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课时提升作业(三)四种命题间的相互关系(30分钟50分)一、选择题(每小题3分,共18分)1.(2014杭州高二检测)命题“如果xa2+b2,那么x2ab”的等价命题是()A.如果xa2+b2,那么x2abB.如果x2ab,那么xa2+b2C.如果x2ab,那么xa2+b2D.如果xa2+b2,那么x2ab【解析】选C.等价命题即为原命题的逆否命题,故选C.2.(2014长春高二检测)若命题p的等价命题是q,q的逆命题是r,则p与r是()A.互逆命题B.互否命题C.互逆否命题D.不确定【解析】选B.因为p与q的条件与结论既互换又否定,且q与r的条件与结论互换,所以p与r的条件与结论是相互否定的,故p与r是互否命题.【举一反三】本题中的条件“q的逆命题是r”若换为“q的否命题是r”,其他条件不变,其结论又如何呢?【解析】选A.因为p与q是互逆否命题,q与r是互否命题,所以p与r是互逆命题.3.(2014海口高二检测)在命题“若函数f(x)是偶函数,则f(x)的图象关于y轴对称”的逆命题,否命题,逆否命题中结论成立的是()A.都真B.都假C.否命题假,逆命题真D.逆否命题假【解析】选A.因为f(x)是偶函数,与f(x)的图象关于y轴对称是等价的,故四种命题均为真命题.4.关于命题:“设a,b为实数,若ab=0,则a,b至少有一个为0.”有下列说法: 原命题为真命题;逆命题为真命题;否命题为“设a,b为实数,若ab0,则a,b不都为0”;逆否命题为“设a,b为实数,若a,b都不为0,则ab0”.其中,说法不正确的个数是()A.0 B.1 C.2 D.3【解析】选B.原命题为真命题;逆命题为“设a,b为实数,若a,b至少有一个为0,则ab=0”,真命题;否命题为“设a,b为实数,若ab0,则a,b都不为0”,故不正确;正确.5.关于原命题“在ABC中,若cosA=2sinBsinC,则ABC是钝角三角形”的叙述:原命题是假命题;逆命题为假命题;否命题是假命题;逆否命题为真命题.其中,正确的个数是()A.1B.2C.3D.4【解题指南】利用三角形内角和定理以及三角恒等变换,建立三角形内角的关系判断原命题的真假,逆命题的真假尝试特殊角的钝角三角形验证三角恒等式是否成立.【解析】选C.在ABC中,若cosA=2sinBsinC,则-cos(B+C)=2sinBsinC,得cosBcosC+sinBsinC=0,得cos(B-C)=0,故B-C=90或B-C=-90,即B=C+90或C=B+90,故ABC是钝角三角形,原命题与逆否命题为真命题.逆命题和否命题互为逆否命题,是假命题,如在钝角ABC中,A=15,B=15,C=150,cosA=cos15=6+24,sinB=sin15=6-24,sinC=sin150=12,2sinBsinC=6-24cosA.6.已知a,b,cR,命题“若a+b+c=3,则a2+b2+c23”的否命题的等价命题是()A.若a+b+c3,则a2+b2+c23B.若a+b+c=3,则a2+b2+c21,是真命题.命题是假命题.因此其逆否命题也是假命题.故真命题为.答案:8.在空间中,若四点不共面,则这四点中任何三点都不共线;若两条直线没有公共点,则这两条直线是异面直线.以上两个命题中,逆命题为真命题的是_.【解析】中的逆命题是:若四点中任何三点都不共线,则这四点不共面.我们用正方体AC1做模型来观察:上底面A1B1C1D1的顶点中任何三点都不共线,但A1,B1,C1,D1四点共面,所以的逆命题不是真命题.中的逆命题是:若两条直线是异面直线,则两条直线没有公共点.由异面直线的定义可知,成异面直线的两条直线不会有公共点,所以的逆命题为真命题.答案:【举一反三】本题的两个命题中逆否命题为假命题的是.【解析】命题为假命题,因此它的逆否命题为假命题.答案:9.命题“已知不共线向量e1,e2,若e1+e2=0,则=0”的等价命题为,是命题(填真、假).【解题指南】求原命题的等价命题即为原命题的逆否命题,只需把原命题的条件与结论既交换又否定即可.【解析】命题“已知不共线向量e1,e2,若e1+e2=0,则=0”的等价命题为“已知不共线向量e1,e2,若,不全为0,则e1+e20”,是真命题.答案:已知不共线向量e1,e2,若,不全为0,则e1+e20真三、解答题(每小题10分,共20分)10.(2014周口高二检测)写出下面命题的逆命题、否命题、逆否命题,并判断它们的真假.m14时,mx2-x+1=0无实根.【解析】将原命题改写成“若p,则q”的形式为“若m14,则mx2-x+1=0无实根”.逆命题:“若mx2-x+1=0无实根,则m14”,是真命题;否命题:“若m14,则mx2-x+1=0有实根”,是真命题;逆否命题:“若mx2-x+1=0有实根,则m14”,是真命题.11.(2014大连高二检测)已知命题p:方程x2+mx+1=0有实数根;命题q:方程4x2+4(m-2)x+1=0无实数根,若命题p,q中有且仅有一个为真命题,求实数m的取值范围.【解题指南】解答本题可先根据命题p,q为真命题分别求出m的取值范围,然后分p真q假与p假q真两种情况分别求m的取值范围.【解析】方程x2+mx+1=0有实数根,所以1=m2-40,所以p:m2或m-2;方程4x2+4(m-2)x+1=0无实数根,所以2=16(m-2)2-160,所以q:1m3.p真q假:所以m2或m-2,m3或m1,所以m3或m-2.p假q真:所以-2m2,1m3,所以1m2,所以实数m的取值范围为1m2或m3或m-2.(30分钟50分)一、选择题(每小题4分,共16分)1.(2014福州高二检测)给出命题:已知a,b为实数,若a+b=1,则ab14.在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中,真命题的个数是()A.3B.2C.1D.0【解题指南】四种命题中原命题与逆否命题真假性一致,逆命题与否命题真假性一致,因此要判断一个命题的真假可判断其逆否命题的真假.【解析】选C.由aba+b22得:a+b=1,则有ab14,原命题是真命题,所以逆否命题是真命题;逆命题:若ab14,则a+b=1不成立,反例a=b=0满足ab14但不满足a+b=1,所以逆命题是假命题,否命题也是假命题.2.设原命题:若a+b2,则a,b中至少有一个不小于1,则原命题与其逆命题的真假情况是()A.原命题真,逆命题假B.原命题假,逆命题真C.原命题与逆命题均为真命题D.原命题与逆命题均为假命题【解题指南】若原命题的真假情况不易判断时,可通过判断其逆否命题的真假来确定原命题的真假,若要说明某一命题是假命题,只需举一反例即可.【解析】选A.原命题“若a+b2,则a,b中至少有一个不小于1”的逆否命题为“若a,b都小于1,则a+b2”,是真命题,故原命题为真;原命题的逆命题为“若a,b中至少有一个不小于1,则a+b2”,是假命题,如a=3,b=-2,满足条件,可是结论不成立.3.(2014上海高二检测)已知命题:如果x3,那么x2,则不等式x2-2x+m0的解集为R”.其中真命题的个数为()A.0个B.1个C.2个D.3个【解析】选C.对,逆命题正确.对,否命题为:若一个四边形不是正方形,则这个四边形不是菱形,故不正确.对于,=4-4m,当m2时,0的解集为R,正确.二、填空题(每小题5分,共10分)5.(2014新乡高二检测)给定下列命题:若k0,则方程x2+2x-k=0有实数根;“若ab,则a+cb+c”的否命题;“菱形的对角线垂直”的逆命题.其中真命题的序号是.【解析】因为=4-4(-k)=4+4k0,所以是真命题.否命题:“若ab,则a+cb+c”是真命题.逆命题:“对角线垂直的四边形是菱形”是假命题.答案:6.设有两个命题:关于x的不等式mx2+10的解集是R;函数f(x)=logmx是减函数(m0且m1).如果这两个命题中有且只有一个真命题,则m的取值范围是.【解析】若真,假,则m0,m1,故m1.若假,真,则m0,0m1.答案:m1【举一反三】本题中若两命题均为真命题,则m的取值范围是.【解析】若均真,则m0,0m1,故0m1.答案:0m1三、解答题(每小题12分,共24分)7.若方程x2+2px-q=0(p,q是实数)没有实数根,则p+q14.(1)判断上述命题的真假,并说明理由.(2)试写出上述命题的逆命题,并判断真假,说明理由.【解析】(1)上述命题是真命题.由题意,得方程的判别式=4p2+4q0,得q-p2,所以p+qp-p2=-p-122+1414,所以p+q14.(2)逆命题:如果p,q是实数,p+q14,则方程x2+2px-q=0没有实数根.逆命题是假命题,如当p=1,q=-1时,p+qba,而它的逆否命题也为真.即“甲不是最小,则乙最大”,为真,即bac,同理由命题q为真可得:acb或bac,又命题p与q均为真,可得bac.故甲、乙、丙三人的年龄大小顺序是:乙大,甲次之,丙最小.
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