2019-2020年高三下学期第一次模拟考试 数学理 含答案.doc

2019-2020年高三下学期第一次模拟考试 数学理 含答案一、选择题（每小题5分，共50分）1. 设则“”是“复数为纯虚数”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件2. 设P和Q是两个集合，定义集合，如果，那么等于（ ）A. B. C. D. 3. 设函数，曲线在点处的切线方程为，则曲线在点处切线的斜率为（ ）A. 4B. C. 2D. 4. 展开式中的常数项为（ ）A. 1B. 4246C. 4245D. 465. 如图，正四面体ABCD的顶点A，B，C分别在两两垂直的三条射线上，则在下列命题中，错误的为（ ）A. O-ABC是正三棱B. 直线OB平面ACDC. 直线AD与OB所成的角是45D. 二面角D-OB-A为456. 某同学在电脑上进行数学测试，共10道题，答完第n题（n1，2，3，10）电脑都会自动显示前n题的正确率，则下列关系不可能成立的是（ ）A. B. 且C. D. 7. 已知，对以下不等式 ，其中成立的是（ ）A. B. C. D. 8. 已知函数（a、b为常数，）在处取得最小值，则函数是（ ）A. 奇函数且它的图象关于点对称B. 奇函数且它的图象关于点对称C. 偶函数且它的图象关于点对称D. 偶函数且它的图象关于点对称9. 过双曲线的左焦点作圆的切线，切点为E，延长FE交抛物线于点P，O为坐标原点，若，则双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 10. 如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动（说明：“正方形PABC沿x轴滚动”包括沿x轴正方向和沿x轴负方向滚动。沿x轴正方向滚动指的是先以顶点A为中心顺时针旋转，当顶点B落在x轴上时，再以顶点B为中心顺时针旋转，如此继续。类似地，正方形PABC可以沿x轴负方向滚动。向右为顺时针，向左为逆时针）。设顶点p（x，y）的轨迹方程是yf（x），则关于f（x）的最小正周期T及yf（x）在其两个相邻零点间的图像与x轴所围区域的面积S的正确结论是 （ ）A. B. C. D. 二、填空题（每小题5分，共25分）11. 方程的根，则k_。12. 在ABC中，O为中线AM上一个动点，若AM2，则的最小值是_。13. 向平面区域内随机投入一点，则该点落在曲线下方的概率为_。14. 已知数组（）是1，2，3，4，5五个数的一个排列，如数组（1，4，3，5，2）是符合题意的一个排列。规定每一个排列只对应一个数组，且在每个数组中有且仅有一个i使，则所有不同的数组中的各数字之和为_。15. （极坐标与参数方程选讲选做题）已知点，参数，点Q在曲线C：上，则点P与点Q之间距离的最小值为_。（不等式选讲选做题）若不等式，对任意的恒成立，则实数a的取值范围是_。三、解答题16. （12分）已知，其中，若函数，且的对称中心到对称轴的最近距离不小于。（）求的取值范围；（）在ABC中，分别是角A，B，C的对边，且，当取最大值时，求ABC的面积。17. （12分）QQ先生的鱼缸中有7条鱼，其中6条青鱼和1条黑鱼，计划从当天开始，每天中午从该鱼缸中抓出1条鱼（每条鱼被抓到的概率相同）并吃掉。若黑鱼未被抓出，则它每晚要吃掉1条青鱼（规定青鱼不吃鱼）。（1）求这7条鱼中至少有5条被QQ先生吃掉的概率；（2）以表示这7条鱼中被QQ先生吃掉的鱼的条数，求。18. （12分）已知长方体中，棱，棱，连接，过B点作的垂线交于E，交于F。（1）求证：平面EBD；（2）求点A到平面的距离；（3）求平面与直线DE所成角的正弦值。19. （12分）数列的通项，其前n项和为。（1）求；（2），求数列的前n项和。20. （13分）设椭圆的左右焦点分别为，下顶点为A，线段OA的中点为B（O为原点），如图，若抛物线与y轴的交点为B，且经过点。（1）求椭圆的方程；（2）设，N为抛物线C2上的一动点，过点N作抛物线的切线交椭圆与P，Q两点，求MPQ面积的最大值。21. （14分）已知函数，当时，函数取得极大值。（）求实数m的值；（）已知结论：若函数在区间内导数都存在，且，则存在，使得。试用这个结论证明：若，函数，则对任意，都有；（）已知正数，满足，求证：当时，对任意大于1，且互不相等的实数，都有 三、解答题16. 解：（）（2分）函数的周期，由题意知，即，又。故的取值范围是（6分）（）由（）知的最大值为1，。，。而。（9分）由余弦定理可知：，又。联立解得：。（12分）17. 解：（1）QQ先生能吃到的鱼的条数可取4，5，6，7，最坏的情况是只能吃到4条鱼：前3天各吃掉1条青鱼，其余3条青鱼被黑鱼吃掉，第4天QQ先生吃掉黑鱼，其概率为故QQ先生至少吃掉5条鱼的概率是。（2）与（1）相仿地可得，（6分）故，故所求期望值为5。（12分）18. 解：（1）证：以A为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，那么A（0，0，0）、B（1，0，0）、C（1，1，0）、D（0，1，0）、（0，0，2）、（1，0，2）、（1，1，2）、（0，1，2），设，则： 0，又平面EBD。（4分）（2）连接到平面的距离，即三棱锥的高，设为h，由得：，点A到平面的距离是。（8分）（3）连接DF，平面是DE在平面上的射影，EDF是DE与平面所成的角，设，那么 由、得，在RtFDE中，。sinEDF，因此，DE与平面所成的角的正弦值是。（几何方法略）（12分）19. 解：（1）由于，故，故 （6分）（2），两式相减得，故。（12分）20. （）解：由题意可知B（0，1），则A（0，2），故。令得即，则，故。所以，于是椭圆C1的方程为：（）设，由知直线PQ的方程为：。即。代入椭圆方程整理得：，故设点M到直线PQ的距离为d，则所以，MPQ的面积当时取到“”，经检验此时，满足题意。综上所知，MPQ的面积的最大值为。21. 解：（）。由，得，此时。当时，函数在区间（1，0）上单调递增；当时，函数在区间上单调递减。函数在处取得极大值，故（）令，则。函数在上可导，存在，使得。又当时，单调递增，；当时，单调递减，；故对任意，都有（）用数学归纳法证明。当时，且，由（）得，即，当时，结论成立假设当时结论成立，即当时，。当时，设正数，满足，令，则，且。当时，结论也成立。综上由，对任意，结论恒成立。