湖南省东部六校2016届高三上12月联考数学试卷(文)含答案解析.doc

2015-2016学年湖南省东部六校高三（上）12月联考数学试卷（文科）一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1已知集合M=2，1，0，1，N=x|2x4，xZ，则MN=（）AM=2，1，0，1，2BM=1，0，1，2CM=1，0，1DM=0，12已知i是虚数单位，设复数z1=1+i，z2=1+2i，则在复平面内对应的点在（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3函数y=lg|x|（）A是偶函数，在区间（，0）上单调递增B是偶函数，在区间（，0）上单调递减C是奇函数，在区间（，0）上单调递增D是奇函数，在区间（，0）上单调递减4设向量， =（2，sin），若，则tan（）等于（）ABC3D35将函数y=sin（x+）的图象上各点的横坐标压缩为原来的倍（纵坐标不变），所得函数在下面哪个区间单调递增（）A（，）pB（，）pC（，）ppD（，）p6已知Sn是公差不为0的等差数列an的前项和，且S1，S2，S4成等比数列，则=（）A4B6C8D107已知椭圆的中心在原点，离心率，且它的一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，则此椭圆方程为（）ABCD8某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的四个面的面积中，最大的面积是（）A4B8C4D89实数x，y满足（a1），且z=2x+y的最大值是最小值的4倍，则a的值是（）ABCD10执行如图所示的程序框图，若输入n的值为8，则输出S的值为（）A4B8C10D1211已知P、Q是圆心在坐标原点O的单位圆上的两点，分别位于第一象限和第四象限，且P点的纵坐标为，Q点的横坐标为则cosPOQ=（）ABCD12已知函数f（x）=，若函数g（x）=f2（x）axf（x）恰有6个零点，则a的取值范围是（）A（0，3）B（1，3）C（2，3）D（0，2）二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中对应题号后横线上）13如图是某学校一名篮球运动员在10场比赛中所得分数的茎叶图，则该运动员在这10场比赛中得分的中位数为14若曲线y=x2+ax+b在点（0，b）处的切线方程是xy+1=0，则ab=15已知双曲线C1：（a0，b0）的左、右焦点分别为F1、F2，抛物线C2的顶点在原点，它的准线过双曲线C1的焦点，若双曲线C1与抛物线C2的交点P满足PF2F1F2，则双曲线C1的离心率为16在ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且满足4cos2cos2（B+C）=，若a=2，则ABC的面积的最大值是三、解答题（共6小题，总计70分）172012年“双节”期间，高速公路车辆较多某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速（km/t）分成六段：（60，65），65，70），70，75），80，85），85，90）后得到如图的频率分布直方图（1）某调查公司在采样中，用到的是什么抽样方法？（2）求这40辆小型车辆车速的众数和中位数的估计值（3）若从车速在60，70）的车辆中任抽取2辆，求车速在65，70）的车辆至少有一辆的概率18已知等比数列an满足2a1+a3=3a2，且a3+2是a2，a4的等差中项（）求数列an的通项公式；（）若bn=an+log2，Sn=b1+b2+bn，求使 Sn2n+1+470 成立的正整数n的最小值19如图1，在直角梯形ABCD中，ABCD，ABAD，且AB=AD=CD=1现以AD为一边向梯形外作矩形ADEF，然后沿边AD将矩形ADEF翻折，使平面ADEF与平面ABCD垂直（1）求证：BC平面BDE；（2）若点D到平面BEC的距离为，求三棱锥FBDE的体积20已知直线l：4x+3y+10=0，半径为2的圆C与l相切，圆心C在x轴上且在直线l的上方（1）求圆C的方程；（2）设过点P（1，1）的直线l1被圆C截得的弦长等于2，求直线l1的方程；（3）过点M（1，0）的直线与圆C交于A，B两点（A在x轴上方），问在x轴正半轴上是否存在点N，使得x轴平分ANB？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由21设函数f（x）=2x2+axlnx（aR），g（x）=+3（I）若函数f（x）在定义域内单调递减，求实数a的取值范围；（II）若对任意x（0，e），都有唯一的xoe4，e，使得g（x）=f（xo）+2xo2成立，求实数a的取值范围22已知直线l的参数方程为：（t为参数），曲线C的极坐标方程为：2cos2=1（1）以极点为原点，极轴为x轴正半轴，建立直角坐标系，求曲线C的直角坐标方程；（2）若求直线，被曲线c截得的弦长为2，求m的值2015-2016学年湖南省东部六校高三（上）12月联考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1已知集合M=2，1，0，1，N=x|2x4，xZ，则MN=（）AM=2，1，0，1，2BM=1，0，1，2CM=1，0，1DM=0，1【考点】交集及其运算【分析】求解指数不等式化简集合N，然后直接利用交集运算求解【解答】解：N=x|2x4，xZ=xZ|1x2=1，0，1，2，集合M=2，1，0，1，MN=1，0，1故：C2已知i是虚数单位，设复数z1=1+i，z2=1+2i，则在复平面内对应的点在（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出【解答】解： =在复平面内对应的点在第四象限故选：D3函数y=lg|x|（）A是偶函数，在区间（，0）上单调递增B是偶函数，在区间（，0）上单调递减C是奇函数，在区间（，0）上单调递增D是奇函数，在区间（，0）上单调递减【考点】对数函数的单调区间；函数奇偶性的判断【分析】先求出函数的定义域，然后根据奇偶性的定义进行判定，最后根据复合函数单调性的判定方法进行判定即可【解答】解：函数y=lg|x|定义域为x|x0，而lg|x|=lg|x|，所以该函数为偶函数，|x|在（，0）上单调递减，在（0，+）上单调递增，函数y=lg|x|在（，0）上单调递减，在（0，+）上单调递增；故选B4设向量， =（2，sin），若，则tan（）等于（）ABC3D3【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系；两角和与差的正切函数【分析】利用，即可得出tan，再利用两角差的正切公式即可得出【解答】解：，2cossin=0，即tan=2=，故选B5将函数y=sin（x+）的图象上各点的横坐标压缩为原来的倍（纵坐标不变），所得函数在下面哪个区间单调递增（）A（，）pB（，）pC（，）ppD（，）p【考点】函数y=Asin（x+）的图象变换【分析】利用函数y=Asin（x+）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再利用正弦函数的增区间，求得y=g（x）的单调递增区间【解答】解：将函数y=sin（x+）图象上每一点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到函数y=sin（2x+）的图象；令2k2x+2k+，求得kxk+，可得函数g（x）的增区间为k，k+，kz，当k=0时，可得函数在区间（，）单调递增故选：A6已知Sn是公差不为0的等差数列an的前项和，且S1，S2，S4成等比数列，则=（）A4B6C8D10【考点】等比数列的性质；等差数列的前n项和【分析】由等比中项的性质列出，再代入等差数列的通项公式和前n项和公式，用a1和d表示出来，求出a1和d的关系，进而求出式子的比值【解答】解：设等差数列an的公差为d，且d0，S1，S2，S4成等比数列，=a1，=2a1（2a1+3d），d2=2a1d，解得d=2a1或d=0（舍去），=8，故选C7已知椭圆的中心在原点，离心率，且它的一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，则此椭圆方程为（）ABCD【考点】椭圆的简单性质【分析】先求出焦点的坐标，再由离心率求得半长轴的长，从而得到短半轴长的平方，写出椭圆的标准方程【解答】解：抛物线y2=4x的焦点为（1，0），c=1，由离心率可得a=2，b2=a2c2=3，故椭圆的标准方程为+=1，故选 A8某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的四个面的面积中，最大的面积是（）A4B8C4D8【考点】由三视图求面积、体积【分析】根据三视图分析出几何体的图形，利用三视图中的数据求出四个面的面积中的最大值【解答】解：根据几何体的三视图知，该几何体底面是边长为4的正三角形，高为4的三棱锥，且侧棱垂直于底面三角形的一个顶点，如图所示；则两个垂直底面的侧面面积为SPAC=SPAB=44=8；底面面积为SABC=42sin60=4；另一个侧面的面积为SPBC=4=4；所以四个面中面积的最大值为4故选：C9实数x，y满足（a1），且z=2x+y的最大值是最小值的4倍，则a的值是（）ABCD【考点】简单线性规划【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，结合目标函数z=2x+y的最大值是最小值的4倍，建立方程关系，即可得到结论【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=2x+y得y=2x+z，平移直线y=2x+z，由图象可知当直线y=2x+z经过点A时，直线的截距最大，此时z最大，由，解得即A（1，1），此时z=21+1=3，当直线y=2x+z经过点B时，直线的截距最小，此时z最小，由，解得，即B（a，a），此时z=2a+a=3a，目标函数z=2x+y的最大值是最小值的4倍，3=43a，即a=故选：B10执行如图所示的程序框图，若输入n的值为8，则输出S的值为（）A4B8C10D12【考点】循环结构【分析】由已知中的程序框图及已知中输入8，可得：进入循环的条件为i8，即i=2，4，6，8模拟程序的运行结果，即可得到输出的S值【解答】解：当i=2时，S=（12）=2，i=2+2=4，k=2；当i=4时，S=（24）=4，i=4+2=6，k=3；当i=6时，S=（46）=8，i=6+2=8，k=4；当i=8时，不满足i8，退出循环，输出S=8故选B11已知P、Q是圆心在坐标原点O的单位圆上的两点，分别位于第一象限和第四象限，且P点的纵坐标为，Q点的横坐标为则cosPOQ=（）ABCD【考点】两角和与差的余弦函数；任意角的三角函数的定义【分析】由条件利用直角三角形中的边角关系求得sinxOP和cosxOQ的值，利用同角三角函数的基本关系求得 cosxOP 和 sinxOQ，再利用两角和的余弦公式求得cosPOQ=cos（xOP+xOQ ）的值【解答】解：由题意可得，sinxOP=，cosxOP=；再根据cosxOQ=，可得 sinxOQ=cosPOQ=cos（xOP+xOQ ）=cosxOPcosxOQsinxOPsinxOQ=，故选：D12已知函数f（x）=，若函数g（x）=f2（x）axf（x）恰有6个零点，则a的取值范围是（）A（0，3）B（1，3）C（2，3）D（0，2）【考点】函数零点的判定定理【分析】问题转化为：方程f（x）=0，或f（x）ax=0，共有6个不同的解，其中前一方程有3解，所以后一方程有三解，故采用数形结合法求解【解答】解：令g（x）=f2（x）axf（x）=0，则f（x）=0，或f（x）ax=0，当f（x）=0时，即3x+1=0或x24x+1=0，解得x=，x=2，x=2+，即有三个零点，当f（x）ax=0，即f（x）=ax，x=0时，f（0）=10，即x0，方程=a有三个根，当x0时， =3+，当x0时， =|x+4|，分别画出y=（紫线）与y=a的图象，如右图所示，由图可知，当a（2，3）时，两函数图象有三个交点，综合以上讨论得，当a（2，3）时，原函数g（x）有六个零点故答案为：C二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中对应题号后横线上）13如图是某学校一名篮球运动员在10场比赛中所得分数的茎叶图，则该运动员在这10场比赛中得分的中位数为15【考点】茎叶图【分析】根据中位数的定义进行求解即可【解答】解：根据茎叶图将数据从小到大排列之后，对应的第5个数为14，第6个数为16，则对应的中位数为=15，故答案为：1514若曲线y=x2+ax+b在点（0，b）处的切线方程是xy+1=0，则ab=1【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】根据导数的几何意义求出函数y在x=0处的导数，从而求出切线的斜率，建立等量关系求出a，再根据点（0，b）在切线xy+1=0上求出b即可【解答】解：y=2x+a|x=0=a，a=1，（0，b）在切线xy+1=0，b=1则ab=1故答案为：115已知双曲线C1：（a0，b0）的左、右焦点分别为F1、F2，抛物线C2的顶点在原点，它的准线过双曲线C1的焦点，若双曲线C1与抛物线C2的交点P满足PF2F1F2，则双曲线C1的离心率为+1【考点】双曲线的简单性质【分析】先设出抛物线方程，进而根据题意可得p与a和c的关系，把抛物线方程与双曲线方程联立，把x=c，y2=4cx，代入整理可得答案【解答】解：设抛物线方程为y2=2px，依题意可知=c，p=2c，抛物线方程与双曲线方程联立得=1，把x=c，代入整理得e46e2+1=0解得e=+1，故答案为： +116在ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且满足4cos2cos2（B+C）=，若a=2，则ABC的面积的最大值是【考点】余弦定理；正弦定理【分析】利用三角形的内角和，结合已知条件等式，可得关于A的三角方程，从而可以求得A的大小，利用余弦定理及基本不等式，可求得bc，从而可求ABC的面积的最大值【解答】（本题满分为10分）解：A+B+C=，4cos2cos2（B+C）=2（1+cosA）cos2A=2cos2A+2cosA+3=，2cos2A2cosA+=0 cosA=0A，A=a=2，由余弦定理可得：4=b2+c2bc2bcbc=bc，（当且仅当b=c=2，不等式等号成立）bc4SABC=bcsinA=故答案为：三、解答题（共6小题，总计70分）172012年“双节”期间，高速公路车辆较多某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速（km/t）分成六段：（60，65），65，70），70，75），80，85），85，90）后得到如图的频率分布直方图（1）某调查公司在采样中，用到的是什么抽样方法？（2）求这40辆小型车辆车速的众数和中位数的估计值（3）若从车速在60，70）的车辆中任抽取2辆，求车速在65，70）的车辆至少有一辆的概率【考点】等可能事件的概率；用样本的频率分布估计总体分布【分析】（1）这个抽样是按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查，是一个具有相同间隔的抽样，并且总体的个数比较多，这是一个系统抽样；（2）选出直方图中最高的矩形求出其底边的中点即为众数；求出从左边开始小矩形的面积和为0.5对应的横轴的左边即为中位数；利用各个小矩形的面积乘以对应矩形的底边的中点的和为数据的平均数（3）从图中可知，车速在60，65）的车辆数和车速在65，70）的车辆数从车速在（60，70）的车辆中任抽取2辆，设车速在60，65）的车辆设为a，b，车速在65，70）的车辆设为c，d，e，f，列出各自的基本事件数，从而求出相应的概率即可【解答】解：（1）由题意知这个抽样是按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查，是一个具有相同间隔的抽样，并且总体的个数比较多，这是一个系统抽样故调查公司在采样中，用到的是系统抽样，（2）众数的估计值为最高的矩形的中点，即众数的估计值等于77.5 设图中虚线所对应的车速为x，则中位数的估计值为：0.015+0.025+0.045+0.06（x75）=0.5，解得x=77.5，即中位数的估计值为77.5 （3）从图中可知，车速在60，65）的车辆数为：m1=0.01540=2（辆），车速在65，70）的车辆数为：m2=0.02540=4（辆） 设车速在60，65）的车辆设为a，b，车速在65，70）的车辆设为c，d，e，f，则所有基本事件有：（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（a，f），（b，c），（b，d），（b，e），（b，f），（c，d），（c，e），（c，f），（d，e），（d，f），（e，f）共15种 其中车速在65，70）的车辆至少有一辆的事件有：（a，c），（a，d），（a，e），（a，f），（b，c），（b，d），（b，e），（b，f），（c，d），（c，e），（c，f），（d，e），（d，f），（e，f）共14种 所以，车速在65，70）的车辆至少有一辆的概率为18已知等比数列an满足2a1+a3=3a2，且a3+2是a2，a4的等差中项（）求数列an的通项公式；（）若bn=an+log2，Sn=b1+b2+bn，求使 Sn2n+1+470 成立的正整数n的最小值【考点】等差数列与等比数列的综合；等比数列的通项公式；数列与不等式的综合【分析】（）设等比数列an的首项为a1，公比为q，根据2a1+a3=3a2，且a3+2是a2，a4的等差中项，建立方程组，从而可求数列an的通项公式；（）=2nn，求出Sn=b1+b2+bn，再利用，建立不等式，即可求得使成立的正整数n的最小值【解答】解：（）设等比数列an的首项为a1，公比为q，依题意，2a1+a3=3a2，且a3+2是a2，a4的等差中项由 得 q23q+2=0，解得q=1或q=2当q=1时，不合题意舍；当q=2时，代入（2）得a1=2，所以an=2n（）=2nn所以Sn=b1+b2+bn=（2+22+2n）（1+2+n）=2n+12n2 因为，所以2n+12n22n+1+470，即n2+n900，解得n9或n10故使成立的正整数n的最小值为1019如图1，在直角梯形ABCD中，ABCD，ABAD，且AB=AD=CD=1现以AD为一边向梯形外作矩形ADEF，然后沿边AD将矩形ADEF翻折，使平面ADEF与平面ABCD垂直（1）求证：BC平面BDE；（2）若点D到平面BEC的距离为，求三棱锥FBDE的体积【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定【分析】（1）证明EDBC，BCBD，EDBD=D，即可证明BC平面BDE；（3）由（1）知，平面DBE平面BCE，作DHBE，则DH平面BCE，求出高DE，转换底面即可求三棱锥FBDE的体积【解答】（1）证明：在正方形ADEF中，EDAD又平面ADEF平面ABCD，且平面ADEF平面ABCD=AD，ED平面ABCD，则EDBC在直角梯形ABCD中，AB=AD=1，CD=2，BDC=45，可得BC=在BCD中，BD=BC=，CD=2，BD2+BC2=CD2BCBD故BC平面BDE；（2）解：由（1）知，平面DBE平面BCE，作DHBE，则DH平面BCE，DH=，BDE中，由等面积可得DE=DE=1，VFBDE=VBDEF=20已知直线l：4x+3y+10=0，半径为2的圆C与l相切，圆心C在x轴上且在直线l的上方（1）求圆C的方程；（2）设过点P（1，1）的直线l1被圆C截得的弦长等于2，求直线l1的方程；（3）过点M（1，0）的直线与圆C交于A，B两点（A在x轴上方），问在x轴正半轴上是否存在点N，使得x轴平分ANB？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由【考点】直线和圆的方程的应用【分析】（1）设出圆心C坐标，根据直线l与圆C相切，得到圆心到直线l的距离d=r，确定出圆心C坐标，即可得出圆C方程；（2）根据垂径定理及勾股定理，由过点P（1，1）的直线l1被圆C截得的弦长等于2，分直线l1斜率存在与不存在两种情况求出直线l1的方程即可；（3）当直线ABx轴，则x轴平分ANB，当直线AB斜率存在时，设直线AB方程为y=k（x1），联立圆与直线方程，消去y得到关于x的一元二次方程，利用韦达定理表示出两根之和与两根之积，由若x轴平分ANB，则kAN=kBN，求出t的值，确定出此时N坐标即可【解答】解：（1）设圆心C（a，0）（a），直线l：4x+3y+10=0，半径为2的圆C与l相切，d=r，即=2，解得：a=0或a=5（舍去），则圆C方程为x2+y2=4；（2）由题意可知圆心C到直线l1的距离为=1，若直线l1斜率不存在，则直线l1：x=1，圆心C到直线l1的距离为1；若直线l1斜率存在，设直线l1：y1=k（x1），即kxy+1k=0，则有=1，即k=0，此时直线l1：y=1，综上直线l1的方程为x=1或y=1；（3）当直线ABx轴，则x轴平分ANB，若x轴平分ANB，则kAN=kBN，即+=0， +=0，整理得：2x1x2（t+1）（x1+x2）+2t=0，即+2t=0，解得：t=4，当点N（4，0），能使得ANM=BNM总成立21设函数f（x）=2x2+axlnx（aR），g（x）=+3（I）若函数f（x）在定义域内单调递减，求实数a的取值范围；（II）若对任意x（0，e），都有唯一的xoe4，e，使得g（x）=f（xo）+2xo2成立，求实数a的取值范围【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】（）根据题意即可得出4x2ax+10在（0，+）上恒成立，从而有0或者，这样便可解出实数a的取值范围；（）可求g（x），根据导数符号便可得出g（x）在（0，e）上的值域，并设h（x）=f（x）+2x2=axlnx，m=g（x），从而可将问题转化为任意的m（3，4，存在唯一的，使得h（x0）=m，求导数，然后可讨论a的取值：，和，在每种情况里可通过求函数h（x）的最大值或最小值，以及端点值即可求出满足条件的a的取值范围【解答】解：（），由题：f（x）0在（0，+）上恒成立；即4x2ax+10在（0，+）上恒成立；=a24410，得，4a4；或，故a4；综上，a4；（）g（x）=e1x（1x），g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，e）上单调递减；且g（0）=3，g（1）=4，g（e）=e2e+33；g（x）的值域为（3，4；记h（x）=f（x）+2x2=axlnx，m=g（x）；原问题等价于m（3，4，存在唯一的，使得h（x0）=m成立；=，xe4，e；当时，h（x）0恒成立，h（x）单调递减；由，h（x）min=h（e）=ae13，解得；当ae4时，h（x）0恒成立，h（x）单调递增，不合题意，舍去；当时，h（x）在上单调递减，在上单调递增；且h（e4）=ae4+44，h（e）=ae1；要满足条件，则ae13；综上所述，a的取值范围是22已知直线l的参数方程为：（t为参数），曲线C的极坐标方程为：2cos2=1（1）以极点为原点，极轴为x轴正半轴，建立直角坐标系，求曲线C的直角坐标方程；（2）若求直线，被曲线c截得的弦长为2，求m的值【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程【分析】（1）使用二倍角公式化简，利用极坐标与直角坐标的对应关系得出曲线C的直角坐标方程；（2）将l的参数方程代入曲线C的普通方程，得出交点对应参数的关系，使用根与系数得关系列方程解出m【解答】解：（1）2cos2=1，2cos22sin2=1，曲线C的直角坐标方程为x2y2=1（2）把（t为参数）代入x2y2=1得：（m+）2（）2=1，即t22mt2m2+2=0，t1+t2=2m，t1t2=22m2直线l被曲线c截得的弦长为2，|t1t2|=2解得m=22016年8月4日第22页（共22页）