角动量、角动量守恒定律.ppt

角动量守恒定律,教材：5.2与5.5节（学习角动量守恒定律主要是为了研究刚体的定轴转动问题，注意刚体是特殊的质点系） 作业：练习6,一、概念：角动量、力矩、冲量矩、角量系统 二、质点角动量定理 三、质点系的角动量定理 四、角动量守恒定律,质点的角动量守恒定律,概念： 刚体、定轴转动,结构框图：,【引入】为什么提出“角动量”概念？,问题一：两个质点如右图，以不同半径的轨道转动，动量大小相等，位移方向相同时连动量方向也相同，该如何区别两个质点？,但是系统有机械运动，说明不宜使用动量来量度转动物体的机械运动量。,问题二：将一绕通过质心的固定轴转动的圆盘视为一个质点系，系统总动量为,一、相关概念 1. 质点的角动量(angular momentum),定义：,大小：,方向：,质点相对O点的矢径,质点的角动量的方向,质点以角速度 作半径为 的圆运动，相对圆心的角动量,的方向符合右手法则。1）从位矢 转向速度 2）夹角小于180度,四指代表质点相对于0点的转动趋势，则大拇指代表角动量的方向,【特别】在圆轨迹运动时,直角坐标系中角动量的分量表示,*必须指明参考点，角动量才有实际意义。 *质点对某参考点的角动量反映质点绕该参考点旋转运动的强弱。,2、力矩(moment of force),单位：牛米（N m）,定义：力对定点的力矩,四指代表该力作用下质点相对于0点的转动趋势，则大拇指代表角动量的方向,【特别】在圆轨迹运动时,例题、,解：,求角动量和力矩,直角坐标系中力矩的分量式:,作用力和反作用力对同一参考点合力矩为零。 从而，质点系内力矩矢量和一定为零。,力矩为零的情况:,（1）力 等于零；,（2）力 的作用线与矢径 共线(即 ）即过0点的有心力,有心力： 物体所受的力始终指向（或背离）某一固定点,力心,按惯性定律知此时物体保持静止或者匀速直线状态,作用于质点的合力对参考点 O 的力矩 ，等于质点对该点 O 的角动量随时间的变化率.,二、质点的角动量定理(theorem of angular momentum),质点的角动量定理(theorem of angular momentum),质点角动量对时间的变化率等于作用于质点的力矩质点角动量定理的微分形式。 质点角动量的增量等于外力矩对质点的角冲量（冲量矩）角动量定理的积分形式,冲量矩,例 一半径为 R 的光滑圆环置于竖直平面内.一质量为 m 的小球穿在圆环上, 并可在圆环上滑动. 小球开始时静止于圆环上的点 A (该点在通过环心 O 的水平面上),然后从 A 点开始下滑.设小球与圆环间的摩擦略去不计.求小球滑到点 B 时对环心 O 的角动量和角速度.,质点的角动量定理,小球受重力和支持力作用,圆环的支持力为有心力，力矩为零；重力矩垂直纸面向里,由质点的角动量定理,质点的角动量定理,解,得,由题设条件积分上式,本题也可以用质点的功能原理求解。,因为,三、质点的角动量守恒定律,所以,角动量守恒定律,（2）力 的作用线与矢径 共线，即过0点 （即 ，有心力）,力矩为零的情况,（1）力 等于零；,这也是自然界普遍适用的一条基本规律。,如果作用于质点的合力矩不为零, 而合力矩沿z轴的分量为零,则,恒量 ( 当Mz = 0时 ),当质点所受对z轴的力矩为零时,质点对该轴的角动量保持不变质点对轴的角动量守恒定律。,例、,已知：地球 R=6378 km（地球均匀球体） 卫星 近地：h1= 439 km v1=8.1 km.s-1 远地: h2= 2384 km 求 ： v2=?,解：,由于卫星是在地球的万有引力有心力作用下运动，故卫星 m 对地心 o的 角动量守恒,近地,远地,例：行星运动的开普勒第二定律认为, 对于任一 行星, 由太阳到行星的径矢在相等的时间内扫过相等 的面积。试用角动量守恒定律证明之。,解:将行星看为质点,在dt 时间内以速度 完成的 位移为 ,矢径 在d t 时间内扫过的面积为dS（图中阴影）。,根据质点角动量的定义,则,矢径在单位时间内扫过的面积（称为掠面速度）,万有引力属于有心力, 行星相对于太阳所在处的 点O的角动量是守恒的, 即 = 恒矢量,故有,恒量,行星对太阳所在点O 的角动量守恒,不仅角动量的 大小不随时间变化, 即掠面速度恒定, 而且角动量 的方向也是不随时间变化的, 即行星的轨道平面在 空间的取向是恒定的。,例：质量为m的小球系于细绳的一端 ,绳的另一 端缚在一根竖直放置的细棒上, 小球被放在水平桌面上 内绕细棒旋转, 某时刻角速度为1，细绳的长度为r1。 当旋转了若干圈后, 由于细绳缠绕在细棒上, 绳长变 为r2, 求此时小球绕细棒旋转的角速度2 。,解：小球受力 绳子的张力 ,指向细棒； 重力 ，竖直向下；支撑力 ,竖直向上。 与绳子平行, 不产生力矩； 与 平衡，力矩始终为零。所以, 作用于小 球的力对细棒的力矩始终等于零, 故小 球对细棒的角动量必定是守恒的。,根据质点对轴的角动量守恒定律,式中v1是半径为r1时小球的线速度, v2是半径为r2时小球的线速度。,代入上式得,解得,可见, 由于细绳越转越短, , 小球的角速度 必定越转越大, 即 。,而,例：光滑的水平面上用一弹性绳（k）系一小球(m)。开始时，弹性绳自然伸长(L0)。今给小球与弹性绳垂直的初速度V0, 试求当弹性绳转过90度且伸长了L 时，小球的速度大小与方向。,习 题 训 练,解 由机械能守恒有：,如何求角度？,由于质点在有心力作用下运动，故角动量守恒。有：,解 设飞船在点 A 的速度 , 月球质量 mM ,由万有引力和牛顿定律,得,得,当飞船在A点以相对速度u 向外喷气的短时间里 , 飞船的质量减少了m 而为 , 并获得速度的增量 , 使飞船的速度变为 , 其值为,质量 在 A 点和 B 点只受有心力作用 , 角动量守恒,飞船在 A点喷出气体后, 在到达月球的过程中, 机械能守恒,即,于是,而,例3 质量很小长度为l 的均匀细杆,可绕过其中心 O并与纸面垂直的轴在竖直平面内转动.当细杆静止于水平位置时, 有一只小虫以速率 垂直落在距点O为 l/4 处, 并背离点O 向细杆的端点A 爬行.设小虫与细杆的质量均为m.问:欲使细杆以恒定的角速度转动, 小虫应以多大速率向细杆端点爬行?,解 小虫与细杆的碰撞视为完全非弹性碰撞，碰撞前后系统角动量守恒,系统角动量守恒,由角动量定理,即,考虑到,例4 一杂技演员 M 由距水平跷板高为 h 处自由下落到跷板的一端A,并把跷板另一端的演员N 弹了起来.设跷板是匀质的,长度为l,质量为 ,跷板可绕中部支撑点C 在竖直平面内转动,演员的质量均为m.假定演员M落在跷板上,与跷板的碰撞是完全非弹性碰撞.问演员N可弹起多高?,解 碰撞前 M 落在 A点的速度,碰撞后的瞬间, M、N具有相同的线速度,把M、N和跷板作为一个系统, 角动量守恒,解得,演员 N 以 u 起跳, 达到的高度,