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2019-2020年高三5月高考考前保温训练数学（4）日期 ；星期 ；天气 ；心情： 【一两个冷点，小试身手】以统计和数列为模型的应用题1.甲、乙两家网络公司，1993年的市场占有率均为A，根据市场分析与预测，甲、乙公司自1993年起逐年的市场占有率都有所增加，甲公司自1993年起逐年的市场占有率都比前一年多，乙公司自1993年起逐年的市场占有率如图所示：（I）求甲、乙公司第n年市场占有率的表达式；（II）根据甲、乙两家公司所在地的市场规律，如果某公司的市场占有率不足另一公司市场占有率的20%，则该公司将被另一公司兼并，经计算，xx年之前，不会出现兼并局面，试问xx年是否会出现兼并局面，并说明理由【些许经典题，串联思维】2. 如图是一幅招贴画的示意图，其中ABCD是边长为的正方形，周围是四个全等的弓形.已知O为正方形的中心，G为AD的中点，点P在直线OG上，弧AD是以P为圆心、PA为半径的圆的一部分，OG的延长线交弧AD于点H.设弧AD的长为，.（1）求关于的函数关系式；（2）定义比值为招贴画的优美系数，当优美系数最大时，招贴画最优美.证明：当角满足时，招贴画最优美.【思考】关注与几何有关的实际问题中，如何选用角为自变量构建函数模型？角的范围是怎么找的？所建立的三角函数模型，进一步是如何研究的？什么时候可以还原？什么时候需要求导？如果求导，所得三角方程如果为怎么办？请搜集整理与三角函数的有关的应用题，并对上述要点进行整理。3若函数在上恒有成立(其中为函数的导函数),则称这类函数为A型函数(1) 若函数,判断是否为A型函数,并说明理由；(2) 若函数是A型函数,求函数的单调区间；(3) 若函数是A型函数,当时,证明【思考】11年函数题是一个新定义的问题，需要关注，新定义的问题与函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、图像、零点有什么关系？请对最近所做的函数题中的新定义问题（填空题也行）如何转化为函数问题的？如何去理解那些背景的含义？本题中的“”如何理解？如何从所给不等式结构去理解，并进行转化为函数的性质的？第二小问是用的什么方法，该问参数分离的优势在哪？第三小问为给定条件下不等式证明，是将条件化为结论，还是结论像条件转化，还是两边一起逼近？条件和结论之间的差异有哪些，如何化异为同？【一道附加题，权作调节】请关注这个问题，你做的什么地方？为什么做不下去的？4.如图，在三棱柱中，平面,， 分别为，的中点，点在棱上，且（）求证：平面平面；（）若是侧面上的动点，且平面（i）求证：动点的轨迹是一条线段；（ii）求直线与平面所成角的正弦值的取值范围参考答案1. 解：（I）设甲公司第n年市场占有率为，依题意，是以为首项，以为公差的等差数列2分3分设乙公司第n年市场占有率为，根据图形可得：5分6分（II）依题意，xx年为第20年，则，9分，即，11分xx年会出现乙公司被甲公司兼并的局面12分2. 解析：(1)当时，点P在线段OG上，AP；当时，点P在线段GH上，AP；当时，APa.综上所述，AP，.所以弧AD的长lAP2，故所求函数关系式为l，.(2)当时，OPOGPGaa；当时，OPOGGHaaa；当时，OPa.所以OPa，.从而.记f()，.则f().令f()0，得(cossin)sincos.(10分)因为，所以cossin0，从而.显然，所以tan.记满足tan的0，下面证明0是函数f()的极值点设g()(cossin)(sincos)，.则g()(cossin)0在上恒成立，从而g()在上单调递减(14分)所以当时，g()0，即f()0，f()在上单调递增；当时，g()0，即f()0，f()在上单调递减故f()在0处取得极大值，也是最大值所以当满足tan时，函数f()即取得最大值，此时招贴画最优美.3. 解：（1）因为 ，所以在上恒成立，即在上恒成立，所以是型函数，由，得，因为，所以可化为，令，令，得，当时，是减函数；当时，是增函数，所以，所以，当时，由，得，所以增区间为，减区间为；当时，由，得，所以增区间为，减区间为；当时，由，得，或，所以增区间为和，减区间为；当时，所以，函数增区间为；时，由，得，或，所以增区间为和，减区间为（3）函数是上的每一点处都有导数，且在上恒成立，设，在时恒成立，所以函数在上是增函数， 因为，所以，所以，即所以，两式相 加，得4. 解法一：（）解：如图，在三棱柱中，平面,，得，如图建立空间直角坐标系， 1分则，所以， ，且，平面因为直线在平面内， 平面平面4分（）（i）取的中点为，的中点为,连接，则,且, 平面平面,6分是侧面上的动点，且平面，动点的轨迹是平面与平面的交线，即点在线段上.8分（ii）设，得，,9分由（）知平面，所以为平面的一个法向量设直线与平面所成角为，,11分,，所以直线与平面所成角的正弦值的取值范围为13分解法二：（）同解法一；（）（i）设，则，由平面，且由（）知平面的法向量为，故由得，6分又得.7分所以动点的轨迹是侧面内的一条线段.8分（ii）由（i）得，故.由（）知平面，所以为平面的一个法向量设直线与平面所成角为，,11分,，所以直线与平面所成角的正弦值的取值范围为13分
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