2019-2020年高考数学 专题10.4 圆锥曲线的综合应用试题 文.doc

2019-2020年高考数学 专题10.4 圆锥曲线的综合应用试题 文【三年高考】1. 【xx山东，文21】在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:(ab0)的离心率为,椭圆C截直线y=1所得线段的长度为.()求椭圆C的方程；()动直线l:y=kx+m(m0)交椭圆C于A,B两点,交y轴于点M.点N是M关于O的对称点,圆N的半径为|NO|. 设D为AB的中点,DE,DF与圆N分别相切于点E,F,求EDF的最小值.【解析】（）由椭圆的离心率为，得，又当时，得，所以，因此椭圆方程为.（）设，联立方程，得，由 得 （*）且 ，因此 ，所以 ，又 ，所以 ，整理得： ，因为 ，所以 ，令 ，故 ，所以 .令 ，所以 .当时，,从而在上单调递增，因此 ，等号当且仅当时成立，此时，所以，由（*）得 且，故，设，则 ，所以得最小值为.从而的最小值为，此时直线的斜率时.综上所述：当，时，取得最小值为.2. 【xx天津，文20】已知椭圆的左焦点为，右顶点为，点的坐标为，的面积为.（I）求椭圆的离心率；（II）设点在线段上，延长线段与椭圆交于点，点，在轴上，且直线与直线间的距离为，四边形的面积为.（i）求直线的斜率；（ii）求椭圆的方程.（ii）解：由，可得，故椭圆方程可以表示为.由（i）得直线FP的方程为，与椭圆方程联立消去，整理得，解得（舍去），或.因此可得点，进而可得，所以.由已知，线段的长即为与这两条平行直线间的距离，故直线和都垂直于直线.因为，所以，所以的面积为，同理的面积等于，由四边形的面积为，得，整理得，又由，得.所以，椭圆的方程为.3 . 【xx高考山东文数】已知椭圆C:（ab0）的长轴长为4，焦距为2.（I）求椭圆C的方程；()过动点M(0，m)(m0)的直线交x轴与点N，交C于点A，P(P在第一象限)，且M是线段PN的中点.过点P作x轴的垂线交C于另一点Q，延长线QM交C于点B.(i)设直线PM、QM的斜率分别为k、k，证明为定值.(ii)求直线AB的斜率的最小值.【解析】()设椭圆的半焦距为c，由题意知，所以，所以椭圆C的方程为.()(i)设，由，可得 所以 直线PM的斜率 ，直线QM的斜率.此时，所以为定值.(ii)设，直线PA的方程为，直线QB的方程为.联立 ，整理得.由可得 ，所以，同理.所以， ，所以 由，可知，所以 ，等号当且仅当时取得.此时，即，符号题意.所以直线AB 的斜率的最小值为 .4【xx高考四川文科】已知椭圆E：的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点在椭圆E上.()求椭圆E的方程；()设不过原点O且斜率为的直线l与椭圆E交于不同的两点A，B，线段AB的中点为M，直线OM与椭圆E交于C，D，证明：【解析】（I）由已知，a=2b.又椭圆过点，故，解得.所以椭圆E的方程是.（II）设直线l的方程为， ，由方程组 得， 方程的判别式为，由，即，解得.由得.所以M点坐标为，直线OM方程为，由方程组得.所以.又.所以.5【xx高考上海文科】有一块正方形菜地,所在直线是一条小河，收货的蔬菜可送到点或河边运走。于是，菜地分为两个区域和，其中中的蔬菜运到河边较近，中的蔬菜运到点较近，而菜地内和的分界线上的点到河边与到点的距离相等，现建立平面直角坐标系，其中原点为的中点，点的坐标为（1,0），如图（1） 求菜地内的分界线的方程（2） 菜农从蔬菜运量估计出面积是面积的两倍，由此得到面积的“经验值”为。设是上纵坐标为1的点，请计算以为一边、另一边过点的矩形的面积，及五边形的面积，并判断哪一个更接近于面积的经验值【解析】（1）因为上的点到直线与到点的距离相等，所以是以为焦点、以为准线的抛物线在正方形内的部分，其方程为（）（2）依题意，点的坐标为所求的矩形面积为，而所求的五边形面积为矩形面积与“经验值”之差的绝对值为，而五边形面积与“经验值”之差的绝对值为，所以五边形面积更接近于面积的“经验值”6【xx高考新课标1，文5】已知椭圆E的中心为坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线的焦点重合，是C的准线与E的两个交点，则 ( )（A） （B） （C） （D）【答案】B7. 【xx高考山东，文21】平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率为，且点（，）在椭圆上.（）求椭圆的方程；（）设椭圆：，为椭圆上任意一点，过点的直线交椭圆于两点，射线交椭圆于点.（i）求的值；(ii)求面积的最大值.【解析】（I）由题意知又，解得，所以椭圆的方程为（II）由（I）知椭圆的方程为.（i）设由题意知.因为又，即所以，即（ii）设将代入椭圆的方程，可得，由可得 则有所以因为直线与轴交点的坐标为，所以的面积设将直线代入椭圆的方程，可得，由可得 由可知故.当且仅当，即时取得最大值由（i）知，的面积为，所以面积的最大值为8. 【xx高考重庆，文21】如题（21）图，椭圆（0）的左右焦点分别为,且过的直线交椭圆于P,Q两点，且PQ.()若|=2+，|=2-，求椭圆的标准方程.()若|PQ|=|，且，试确定椭圆离心率的取值范围.【解析】 (1)由椭圆的定义，设椭圆的半焦距为，由已知，因此即从而，故所求椭圆的标准方程为.(2)如题(21)图，由,得，由椭圆的定义，,进而，于是.解得，故.由勾股定理得,从而,两边除以，得,若记，则上式变成.由，并注意到关于的单调性，得，即，进而，即.9. 【xx高考四川，文20】如图，椭圆E：(ab0)的离心率是，点P(0，1)在短轴CD上，且1()求椭圆E的方程；()设O为坐标原点，过点P的动直线与椭圆交于A、B两点.是否存在常数，使得为定值？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.【解析】()由已知，点C，D的坐标分别为(0，b)，(0，b)，又点P的坐标为(0，1)，且1，于是，解得a2，b，所以椭圆E方程为.()当直线AB斜率存在时，设直线AB的方程为ykx1，A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，联立，得(2k21)x24kx20，其判别式(4k)28(2k21)0，所以，从而x1x2y1y2x1x2(y11)(y21)(1)(1k2)x1x2k(x1x2)1，所以，当1时，3，此时，3为定值，当直线AB斜率不存在时，直线AB即为直线CD，此时213，故存在常数1，使得为定值3.【xx考试大纲】【三年高考命题回顾】纵观前三年各地高考试题, 由定义法求曲线的方程、由已知条件直接求曲线的方程、直线与圆锥曲线、圆锥曲线间的综合等是高考的热点，题型大多为解答题，难度为中档题或难题，主要考查求曲线轨迹方程的方法，圆锥曲线的定义与性质应用，各圆锥曲线间的联系，直线与圆锥曲线间的位置关系及弦长问题、最值问题、定点定值的探索问题等，其中直线与椭圆的位置关系、直线与抛物线的位置关系是考查的重点和热点，考查的知识点多，能力要求高，尤其是运算变形能力，分析问题与解决综合问题的能力，是高考中区分度较大的题目.【xx年高考复习建议与高考命题预测】由前三年的高考命题形式,椭圆、双曲线、抛物线的性质综合问题是高考考试的重点，每年必考，一般是两小一大的布局，试题难度往往是有一道基础题，另一道是提高题，难度中等以上，有时作为把关题考查方面离心率是重点，其它利用性质求圆锥曲线方程，求焦点三角形的周长与面积，求弦长，求圆锥曲线中的最值或范围问题，过定点问题，定值问题等从近三年的高考试题来看，小题中双曲线的定义、标准方程及几何性质是高考的热点，题型大多为选择题、填空题，难度为中等偏低，主要考查双曲线的定义及几何性质，考查基本运算能力及等价转化思想，而椭圆、抛物线的性质一般，一道小题，一道解答题，难度中等，有时作为把关题存在，而且三大曲线几乎年年都考，故预测xx年求曲线的方程和研究曲线的性质、直线与圆锥曲线、圆锥曲线间的综合等仍是高考的热点，题型大多为解答题，难度为仍中档题或难题，仍主要考查求曲线轨迹方程的方法，圆锥曲线的定义与性质应用，各圆锥曲线间的联系，直线与圆锥曲线间的位置关系及弦长问题、最值问题、定点定值的探索问题等，其中直线与椭圆的位置关系、直线与抛物线的位置关系仍是考查的重点和热点，考查的知识点仍然较多，能力要求高，尤其是运算变形能力，分析问题与解决综合问题的能力，仍是高考中区分度较大的题目，在备考时，熟练掌握求曲线方程的常用方法，掌握直线与圆锥曲线问题的常见题型与解法，加大练习力度，提高运算能力和综合运用知识分析解决问题能力，要特别关注与向量、导数等知识的结合，关注函数思想、数形结合思想及分类讨论思想等数学思想在解题中的应用 【xx年高考考点定位】高考对圆锥曲线综合问题的考查有三种主要形式：一是考查求曲线方程；二是考查圆锥曲线间的知识运用；三是直线与圆锥曲线的位置关系，这是高考中考查的重点和难点，主要涉及的题型为中点弦问题、最值与取值范围问题、定点与定值问题、探索性问题，从涉及的知识上讲，常与平面向量、函数与导数、方程、不等式等知识相联系，考查知识点多，运算量大，能力要求高，难度大是这种题型的一大特征.【考点1】求轨迹方程【备考知识梳理】1曲线与方程在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作满足某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上那么，这个方程叫做这条曲线的方程；这条曲线叫做这个方程的曲线.2直接法求动点的轨迹方程的一般步骤(1)建系建立适当的坐标系(2)设点设轨迹上的任一点P(x，y)(3)列式列出动点P所满足的关系式(4)代换依条件式的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为x，y的方程式，并化简(5)证明证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程【规律方法技巧】1. 求轨迹方程的常用方法一般分为两大类，一类是已知所求曲线的类型，求曲线方程先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数待定系数法；另一类是不知曲线类型常用的方法有：(1)直接法：直接利用条件建立x，y之间的关系F(x，y)0；(2)定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；(3)代入法(相关点法)：动点P(x，y)依赖于另一动点Q(x0，y0)的变化而变化，并且Q(x0，y0)又在某已知曲线上，则可先用x，y的代数式表示x0，y0，再将x0，y0代入已知曲线得要求的轨迹方程；(4)参数法：当动点P(x，y)坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将x，y均用一中间变量(参数)表示，得参数方程，再消去参数得普通方程2. 求点的轨迹与求轨迹方程是不同的要求，求轨迹时，应先求轨迹方程，然后根据方程说明轨迹的形状、位置、大小等【考点针对训练】1. 【湖南省衡阳市xx届高三第三次联考】已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点绕点逆时针方向旋转角得到点.设平面内曲线上的每一点绕原点沿逆时针方向旋转后得到点的轨迹是曲线，则原来曲线的方程是（ ）A. B. C. D. 【答案】A2. 【福建省三明市xx届5月质量检查】已知直线与抛物线相切，且与轴的交点为，点.若动点与两定点所构成三角形的周长为6() 求动点的轨迹的方程；() 设斜率为的直线交曲线于两点，当，且位于直线的两侧时，证明： .【解析】() 因为直线与抛物线相切，所以方程有等根， 则，即，所以 又因为动点与定点所构成的三角形周长为6,且，所以 根据椭圆的定义，动点在以为焦点的椭圆上，且不在轴上，所以，得，则，即曲线的方程为（）. ()设直线方程 ，联立 得，=-3+120，所以， 此时直线与曲线有两个交点, ，设 ， ，则， ，不妨取，要证明恒成立，即证明，即证，也就是要证即证由韦达定理所得结论可得此式子显然成立，所以成立.【考点2】圆锥曲线间的综合【备考知识梳理】1.要熟记椭圆的定义、标准方程与几何性质.2.要熟练掌握双曲线的定义、标准方程与几何性质.3.要熟练掌握抛物线的定义、标准方程与几何性质.【规律方法技巧】1. 解圆锥曲线间的综合问题时，要结合图像进行分析，理清所涉及到圆锥曲线间基本量之间的关系，实现不同曲线间基本量的转化.2.熟练掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程、简单几何性质是解题的关键.【考点针对训练】1. 【xx届四川省资阳市高三一模】已知双曲线的右顶点为，抛物线的焦点为若在的渐近线上存在点，使得，则的离心率的取值范围是 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由题意得， ，设，由，得 ,因为在的渐近线上存在点，则，即 ，又因为为双曲线，则 ，故选B.2. 【安徽省亳州市xx届高三质量检测】已知抛物线，直线倾斜角是且过抛物线的焦点，直线被抛物线截得的线段长是16，双曲线： 的一个焦点在抛物线的准线上，则直线与轴的交点到双曲线的一条渐近线的距离是（ ）A. 2 B. C. D. 1【答案】D【考点3】直线与圆锥曲线位置关系的综合问题【备考知识梳理】1.将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去y得到关于x的方程.(1) 若0，当0时，直线与圆锥曲线有两个交点.当=0时，直线与圆锥曲线有且只有一个公共点，此时直线与双曲线相切. 当0时，直线与圆锥曲线无公共点.（2）当=0时，若圆锥曲线为双曲线，则直线与双曲线只有一个交点，此时直线与双曲线的渐近线平行；若圆锥曲线为抛物线，则直线与抛物线只有一个交点，此时直线与抛物线的对称轴平行.（3）设直线与圆锥曲线的交点A（，），B（，），则，.2. 直线ykxb(k0)与椭圆相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则弦长|AB| |x1x2| |y1y2|.【规律方法技巧】1.在处理直线与圆锥曲线的位置关系问题时，常用设而不求法，即常将圆锥曲线与直线联立，消去（或）化为关于（或）的一元二次方程，设出直线与圆锥曲线的交点坐标，则交点的横（纵）坐标即为上述一元二次方程的解，利用根与系数关系，将，表示出来，注意判别式大于零不能丢，然后根据问题，再通过配凑将其化为关于与的式子，将，代入再用有关方法取处理，注意用向量法处理共线问题、垂直问题及平行问题.2.再处理直线与圆锥曲线位置关系问题时，首先确定直线的斜率，若不能确定，则需要分成直线斜率存在与不存在两种情况讨论，也可以将直线方程设为，避免分类讨论.3.定点与定值问题处理方法有两种：（1）从特殊入手，求出定点（定值），再证明这个定点（定值）与变量无关.(2)直接推理、计算，并在计算过程中消去变量，从而得到定点（定值）.4.最值问题常见解法有两种：（1）几何法：若题中的条件与结论有明显的几何特征和意义，则考虑利用图形的几何性质来解决，如三角不等式、圆锥曲线的定义等.(2)代数法：利用相关知识和方法结合题中的条件，建立目标函数，利用函数的性质、不等式或导数知识求出这个函数的最值.5.参数范围问题常见解法有两种：（1）不等式法：利用题意结合图形列出所讨论参数满足的不等式（组），通过解不等式（组）解出参数的范围，注意判别式大于0不能遗漏.(2)函数最值法：利用题中条件和相关知识，将所讨论参数表示为某个变量的函数，通过讨论这个函数的值域求出该参数的范围.6.对探索性问题，先假设存在，依此为基础推理，若推出矛盾，则不存在，求出值，则存在.7. 直线与圆锥曲线位置关系中的中点弦问题常用点差法和参数法.【考点针对训练】1.【安徽省淮北市xx届高三最后一卷】已知抛物线，过点作抛物线的两条切线， 为切点，若直线经过抛物线的焦点， 的面积为，则以直线为准线的抛物线标准方程是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由抛物线的对称性知， ，则，解得，直线方程为，所以所求抛物线标准方程为，故选D2.【xx届河河南省郑州一中等高三百校联考】已知椭圆： 的离心率为，且过点.（）求椭圆的方程；（）过点任作一条直线与椭圆相交于， 两点，试问在轴上是否存在定点，使得直线与直线关于轴对称？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.【解析】（）由题意得，故椭圆的方程为.（）假设存在点满足题设条件.当直线与轴不垂直时，设的方程为，代入椭圆方程化简得： ，设， ，则， ，所以 ，因为 ，所以当时， ，直线与直线关于轴对称，当轴时，由椭圆的对称性可知恒有直线与直线关于轴对称，综上可得，在轴上存在定点，使得直线与直线关于轴对称.【应试技巧点拨】 求圆锥曲线方程的方法求曲线方程的常见方法：(1)直接法：直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程 (2)定义法：若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义(如椭圆、双曲线、抛物线、圆等)，可用定义直接探求 (3)相关点法：即利用动点是定曲线上的动点，另一动点依赖于它，那么可寻求它们坐标之间的关系，然后代入定曲线的方程进行求解根据相关点所满足的方程，通过转换而求动点的轨迹方程 (4)参数法：若动点的坐标()中的分别随另一变量的变化而变化，我们可以以这个变量为参数，建立轨迹的参数方程.根据题中给定的轨迹条件，用一个参数来分别动点的坐标，间接地把坐标联系起来，得到用参数表示的方程.如果消去参数，就可以得到轨迹的普通方程.注意：(1)求曲线的轨迹与求曲线的轨迹方程的区别：求曲线的轨迹是在求出曲线轨迹方程后，再进一步说明轨迹是什么样的曲线.(2)求轨迹方程，一定要注意轨迹的纯粹性和完备性.要注意区别“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念. (5)待定系数法：顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线，可设为或()，避开对焦点在哪个半轴上的分类讨论，此时不具有的几何意义中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，椭圆方程可设为 ()，双曲线方程可设为 ()这样可以避免繁琐的计算利用以上设法，根据所给圆锥曲线的性质求出参数，即得方程2最值或范围问题的解决方法解析几何中的最值问题涉及的知识面较广，解法灵活多样，但最常用的方法有以下几种：(1)利用函数，尤其是二次函数求最值；(2)利用三角函数，尤其是正、余弦函数的有界性求最值；(3)利用不等式，尤其是基本不等式求最值；(4)利用判别式求最值；(5)利用数形结合，尤其是切线的性质求最值3求定值问题的方法定值问题是解析几何中的一种常见问题，基本的求解方法是：先用变量表示所需证明的不变量，然后通过推导和已知条件，消去变量，得到定值，即解决定值问题首先是求解非定值问题，即变量问题，最后才是定值问题4 有关弦的问题(1)有关弦长问题，应注意运用弦长公式及根与系数的关系，“设而不求”；有关焦点弦长问题，要重视圆锥曲线定义的运用，以简化运算斜率为的直线与圆锥曲线交于两点，则所得弦长或，其中求与时通常使用根与系数的关系，即作如下变形：，.当斜率不存在时，可求出交点坐标，直接运算(利用两点间距离公式)(2)弦的中点问题有关弦的中点问题，应灵活运用“点差法”，“设而不求法”来简化运算5.圆锥曲线的定义反映了它们的基本特征，理解定义是掌握其性质的基础.因此，对于圆锥曲线的定义不仅要熟记，还要深入理解细节部分：比如椭圆的定义中要求，双曲线的定义中要求.6.解决直线与圆锥曲线位置关系问题的步骤：(1)设方程及点的坐标；(2)联立直线方程与曲线方程得方程组，消元得方程(注意二次项系数是否为零)；(3)应用根与系数的关系及判别式；(4)结合已知条件、中点坐标公式、斜率公式及弦长公式求解7.解析几何解题的基本方法解决圆锥曲线综合题，关键是熟练掌握每一种圆锥曲线的定义、标准方程、图形与几何性质，注意挖掘知识的内在联系及其规律，通过对知识的重新组合，以达到巩固知识、提高能力的目的.综合题中常常离不开直线与圆锥曲线的位置，因此，要树立将直线与圆锥曲线方程联立，应用判别式、韦达定理的意识.解析几何应用问题的解题关键是建立适当的坐标系，合理建立曲线模型，然后转化为相应的代数问题作出定量或定性的分析与判断.常用的方法：数形结合法，以形助数，用数定形. 在与圆锥曲线相关的综合题中，常借助于“平面几何性质”数形结合(如角平分线的双重身份对称性、利用到角公式)、“方程与函数性质”化解析几何问题为代数问题、“分类讨论思想”化整为零分化处理、“求值构造等式、求变量范围构造不等关系”等等.8.避免繁复运算的基本方法可以概括为：回避，选择，寻求.所谓回避，就是根据题设的几何特征，灵活运用曲线的有关定义、性质等，从而避免化简方程、求交点、解方程等繁复的运算.所谓选择，就是选择合适的公式，合适的参变量，合适的坐标系等，一般以直接性和间接性为基本原则.因为对普通方程运算复杂的问题，用参数方程可能会简单；在某一直角坐标系下运算复杂的问题，通过移轴可能会简单；在直角坐标系下运算复杂的问题，在极坐标系下可能会简单“所谓寻求”.9. 解析几何与向量综合时可能出现的向量内容：（1）给出直线的方向向量或；（2）给出与相交,等于已知过的中点;（3）给出,等于已知是的中点;（4）给出,等于已知与的中点三点共线;（5） 给出以下情形之一：；存在实数；若存在实数,等于已知三点共线；（6） 给出，等于已知是的定比分点，为定比，即；（7） 给出,等于已知,即是直角,给出,等于已知是钝角, 给出,等于已知是锐角；（8）给出,等于已知是的平分线；（9）在平行四边形中，给出，等于已知是菱形;（10）在平行四边形中，给出，等于已知是矩形;（11）在中，给出，等于已知是的外心（三角形外接圆的圆心，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点）；（12）在中，给出，等于已知是的重心（三角形的重心是三角形三条中线的交点）；（13）在中，给出，等于已知是的垂心（三角形的垂心是三角形三条高的交点）；（14）在中，给出等于已知通过的内心；（15）在中，给出等于已知是的内心（三角形内切圆的圆心，三角形的内心是三角形三条角平分线的交点）；（16）在中，给出,等于已知是中边的中线.10定点、定值问题必然是在变化中所表现出来的不变的量，那么就可以用变化的量表示问题的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系不受变化的量所影响的一个点、一个值，就是要求的定点、定值化解这类问题难点的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量11解决圆锥曲线中最值、范围问题的基本思想是建立目标函数和建立不等关系，根据目标函数和不等式求最值、范围，因此这类问题的难点，就是如何建立目标函数和不等关系建立目标函数或不等关系的关键是选用一个合适变量，其原则是这个变量能够表达要解决的问题，这个变量可以是直线的斜率、直线的截距、点的坐标等，要根据问题的实际情况灵活处理. 1. 【xx届云南省师范大学附中高三适应性（五）】已知抛物线的焦点为，准线为，抛物线的对称轴与准线交于点， 为抛物线上的动点， ，当最小时，点恰好在以为焦点的椭圆上，则椭圆的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由已知， ，过点作垂直于准线，则记，则，当最小时， 有最小值，此时直线 与抛物线相切于点设，可得，所以，则， ，故选D2. 【江西省南昌市xx届高三三模】已知是椭圆和双曲线的公共焦点， 是它们的一个公共点，且，则椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B3.【河南省新乡市xx届高三三模】在平面直角坐标系中，双曲线： 与圆： 相切， ， ，若圆上存在一点满足，则点到轴的距离为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】联立双曲线： 与圆： ，消去 得双曲线与圆相切，判别式 ，易知 分别为双曲线的左右焦点，又，故由双曲线的定义知在双曲线上，且为右切点，由韦达定理得 即点到轴的距离为 故选：A4. 【xx届陕西省渭南市高三二模】已知分别是双曲线的左、右焦点，若点关于直线的对称点恰好落在以为圆心， 为半径的圆上，则双曲线的离心率为 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由题意可知直线为的中位线所在线，所以直线为圆的切线， ，所以直线的倾斜角为， ，选B.5.【云南省昆明市xx届高三5月二检】设为抛物线的焦点，曲线与相交于点，直线恰与曲线相切于点， 交的准线于点，则等于（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由解得，又对， ，所以，化简得，所以， ，故选B6.【河北省石家庄市xx届高三二模】如图，两个椭圆的方程分别为和（， ），从大椭圆两个顶点分别向小椭圆引切线、，若、的斜率之积恒为，则椭圆的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由题意知，外层椭圆方程为 ，设切线的方程为代入内层椭圆消去得: 由化简得同理得所以选A.7. 【xx届安徽省宣城市高三二模】如图，已知椭圆： 的离心率为， 、为椭圆的左右顶点，焦点到短轴端点的距离为2， 、为椭圆上异于、的两点，且直线的斜率等于直线斜率的2倍（）求证：直线与直线的斜率乘积为定值；（）求三角形的面积的最大值【解析】（），故（）当直线的斜率存在时，设： 与轴的交点为，代入椭圆方程得，设， ，则， ，由，得，得，得或 或，所以过定点或，点为右端点，舍去， ，令（）， ， ，当直线的斜率不存在时， ， ，即，解得， ，所以的最大值为. 8. 【黑龙江省大庆学xx届高三考前得分训练】已知椭圆的离心率为，四个顶点构成的菱形的面积是4，圆过椭圆的上顶点作圆的两条切线分别与椭圆相交于两点（不同于点），直线的斜率分别为.（1）求椭圆的方程；（2）当变化时，求的值；试问直线是否过某个定点？若是，求出该定点；若不是，请说明理由.【解析】（1）由题设知， ， ，又，解得.故所求椭圆的方程是.（2），则有，化简得，对于直线，同理有，于是是方程的两实根，故.考虑到时，是椭圆的下顶点，趋近于椭圆的上顶点，故若过定点，则猜想定点在轴上.由，得，于是有.直线的斜率为，直线的方程为，令，得，故直线过定点.9. 【xx届山东省济宁市高三3月模拟】在平面直角坐标系中，椭圆： 的离心率是，且直线： 被椭圆截得的弦长为（）求椭圆的标准方程；（）若直线与圆： 相切：（i）求圆的标准方程；（ii）若直线过定点，与椭圆交于不同的两点、，与圆交于不同的两点、，求的取值范围（ii）由题可得直线的斜率存在，设： ，与椭圆的两个交点为、，由消去得，由，得， ，又圆的圆心到直线： 的距离，圆截直线所得弦长，设， ，则，的对称轴为，在上单调递增， ，10.【重庆市xx届高三二模】已知椭圆的离心率为，椭圆和抛物线交于两点，且直线恰好通过椭圆的右焦点，（1）求椭圆的标准方程；（2）经过的直线和椭圆交于两点,交抛物线于两点， 是抛物线的焦点，是否存在直线，使得,若存在，求出直线的方程，若不存在，说明理由。【解析】（1）由知，可设，其中，由已知，代入椭圆中得： 即，解得，从而，故椭圆方程为 （2）易知，直线的斜率存在。设直线为， ， ， ， 。由条件知。，故。由， ， ，。存在直线： 或者满足条件。11. 【山西省榆林市高三第二次模拟】已知抛物线的准线与双曲线交于、两点，点为抛物线的焦点，若为直角三角形，则双曲线离心率为（ ）A B C D【答案】C【解析】由题意得：而，选C.12. 【xx年山西省四校高三联考】已知双曲线的两顶点为，虚轴两端点为，两焦点为，. 若以为直径的圆内切于菱形，则双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】双曲线的虚轴两端点为，两焦点为，可得直线的方程为，即双曲线的两顶点为，以为直径的圆内切于菱形，点到直线的距离等于半径，即，化简得，上式化简为，整理得两边都除以，得，解之得，双曲线的离心率，可得，故答案为C.13.【xx届天津市和平区高三第四次模拟】已知双曲线的渐近线上的一点到其右焦点的距离等于2，抛物线过点，则该抛物线的方程为（ ）A B C D【答案】B14. 【xx届广西柳州市高三下4月模拟理】在平面直角坐标系中，动点到点的距离与它到直线的距离之比为.（1）求动点的轨迹的方程；（2）设直线与曲线交于两点，与轴、轴分别交于两点（且在之间或同时在之外）. 问：是否存在定值，对于满足条件的任意实数，都有的面积与的面积相等，若存在，求的值；若不存在，说明理由.【解析】（1）设，则，整理得.轨迹的方程为.（2）联立消去得：，由得 （）设，则.由题意，不妨设，,的面积与的面积总相等恒成立线段的中点与线段的中点重合.，解得，即存在定值，对于满足条件，且（据（）的任意实数，都有的面积与的面积相等.15. 【xx届陕西省安康市高三第三次联考理】如图, 在平面直角坐标系中, 抛物线的准线与轴交于点,过点的直线与抛物线交于两点, 设到准线的距离.（1）若,求抛物线的标准方程；（2）若,求证：直线的斜率的平方为定值.【解析】（1）,设抛物线的焦点为,即轴, 即,得,所以抛物线的方程为.（2）设,直线的方程为,将直线的方程代入,消去得,由得.所以.,又,所以,所以,即直线的斜率的平方为定值. 【一年原创真预测】1. 如图，已知双曲线的左、右焦点分别为、，左、右顶点分别为、，在双曲线上，且轴，直线，与轴分别交于，两点，若，则双曲线的渐近线被圆：所截弦长为ABC. D【答案】D【解析】由已知，.由可得，即，解得.由可得，即，解得.由已知.解得.所以，故.该双曲线的渐近线方程为.而圆的圆心为，半径，由圆与双曲线的对称性可知，两渐近线被圆所截弦长相等，而圆心到渐近线的距离.所以渐近线被圆所截弦长为.【入选理由】本题考查双曲线的定义、方程与几何性质以及直线和圆的位置关系等，意在考查基本的逻辑推理与运算能力、数形结合的数学思想等.本题是双曲线与线和圆结合，体现学科内综合,故选此题.2. 已知双曲线的标准方程，直线与双曲线交于不同的两点，若两点在以点为圆心的同一个圆上，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. ，或【答案】D【解析】联立，得，首先应有，即（），设点，线段的中点为，由根与系数的关系得，所以，所以点，所以直线的斜率为， 由题意应有直线与直线垂直，所以，即，化简得，因为，所以，解得将代入（）式得，解得或故的取值范围是，或故选D.【入选理由】本题考查直线与双曲线的位置关系等基础知识，意在考查学生的分析问题、解决问题的能力，基本运算能力及推理能力本题是双曲线与圆结合，体现学科内综合,故选此题.3已知一抛物线的焦点为，其对称轴与准线的交点为，在抛物线上且满足，当取最大值时，点恰好在以为焦点的双曲线上，则双曲线的渐近线为（A）（B）（C）（D）【答案】C【解析】由题意得抛物线的标准方程为，过点作准线的垂线，垂足为，则由抛物线的定义可得，又由得，所以，设直线的倾斜角为，则，当取最大值时，最小，此时直线与抛物线相切，设直线的方程为，代入，可得，即，所以，所以，所以，所以双曲线中，进而可得，所以该双曲线的渐近线方程为，故选C【入选理由】本题考查抛物线与双曲线的定义、方程与几何性质等，意在考查基本的逻辑推理与运算能力、数形结合的数学思想等本题是抛物线与双曲线结合，体现学科内综合,故选此题.4. 已知是椭圆：的左，右焦点（1）当时，若是椭圆上在第一象限内的一点，且，求点的坐标；（2）当椭圆的焦点在轴上且焦距为2时，若直线：与椭圆相交于两点，且，求证：的面积为定值【解析】（1）当时，椭圆方程为，则设，则，由，得，与椭圆方程联立解得，即点的坐标为 （2）当椭圆的焦距为2时，则，所以椭圆的方程为由得：，由，得，又点到直线的距离，即的面积为定值 【入选理由】本题主要考查椭圆方程与几何性质、直线与椭圆的位置关系等基础知识，意在考查逻辑思维与推证能力、分析与解决问题的能力、运算求解能力本题是综合性较强，体现压柱题作用，故选此题.5. 已知椭圆：的左焦点为，设是椭圆的两个短轴端点，是椭圆的长轴左端点（）当时，设点，直线交椭圆于，且直线的斜率分别为，求的值；（）当时，若经过的直线与椭圆交于两点，O为坐标原点，求与的面积之差的最大值【解析】（）由条件，不妨设，则直线的斜率为，所以直线的方程为，代入，得，解得，所以，所以 【入选理由】本题考查椭圆的方程与几何性质、直线斜率、直线与椭圆的位置关系，以及考查逻辑思维能力、分析与解决问题的综合能力、运算求解能力、方程思想与分类讨论的思想本题是综合性较强，体现压柱题作用，故选此题.