利推荐到彼得堡科学院工作，26岁接替丹尼尔担任彼得堡科学院数学教授，并被选为科学院院士。,欧拉一生的论著数量巨大，涉猎面广，开创性的成果多，共发表论文、著作500多篇（部），以欧拉名字命名数学公式、数学定律、数学量则不胜枚举。如欧拉常数、欧拉恒等式、欧拉级数、欧拉方程、欧拉定理等。他还是一位将数学用于物理学、天文学的典范。他创立了分析力学及刚体力学，是理论流体力学的创始人。 欧拉有坚忍的毅力和勤奋刻苦的拼搏精神。他在28岁时，为计算彗星轨道，奋战三天，因过度劳累，患了眼疾，使右眼失明。,后来他又不顾自己的眼病，毅然回到严寒的彼得堡工作，左眼视力很快衰退，他深知自己的双眼将完全失明，但没有消沉和倒下，抓紧最后的时光，在黑板上疾书他发现的公式，口述其内容，让人笔录。后来，他的双目失明了。不幸的事情接踵而来，1771年彼得堡大火殃及欧拉的住宅，书籍和手稿全部被焚。1776年，与他朝夕相处的爱妻柯黛玲病故。在这些不幸面前，欧拉没有退缩，而是以非凡的毅力，奋斗着、拼搏着。他凭借惊人的记忆力和罕见的心算能力，艰苦卓绝地从事研究，继续让人笔录他的发现，直到生命,关于费马大定理,等。尤其是被誉为相当于数学诺贝尔奖之菲尔兹奖，本来只授予不超过40岁的数学家，这次专门为他颁发了一个特别奖。韦尔斯获此殊荣当之无愧，他攻下了350多年来数学史上最大的难题。,1995年5月权威性的数学年刊刊载 了英国数学家韦尔斯(A.Wiles,1953-)证明费 马大定理的长篇论文。由于这一成就，韦尔,斯几乎囊括了数学界所有的大奖，包括著名 的沃尔夫奖、费马奖、科尔奖、肖克奖，等,费马是法国数学家，自学成才，曾提出并证明过许多数学定理。他提出费马大定理，但并未给出证明，只是一个猜想。还有一个有趣的小插曲：1637年费马在一本拉丁文书算术中的第八个问题旁边空白处写下了这个猜想，接着他写道：“我对此已经有了一个,确实非常奇妙的证明，只是此处空白太小，写不下。”后人曾为此专访费马故居，翻遍他的手稿，始终未发现有关证明。这种轶事流传至今，为费马大定理平添了几分传奇色彩。,中学生都知道直角三角形的勾股（弦）定理：x2+y2=z2,其中x、y、z分别为勾、股、弦的长度。巧妙的是x、y、z可以是整数，例如周髀算经记载的“勾三股四弦五”，即x=3，y=4，z=5，就是一组能满足该式的整数解。古希腊的毕达哥达斯学派对之曾进行过深入的探讨，找到了许多组整数解。他们还考察过：x3+y3=z3,出乎意料，始终无人能找出满足此式的x、y、z之非零整数解。费马考察了一般公式：xn+yn=zn，其中n是大于2的整数。他费尽心机，始终找不到非零整数解，于是提出猜想:,费马大定理虽然简单，证明却难于上青天。许多数学大师包括德国的莱布尼茨和高斯，瑞士的欧拉，法国的勒让徳和柯西都曾试图证明费马大定理，其他数学家以及业余爱好者尝试的更是不计其数，但是统统失败了。曾多次有人宣布证明了费马大定理，仅在1909年至1911年这三年内就提出了一千多篇证明，都因为有人指出证明中有漏洞而被否定了。还有人为此废寝忘食、神魂颠倒，甚至有自杀的。,“xn+yn=zn，对于n大于2的整数，不存在x、y、z之非零整数解。”这就是著名的费马大定理，就这么简单，中学生也看得懂。,韦尔斯十岁时在一本书中接触到费马大定理，马上被迷住了，立志要证明它初生之犊不畏虎!他的数学老师并未认为他年幼无知而一笑置之，而是不断鼓励他、引导他，为他介绍必要的基础知识。,韦尔斯从剑桥大学毕业后，1980年到美国普林斯顿大学做研究，这些年来他从未忘掉求证费马大定理。1986年他下决心攻这个难题，但能否成功，他没有把握。如果心无旁骛专攻费马大定理，不知何时才能发表论文。教授必须经常发表论文，否则就有碍声誉和发展前途。韦尔斯终于想出了两全之计：将自己在其他课题取得的成果写成若干篇论文，留着以后慢慢发表。韦尔斯开始潜心专攻费马大定理，他很快发现问题极为复杂当然！否则早就有人解决了。为了求证费马大定理，不仅要用到最新的数学成果和技巧，而且还需要创造出新的办法。韦尔斯为了避免干扰，闭门谢客，此事除妻子外无人知晓。面壁七载，终于“大功告成”。韦尔斯写出了证明费马大定理的论文，1993年6月21日应邀在剑桥大学的国际数学讨论会上宣读。前一天在电脑网,络中已有传言说韦尔斯的论文可能有关费马大定理，会场上座无虚席，走道上也站满了好奇的学生。韦尔斯的论文宣读持续了三天，黑板上写满一排排公式，擦掉后又写满了，两百多位听众急切地想知道结果到底如何。直到6月23日快结束时，韦尔斯才在黑板上写出了费马大定理，然后转过身来谦逊地说：“我想就到,此为止。”费马大定理终于被证明了！大厅里响起一片掌声，纷纷向韦尔斯祝贺，消息马上传遍全世界。,可惜高兴地太早了，不久就在韦尔斯的证明中发现了漏洞。数学证明中出现漏洞可不是一件小事，证明定理全靠严密的逻辑推理，从前提到结论一步一步环环相扣，不能有一个环节脱扣，否则前功尽弃。对于韦尔斯来说，如果漏洞补不起来，千里长堤溃于一穴，七载艰辛付诸东流。而且将不成熟的论文公开发表也是丢脸的事，韦尔斯这个错误犯大了！但他没有灰心，马上找了,他的一个学生，两人一起着手补救。又是一年多功夫，皇天不负苦心人，漏洞终于补起来了。韦尔斯终算幸运，类似情况下漏洞补不起来的，大有人在。,三、课程简介 高等数学是大学里工科、理科以及一些文科专业的必修课程，是一门数学基础课程。开设本课程的主要目的，一方面是要使学生比较系统地理解数学的基本概念和基本理论，掌握数学的基本方法，从而为学好专业课知识和进一步学习深层次的数学知识打好坚实基础；另一方面是要培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力、运算能力和综合运用所学的知识分析和解决问题的能力。,第一节 函数,第一章 函数与极限,一、基本概念,二、函数概念,三、函数的特性,四、反函数,五、复合函数 初等函数,一、基本概念,1.集合:,具有某种特定性质的事物的全体.,组成集合的事物称为该集合的元素.,有限集,无限集,不含任何元素的集合称为空集.,规定,空集为任何集合的子集.,数集分类:,N-自然数集,Z-整数集,Q-有理数集,R-实数集,数集间的关系:,2.区间:,是指介于某两个实数之间的全体实数.这两个实数叫做区间的端点.,称为开区间,称为闭区间,称为半开区间,称为半开区间,有限区间,无限区间,区间长度的定义:,两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.,3.邻域:,二、函数概念,例 圆内接正多边形的周长,邮件的费用依赖于邮件的重量，邮局公布的费用 表可根据邮件的重量W确定邮件的费用C。,自动纪录仪画出了一天中气温随时间变化的曲线图， 由图形可以找出在一天中的某个时刻t的温度值T。,特征： 两个变量，依赖关系,因变量,自变量,数集D叫做这个函数的定义域,自变量,因变量,对应法则f,函数的两要素:,定义域与对应法则.,思考：当x变化时，面积S与x之间是否为函数关系?,(1) 符号函数,几个特殊的函数举例,(2) 取整函数 y=x x表示不超过 的最大整数,阶梯曲线,例如 1.5=1 -1.5=-2,(3) 狄利克雷函数,o,1函数的有界性:,三、函数的特性,几何意义：由于| f (x)| M M f (x) M.因此, f (x) 在(a, b)内有界. 就表示了的 f (x)图形夹在两平行直线,例 y=sinx, y=cosx在（-,+)上均为有界函数,y = M 之间.,说明:(1)有界函数的界不唯一 (2)有界性与区间有关 例如 在(0,1)上无界 在(1,2)上有界,等价定义:如果存在常数 和 ,使得对任一 ,都有 ,就称 在 上有界,并分 别称 和 为 在 上的一个下界和上界,等价定义:如果存在常数 和 ,使得对任一 ,都有 ,就称 在 上有界,并分 别称 和 为 在 上的一个下界和上界,函数的有界性定义:,邻域:,2函数的单调性:,3函数的奇偶性:,偶函数,奇函数,4函数的周期性:,（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）.,在(无穷)多个正周期中若存在一个最小数，此最小数称为最小正周期。,四、反函数,注: 1. 如果 称为反函数,则y=f(x)称为直接函数.对应规则是一一对应的，定义域和值域互换,2. 习惯上,用x表示自变量,用y表示因变量,函数y=f(x) 的反函数一般写为 , xf(D).,直接函数与反函数的图形关于直线 对称.,3. 反函数图象特点,4. 单调函数必存在反函数,关于反三角函数,由于三角函数都是周期函数,对值域中的任意y值有无穷 多个x值与之对应,因此,在 整个定义域上不存在反函数,但如 果把三角函数的定义域限制在它的一个单调区间上,这样得 到的函数在该区间上是单调的，就存在反函数。,五、复合函数 初等函数,1.复合函数,代入法,注1 不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的;,注2 复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成.,例：指出下列复合函数是由哪些简单函数复合 而成？,分解的原则：分解为基本初等函数或多项式函数 以及它们的和、差、积、商。,练习：指出下列复合函数是由哪些简单函数复合而成？,基本初等函数,1.幂函数,2、初等函数,2.指数函数,3.对数函数,4.三角函数,正弦函数,余弦函数,正切函数,余切函数,正割函数,余割函数,5.反三角函数,幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反三角函数统称为基本初等函数.,定义: 由常数及基本初等函数经过有限次四则 运算及有限次复合运算所构成并可用一个式子 表示的函数，称为初等函数。,例：,不是初等函数,为初等函数,不是初等函数,为初等函数,第一章 小结,基本概念 集合, 区间, 邻域,函数的概念,函数的特性 有界性,单调性,奇偶性,周期性.,反函数,复合函数 初等函数,指出下列复合函数是由哪些简单函数复合而成？,补充作业,