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2019/12/3,作者：郭健,4.7 导数在经济中的应用,一. 边际分析与弹性分析 二.函数最值在经济中的应用,2019/12/3,作者：郭健,4.7 导数在经济中的应用,导数在工程、技术、科研、国防、医学、环保和经济 管理等许多领域都有十分广泛的应用. 下面介绍导数(或 微分)在经济中的一些简单的应用.,边际和弹性是经济学中的两个重要概念. 用导数来研究经济变量的边际与弹性的方法, 称之为边际分析与弹性分析.,一. 边际分析与弹性分析,2019/12/3,作者：郭健,1.边际函数,定义1 经济学中, 把函数(x)的导函数 称为(x) 的边际函数. 在点x0的值 称为(x)在 x0 处的边际值 (或变化率、变化速度等).,2019/12/3,作者：郭健,在经济学中, 通常取x =1, 就认为x达到很小(再小无意义). 故有,实际问题中, 略去“近似”二字, 就得(x) 在 x0 处的 边际值 .,经济意义: 即当自变量 x 在 x0 的基础上再增加一个单位时, 函数 f(x) 的改变量.,例1 某机械厂, 生产某种机器配件的最大生产能力为每 日100件, 假设日产品的总成本 C(元)与日产量 x (件)的 函数为,2019/12/3,作者：郭健,求: (1)日产量75件时的总成本和平均成本;,解 (1)日产量75件时的总成本和平均成本,(2)当日产量由75件提高到90件时, 总成本的平均改变量,C(75)/75 = 106.08 (元/件),(2)当日产量由75件提高到90件时, 总成本的平均改变量;,(3)当日产量为75件时的边际成本.,C(75) = 7956.25(元),2019/12/3,作者：郭健,(3) 当日产量为75件时的边际成本,注 当销售量为x, 总利润为L=L(x)时, 称 为销售量 为x时的边际利润, 它近似等于销售量为 x 时再多销售一 个单位产品所增加或减少的利润.,例2 某糕点加工厂生产A 类糕点的总成本函数和总收 入函数分别是,求边际利润函数和当日产量分别是200公斤, 250公斤 和300公斤时的边际利润. 并说明其经济意义.,2019/12/3,作者：郭健,解 (1)总利润函数为L(x) = R(x) C(x),边际利润函数为,(2)当日产量分别是200公斤、250公斤和300公斤时的,其经济意义: 当日产量为 200公斤时, 再增加1公斤, 则总利润可增加1元. 当日产量为 250公斤时, 再增加1,边际利润分别是,公斤, 则总利润无增加. 当日产量为300公斤时, 再增加 1公斤, 则反而亏损1元.,2019/12/3,作者：郭健,结论: 当企业的某一产品的生产量超越了边际利润的,2.弹性,弹性是用来描述一个经济变量对另一个经济变量变化时, 所作出反映的强弱程度. 即弹性是用来描述一个量对另一个量的相对变化率的一个量.,2019/12/3,作者：郭健,定义2 若函数 y =(x)在点 x0 0 的某邻域内有定义,分别为自变量 x 与 (x) 在点 x0 处的相对增量.,则称 x 和 y 分别是 x 和 y 在点x0 处的绝对,增量, 并称,则称极限值为函数 f (x) 在 x0 点处的弹性, 记为,2019/12/3,作者：郭健,由弹性定义可知(1)若 y = (x)在点 x0 处可导. 则它在 x0 处的弹性为,(3)弹性是一个无量纲的数值, 这一数值与计量单位无关.,的经济意义是：在x0 处, 当 x 发生1的改变,(4)弹性函数为,时，x 与y 的变化方向相同(相反) .,2019/12/3,作者：郭健,例3 当a、b、k为常数时, 求下列函数的弹性函数及在点 x = 1处的点弹性, 并阐述其经济意义., (1)的经济意义是: 函数(x)在 x = 1处,当b 0时, x 增加(或减少)1%,当b 0时, x 增加(或减少)1%,解,(x)就增加(或减少)b%;,(x)就减少(或增加)b% .,2019/12/3,作者：郭健,例4 某日用消费品需求量Q(件)与单价p(元)的关系为,(2)当单价分别是4元、4.35元、5元时的需求弹性.,注 任何需求函数对价格之弹性 , 均满足,解,2019/12/3,作者：郭健,在商品经济中, 商品经营者关心的的是提价(p 0) 或降价(p 0)对总收益的影响. 下面利用需求弹性的 概念, 可以得出价格变动如何影响销售收入的结论.,2019/12/3,作者：郭健,(1)若 (称为高弹性)时, 则 R与 p 异号. 此时, 降价(p 0)将使收益减少;,(2)若 (称为低弹性)时, 则 R 与 p 同号. 此时, 降价(p 0)将使收益增加;,从而有结论:,(3)若 (称为单位弹性)时, 则 . 此时, 无论是 降价还是提价均对收益没有明显的影响.,2019/12/3,作者：郭健,由此对例4而言: 当 p = 4时, (低弹性),当 p = 4.35 时, (单位弹性), 此时, 降价、提价对收益没有明显的影响;,当 p = 5 时, (高弹性), 此时降价使收益 增加; 提价使收益减少.,此时降价使收益减少; 提价使收益增加;,2019/12/3,作者：郭健,例5 某商品的需求量为2660单位, 需求价格弹性为1.4. 若该商品价格计划上涨8%(假设其他条件不变), 问该商 品的需求量会降低多少?,解 设该商品的需求量为Q, 在价格上涨时的改变量为,课后考虑: 用类似方法, 对供给函数、成本函数等 常用经济函数进行弹性分析, 以预测市场的饱和状态 及商品的价格变动等.,且,Q = Q 2660,2019/12/3,作者：郭健,二.函数最值在经济中的应用,在经济管理中, 需要寻求企业的最小生产成本或制定 获得利润最大的一系列价格策略等. 这些问题都可归结 为求函数的最大值和最小值问题.下面举例说明函数最值 在经济上的应用.,1.平均成本最小,例6 某工厂生产产量为 x (件)时, 生产成本函数(元)为,求该厂生产多少件产品时, 平均成本达到最小? 并求出 其最小平均成本和相应的边际成本.,2019/12/3,作者：郭健,解,且驻点唯一.,唯一的极小值点.,平均成本达到最小，且最小平均成本为.,2019/12/3,作者：郭健,2.最大利润,设总成本函数为C(x), 总收益函数为R(x), 其中 x 为 产量, 则在假设产量和销量一致的情况下, 总利润函数为,L(x) = R(x) C(x),而边际成本函数为,时, 相应的边际成本为,显然最小平均成本等于其相应的边际成本.,2019/12/3,作者：郭健,假设产量为 x0 时, 利润达到最大, 则由极值的必要条件和极值的第二充分条件, L(x0)必定满足:,可见, 当产量水平 x = x0 使得边际收益等于边际成本时, 可获得最大利润.,2019/12/3,作者：郭健,例7 某商家销售某种商品的价格满足关系p = 7 0.2x (万元/吨), 且 x 为销售量(单位:吨)、商品的成本函数为,(1)若每销售一吨商品, 政府要征税 t (万元), 求该商家 获最大利润时的销售量;,(2) t 为何值时, 政府税收总额最大.,解 (1)当该商品的销售量为x时, 商品销售总收入为,设政府征的总税额为T, 则有T = t x, 且利润函数为,C(x) = 3x + 1(万元),2019/12/3,作者：郭健,(2)由(1)的结果知, 政府税收总额为,显然当 t = 2时, 政府税收总额最大. 但须指出的是:,为了使商家在纳税的情况下仍能获得最大利润, 就应使,x = 5/2(4 t) 0,即 t 满足限制0 t 4.显然 t = 2 并未超出t 的限制范围.,是使商家获得最大利润的销售量.,且驻点唯一.,得驻点,2019/12/3,作者：郭健,例8 某家银行, 准备新设某种定期存款业务. 假设存 款量与利率成正比, 经预测贷款投资的收益率为16%, 那么存款利息定为多少时, 才能收到最大的贷款纯收益?,3.最佳存款利息,解 设存款利率为 x, 存款总额为M,M = k x ( k 是正常数 ),则由题意 M 与 x 成正比, 得,2019/12/3,作者：郭健,若贷款总额为M, 则银行的贷款收益为,故当存款利率为8%时, 可创最高投资纯收益.,而这笔贷款 M 要付给存户的利息为,从而银行的投资纯收益为,0.16M = 0.16k x,2019/12/3,作者：郭健,解 设每年的库存费和定货的手续费为C, 进货的批 为x, 则批量为 个, 且,4.最佳批量和批数,例9 某厂年需某种零件 8000个, 现分期分批外购, 然后均匀投入使用(此时平均库存量为批量的一半). 若每 次定货的手续费为40元, 每个零件的库存费为4元. 试 求最经济的定货批量和进货批数.,驻点 x = 20,2019/12/3,作者：郭健,因而当进货的批数为 20 批, 即定货批量为 400 个时, 每年的库存费和定货的手续费最少最经济.,企业在正常生产的经营活动中, 库存是必要的, 但库存太多使资金积压、商品陈旧变质造成浪费. 因此确定最适当的库存量是很重要的.,故驻点为极小值点.,2019/12/3,作者：郭健,欲求 的现在值 的问题称为贴现(率)问题. 则一年 结算m次, t 年末的贴现净额为,5.最优决策时间,准备知识: 设A0 为初始本金(称现值), r为年利率, 按 连续复利计算, t 年末的本利和记作At (称总收入). 则 当年结算m次时, 就有,从而有连续复利公式,与此相反, 经济学中把已知未来值为 , 贴现率也为r.,按连续复利计算, 得 t 年末的贴现净额为,(也称为贴现公式),2019/12/3,作者：郭健,例10 某酒厂有一批新酿的好酒, 如果现在(假定t=0)就 出售, 售价为 (元). 如果窖藏起来待日按陈酒价格出售,解 设这批酒窖藏 t 年整, 售出总收入的现值为L,则按照贴现公式得,(假设不计储藏费), 那么未来总收入R 就是时间 t 的函数,假设资金的贴现率为 r, 并以连续复利计息, 为使总收入的现值最大, 应在何年出售此酒?,2019/12/3,作者：郭健,故 时, L(t)在该点达到最大值, 即储藏年限为,收入的最大现值：,比如 r = 0.10, 则 t = 25, 即此酒商应将此酒窖藏 25 年.,两端求导，得,得唯一不可导点,(整年)时, 是最佳销售时间，,可见, 利率(贴现率)越高窖藏期越短.,2019/12/3,作者：郭健,小结：导数的应用,作业：复习,
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