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运用平方差公式分解因式,1、能用提取公因式法将a2-b2分解因式吗？,多项式 a2-b2,2、能不能说多项式a2-b2不能进行分解因式?,根据乘法运算：哪两个整式的积等于a2-b2?,=a2-b2,(a-b),(a+b),(a+b),(a-b),( ? ) ( ? ),( ? ) ( ? ),平方差公式反过来就是说：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积,a - b = (a+b)(a-b),因式分解,平方差公式： (a+b)(a-b) = a - b,整式乘法,设问：,1、等式两边有什么不同？,答：左边是两因式的积，右边是多项式,2、从左到右的恒等变形叫什么？,答：多项式乘法,3、从右到左的恒等变形叫什么？,答：因式分解,4、这种因式分解是根据什么方法进行的？,答：平方差公式,(a+b) (a-b),=,a2-b2,(a+b) (a-b),a2-b2,=,a2,a2,b2,b2,(a+b) (a-b),举例:,将下列各式分解因式：,m2-16,=m2-42=(m+4) (m-4),这种分解因式的方法称为运用公式法 .,将乘法公式反过来用，进行因式分解的， 这种因式分解的方法称为公式法。,公式：a2-b2=（a+b）(a-b),平方差公式的项、指数、符号有什么特点？,左边是,右边是,每项都是平方的形式,两项的符号相反,一个因式是两数的和,另一个因式是这两个数的差,在乘法公式中，“平方差”是计算结果； 在因式分解中，“平方差”是要分解的多项式。,二项式,两个多项式的积,x216,练习：分解下列各式:,（1）x2-16,解：(1),（2）9m2-4n2,x,x,a2,b2,a,a,b,b,x2 42,42,x2,(2) 9m2-4n2,3m,3m,( ) ( ),a2,a,a,b,b,(3m)2 (2n)2,(2n)2,(3m)2,b2,2n,2n,总 结：,用平方差公式分解因式的基本 思路与方法的分析思考过程,判断：观察判断要分解的多项式 是否符合平方差公式特点。,转换：根据换元思想把要分解的 多项式化成基本型（符合 公式的形式）,分解：运用公式进行分解写出结果,练习：,把下列各式右边的括号内填入适当的 单项式（系数取正数）使左边与右边 相等。,2x,5m,6a2,0.7b,9n3,（1）4x2=（ ）2 （2）25m2=（ ）2 （3）36a4=（ ）2 （4）0.49b2=（ ）2 （5）81n6=（ ）2 （6） c2=（ ）2 (7) 64x2y2=（ ）2 (8) 100p4q2=（ ）2,c,8xy,10p2q,例 分解因式: (1)x4y4; (2) a3b ab.,分析:(1)x4y4写成(x2)2 (y2)2的形式，这样就可以利用平方差公式进行因式分解了. (2)a3bab有公因式ab，应先提出公因式,再进一步分解.,解:(1) x4y4 = (x2+y2)(x2y2) = (x2+y2)(x+y)(xy).,(2) a3bab =ab(a2 1) =ab(a+1)(a 1).,分解因式必须进行到每一个多项式都不能再分解为止.,例1.把下列各式分解因式 （1）16a- 1 ( 2 ) 4x- mn ( 3 ) x - y,9,25,1,16,( 4 ) 9x + 4,解：1）16a-1=(4a) - 1 =(4a+1)(4a-1),解：2） 4x- mn =(2x) - (mn) =（2x+mn)(2x-mn),例2.把下列各式因式分解 ( x + z )- ( y + z ) 4( a + b) - 25(a - c) 4a - 4a (x + y + z) - (x y z ),注意点： 1.运用平方差公式分解因式的关键是要把分解的多项式看成两个数的平方差，尤其当系数是分数或小数时，要正确化为两数的平方差。 2.公式 a - b = (a+b)(a-b)中的字母 a , b可以是数，也可以是单项式或多项式，要注意“整体”“换元”思想的运用。 3.当要分解的多项式是两个多项式的平方时，分解成的两个因式要进行去括号化简，若有同类项，要进行合并，直至分解到不能再分解为止。 4.运用平方差分解因式，还给某些运算带来方便，故应善于运用此法，进行简便计算。 5.在因式分解时，若多项式中有公因式，应先提取公因式，再考虑运用平方差公式分解因式。,练习 1.下列多项式能否用平方差公式来分解因式?为什么? (1) x2+y2 ; (2) x2y2; (3) x2+y2; (4) x2y2.,2.分解因式: (1)a2 b2; (2)9a24b2; (3) x2y4y ; (4) a4 +16.,课堂练习：,1、(口答)把下列各式分解因式,(1) x2-4 (2) 9-y2 (3) 1-a2 (4) 4x2-y2,=(x+2)(x-2),=(3+y)(3-y),=(1+a)(1-a),=(2x+y)(2x-y),2、(口答)下列多项式能不能用平方差公式 来分解因式?如果不能，说明为什么？,(1)x2+y2 (2)x2-y2 (3)-x2+y2 (4)-x2-y2,3、把下列各式分解因式,(1) (2) 36-m2 (3) -9y2+4x2 (4) 0.81a2-16b2 (5) (2a+b)2-(a-2b)2 (6) x3-x,(7) 4a2-(b+c)2 (8) -x4+16,(9) (a+b-c)2-(a-b+c)2 (10) 16(a-b)2-9(a+b)2,平方差公式的应用题：,1、利用分解因式简便计算,(1) 652-642 (2) 5.42-4.62,(3) (4),解:652-642 =(65+64)(65-64) =1291 =129,解:5.42-4.62 =(5.4+4.6)(5.4-4.6) =100.8 =8,答案:5,答案:28,提高题：,2、已知 , ,求（a+b）2-(a-b)2的值。,解: (a+b)2-(a-b)2 =(a+b)+(a-b)(a+b)-(a-b) =2a2b =4ab 当 ， 时， 原式=4 =,3、求证:当n是整数时，两个连续奇数的平方差 (2n+1)2-(2n-1)2是8的倍数。,思维延伸 1. 观察下列各式: 3212=8=81; 5232=16=82; 7252=24=83; 把你发现的规律用含n的等式表示出来. 2. 对于任意的自然数n，(n+7)2 (n5)2能被24整除吗? 为什么?,课下思考题：,4、如图：在一块边长为a厘米的正方形纸板的 四角，各剪去一个边长为b(b )厘米的正方形， 利用因式分解计算当a=8,b=2时剩余部分的面积。,小结：1.具有的两式（或）两数平方差形式的多项式 可运用平方差公式分解因式。 2.公式a - b = (a+b)(a-b)中的字母 a , b可以是数， 也可以是单项式或多项式，应视具体情形灵活运用。 3.若多项式中有公因式，应先提取公因式，然后再 进一步分解因式。 4.分解因式要彻底。要注意每一个因式的形式要最简， 直到不能再分解为止。,
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