2019-2020年高中数学 3.2.3用向量方法求空间中的角课后习题 新人教A版选修2-1.doc

2019-2020年高中数学 3.2.3用向量方法求空间中的角课后习题 新人教A版选修2-1课时演练促提升1.已知A(0,1,1),B(2,-1,0),C(3,5,7),D(1,2,4),则直线AB和直线CD所成角的余弦值为()A.B.-C.D.-解析:=(2,-2,-1),=(-2,-3,-3),而cos=,故直线AB和CD所成角的余弦值为.答案:A2.若直线l的方向向量与平面的法向量的夹角等于120,则直线l与平面所成的角等于()A.120B.60C.30D.以上均错解析:l的方向向量与平面的法向量的夹角为120,它们所在直线的夹角为60.则直线l与平面所成的角为90-60=30.答案:C3.若二面角-l-的大小为120,那么平面与平面的法向量的夹角为()A.120B.60C.120或60D.30或150解析:二面角为120时,其法向量的夹角可能是60,也可能是120.答案:C4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是AB的中点,则sin的值为()A.B.C.D.解析:如图,以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系.设正方体的棱长为1,则D(0,0,0),B1(1,1,1),C(0,1,0),M,=(1,1,1),cos=,sin=.答案:B5.如图,过边长为1的正方形ABCD的顶点A作线段EA平面ABCD,若EA=1,则平面ADE与平面BCE所成的二面角的大小是()A.120B.45C.135D.60解析:以A为原点,分别以AB,AD,AE所在直线为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则E(0,0,1),B(1,0,0),C(1,1,0),则=(1,0,-1),=(1,1,-1).设平面BCE的法向量为n=(x,y,z).则有可取n=(1,0,1),又平面EAD的法向量为=(1,0,0),所以cosn,=,故平面ADE与平面BCE所成的二面角为45.答案:B6.在正四棱锥P-ABCD中,高为1,底面边长为2,E为BC的中点,则异面直线PE与DB所成的角为.解析:建立空间直角坐标系如图,则B(1,1,0),D(-1,-1,0),E(0,1,0),P(0,0,1),故=(2,2,0),=(0,1,-1).从而cos=,即=.于是PE与DB所成的角为.答案:7.若空间直线l的方向向量为t,平面的法向量为n,t与n的夹角,则l与所成角为.解析:如图可知,l与所成角为-.答案:-8.如图,已知ABC-A1B1C1是直三棱柱,ACB=90,点D1,F1分别是A1B1,A1C1的中点,BC=CA=CC1,求BD1与AF1所成角的余弦值.解:如图,以C为原点,CA,CB,CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,设CB=CA=CC1=1,则A(1,0,0),B(0,1,0),D1,F1,则.故|=,|=,则cos=.于是BD1与AF1所成角的余弦值为.9.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为AA1,AB的中点,求EF和平面ACC1A1夹角的大小.解:建立如图的空间直角坐标系,设正方体棱长为2,则由E,F分别是AA1,AB的中点,得E(2,0,1),F(2,1,0).过F作FGAC于G,则由正方体性质知FG平面ACC1A1.连接EG,则的夹角即为所求,又因为F是AB的中点,所以AG=AC,所以G=(0,1,-1).cos=.=,即EF与平面ACC1A1的夹角为.10.在如图所示的几何体中,四边形ABCD是等腰梯形,ABCD,DAB=60,FC平面ABCD,AEBD,CB=CD=CF.(1)求证:BD平面AED;(2)求二面角F-BD-C的余弦值.(1)证明:四边形ABCD是等腰梯形,ABCD,DAB=60,ADC=BCD=120.又CB=CD,CDB=30.ADB=90,即ADBD.又AEBD,且AEAD=A,AE平面AED,AD平面AED,BD平面AED.(2)解:由(1)知ADBD,ACBC.又FC平面ABCD,因此CA,CB,CF两两垂直.以C为坐标原点,分别以CA,CB,CF所在直线为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.不妨设CB=1,则C(0,0,0),B(0,1,0),D,F(0,0,1),因此=(0,-1,1).设平面BDF的一个法向量为m=(x,y,z),则m=0,m=0,即x-y=0,-y+z=0,所以x=y=z.令z=1,得m=(,1,1).由于=(0,0,1)是平面BDC的一个法向量,则cos=,故二面角F-BD-C的余弦值为.B组1.已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=2,E是侧棱BB1的中点.则直线AE与平面A1ED1所成角的大小为()A.60B.90C.45D.以上都不正确解析:以点D为原点,分别以DA,DC,DD1所在直线为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,如图.由题意知,A1(1,0,2),E(1,1,1),D1(0,0,2),A(1,0,0),所以=(0,1,-1),=(1,1,-1),=(0,-1,-1).设平面A1ED1的一个法向量为n=(x,y,z),则令z=1,得y=1,x=0,所以n=(0,1,1),cos=-1.所以=180.所以直线AE与平面A1ED1所成的角为90.答案:B2.在空间中,已知平面过点(3,0,0)和(0,4,0)及z轴上一点(0,0,a)(a0),如果平面与平面xOy的夹角为45,则a=.解析:平面xOy的法向量为n=(0,0,1),设平面的法向量为u=(x,y,z),则则3x=4y=az,取z=1,则u=,而cos=.又a0,故a=.答案:3.在四面体ABCD中,O是BD的中点,|CA|=|CB|=|CD|=|BD|=2,|AB|=|AD|=,则异面直线AB与CD所成的角的余弦值是.解析:以O为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则点B(1,0,0),D(-1,0,0),C(0,0),A(0,0,1),=(-1,0,1),=(-1,-,0).所以cos=.故异面直线AB与CD所成的角的余弦值为.答案:4.在底面为平行四边形的四棱锥P-ABCD中,ABAC,PA平面ABCD,且PA=AB,E是PD的中点,求二面角E-AC-D的大小.解:如图,以A为原点,分别以AC,AB,AP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.设PA=AB=a,AC=b.连接BD与AC交于O,取AD中点F,连接OE,OF,EF,则C(b,0,0),B(0,a,0),.D(b,-a,0),P(0,0,a).E,O=(b,0,0),=0,=0.EOF为二面角E-AC-D的平面角.cos=.二面角E-AC-D的大小为45.5.如图,已知点P在正方体ABCD-ABCD的对角线BD上,PDA=60.(1)求DP与CC所成角的大小;(2)求DP与平面AADD所成角的大小.解:如图,以D为原点,DA为单位长度建立空间直角坐标系Dxyz.则=(1,0,0),=(0,0,1).连接BD,BD.在平面BBDD中,延长DP交BD于点H.设=(m,m,1)(m0),由已知=60,由=|cos,可得2m=,解得m=,所以.(1)因为cos=,所以=45,即DP与CC所成的角为45.(2)平面AADD的一个法向量是=(0,1,0).因为cos=,所以=60.故DP与平面AADD所成的角为30.6.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA平面ABCD,ACAD,ABBC,BAC=45,PA=AD=2,AC=1.(1)求证:PCAD;(2)求二面角A-PC-D的正弦值;(3)若E为棱PA上的点,且异面直线BE与CD所成的角为30,求AE的长.解:如图,以点A为原点,AD,AC,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,由题意得A(0,0,0),D(2,0,0),C(0,1,0),B,P(0,0,2).(1)证明:易得=(0,1,-2),=(2,0,0),于是=0,所以PCAD.(2)=(0,1,-2),=(2,-1,0).设平面PCD的法向量n=(x,y,z),则不妨令z=1,可得n=(1,2,1).可取平面PAC的法向量m=(1,0,0).于是cos=,从而sin=.所以二面角A-PC-D的正弦值为.(3)设点E的坐标为(0,0,h),其中h0,2.由此得=(2,-1,0),故cos=.所以=cos 30=,解得h=,即AE的长为.