考研辅导 第二章 导数与微分

第一节 导数的概念,第二章    导数与微分,导数 :,记为,考研辅导,第二章,求分段函数在分段处的导数时,常,后面还要给出一种简便方法,常识：导函数的奇偶性与周期性,若f (x)为奇函数,则其导函数必为偶函数.,若f (x)为偶函数,则其导函数必为奇函数.,若f (x)以T为周期,则其导函数也 以T为周期.,已知平面光滑曲线,切线方程,法线方程,若平面光滑曲线方程为,故在点,切线方程,法线方程,在点,有,有,因,关于平面曲线的切（法）线问题!,平面光滑曲线F(x,y)=0在点 P0(x0,y0)处,切线方程,法线方程,光滑曲面 : F(x,y,z)=0在点 P0 (x0,y0,z0)处,法线方程:,切平面方程:,仅数学一要求,设非退化的实二次曲线C：,处的切线方程为：,在,即用,分别替换二次曲线方程中的,项.,（非退化是指行列式                          ),1、四则运算求导法则(略),第二节 函数的求导法则,3. 复合函数求导法则,4. 初等函数在定义区间内可导,且导数仍为初等函数,2、反函数的求导法则(略),复合函数求导法则可推广到多个中间变量的情形.,关键:   搞清复合函数结构, 由外向内逐层求导.,事实上，,求,因为      在x=0处不可导,求导法则不成立,所以在x=0处sinx与,乘积的,初等函数的求导问题利用公式和法则,=0.,例1.设,存在,求,解:,原式=,也可用泰勒展开,例2.,若,且,存在 , 求,解:,原式 =,联想到凑f(x)在x=1处导数的定义式,原式=,例3.设,在,处连续,且,求,解:,否则,或直接求出,在,的某邻域内有定义，则f ( x)在 x=a 处,可导充要条件是下列四个极限中的  存在.,设,D,(A),仅保证右导数存在,(B)(C),看函数,两极限均为零,但函数在x=a处不可导,(88年考研),同济P125 题3,在,的某邻域内有定义，且f (0)=0,则,f (x)在 x=0 处可导充要条件是下列四个极限中的      存在.,设,类似的问题,01年又考到   考研P28 二 3,不需要存在极限只要有界即可,原式=,原式=,看函数,上述极限为零,但函数在x=0处不可导,B,所以选则,当然在做本题时,显然B是正确的,其他选项不必考虑.,做P125 题3也是如此,只要知道选择项D是对的,其他选项不必考虑.,试确定常数 a , b 使 f (x) 处处可导,并求,解:,据题意得,即,例,(常有极限表示的函数),年考研有类似的题目,1,的不可导点的个数选择（，）,=,x,y,数列极限与函数极限的关系,两个不可导点,注意极限的求法!,若,在,且,则：,（）当时，,可导，,分段函数在分段点处的导数与导函数极限定理,在U(x0)内连续！,（）当时，,（）当、有一个不存在时，失效,证：,(导函数在x0处的左右极限),所以(1)(2)显然成立,(3)举反例如下,f(x)在x0处不可导;,所以，,在x=0处的可导性,首先在x=0处的连续,不存在,但此时，不能说明不可导,事实上,注. 导函数极限定理的条件是充分的；. 解选择题填空题是用之则非常方便,例5,所以，n=2,选(B),(A)；(B)；(C)；(D)（92选择）,不可导,存在的最高阶数为（）,例6,再看下面两个题目,(                             ).,(                                     ).,例7,看一看同济P87  17,18,不存在.,(                             ).,不可导,例9,解,分析:,不能用公式求导.,已知,求,(左右极限均为0),导函数的奇偶性、周期性,奇(偶)函数的导函数为偶(奇)函数；周期函数的导函数仍为周期函数,例10,函数,为周期T=5的 连续的函数，且满足,在x=1处可导，求曲线在(6, f(6)处的切线方程,解:,f(1)= f(6)=f(5+1)=0,(1)式两边取极限(x0)得, f(1)=0,再由(1)式得,0=,则切线方程:,(2000年数二),P126    14,2000考研,关于切线问题(几道考研题),曲线,在(,)处的切线交轴于点,（）,解：,斜率,切线方程,则,例11,例12,因为过原点所以,曲线,过原点作其切线，求此切线与曲线,及x 轴围成的平面图形绕所得旋转体的表面积(8分98）,解：,设切点为，则切线方程为,则切线方程为：,下面是定积分应用的问题，以后再谈,练习:求曲线y=lnx过(-1,0)点的切线.,例13,据题意：,曲线,与曲线,及,解：,设切点为,在某点相切，求此点,解得，,涉及到切线的题目是很多的,(1)曲线的凹凸性;,(2)过(-1,0)点引曲线的切线,求切点     坐标及切线方程;,(3)求切线、曲线、x轴围成的图形面积.,（2010又考）,例14,解,(95选择改),考研P2   3,所以    在 x=a 处可导的充要条件为：,可导的充要条件是(                        ),例15,所以不可导点为x=0与x=1,不可导点的个数为（）,(A) 3；(B) 2；(C) 1；(D) 0,可能的不可导点为,B,例16,(98年数一、数二)P2   1,但在x=1处可导,解:,例17.设,另解:,其中,两边对x求导得,一、高阶导数的概念,第三节  高阶导数,定义.,若函数,的导数,可导,或,即,或,类似地 , 二阶导数的导数称为三阶导数 ,阶导数的导数称为 n 阶导数 ,或,的二阶导数 ,记作,的导数为,依次类推 ,分别记作,则称,(四阶及以上的记法),二. 几个高阶导数公式（记住）,均可用数学归纳法证明,三、高阶导数的运算法则,都有 n 阶导数 , 则,(C为常数),莱布尼兹(Leibniz) 公式,（二项式定理）,它特别适用于u或v中有一个为多项式且次数不高的情况,用数学归纳法证明,例1,解,另解:,求,则,例2,解,另解:可利用莱布尼茨公式,但不如利用泰勒公式简单,求,所以,(x,x2的系数为零),(2000年数二),注:,见下页,例2,另解:,求,(2000年数二),时,例3. 求下列函数的 n 阶导数,解:,解:,(3),解:,解:,例4   (1) 设,则,解:,各项均含因子 ( x 2 ),(2) 已知,任意阶可导, 且,时,解:,则当,(90选择数一、二),例5.  设,求,解:,则,0,(下列做法对数二不要求),的系数:,例5.  设,求,另解:,则,0,的系数:,的系数:,=0,一、隐函数的导数,隐函数求导方法:,两边对 x 求导,(含导数    的方程),2.4   隐函数和由参数方程确定的           函数的导数  相关变化率,解出,F,F,y,x,1) 对幂指函数,可用对数求导法求导 :,说明:,注意:,2) 有些显函数用对数求导法求导很方便 .,例如,两边取对数,两边对 x 求导,又如,对 x 求导,(扩大了的范围),或x<1时,同理,当,1<x<2; 2<x<3;3<x<4; 40,存在X>0,当x>X时,直观上容易回答,时,函数单增很快.,所以,另外,前三个选项举反例很容易,所以选D.,例. f(x)在R+有界且可导，则,当f(+)=0时，必有,当f(0+)=0时，必有,当            存在时，必有,当             存在 时，必有,（02数二选择）,(反证,设                          ),(矛盾),直观上很容易回答,存在但不为零时,函数将无界.,(D) f(0)=1且,（06选择  数三）,例. f(x) 在x=0处连续，且                        则：,(A) f(0)=0,且,(B) f(0)=1,且,(C) f(0)=0,且,存在;,存在;,存在;,存在;,关于微分的问题,02年数一6分,例,函数f(x)在x=a处可微的充要条件:,即,f(x)具有一阶连续导数 , 且,当,求: a、b,解：,（）,（）式两边取极限得，,（）,（）,有（）两边除以h并取极限得,0=,0,即,(3),连立(2)(3)式得,另解:,并注意,所以,解得,否则,o(h),则f(0)与,的系数均为零,一阶泰勒公式,02年数二8分,例,具有二阶连续导数,且,证明:当,证法一：,（1）,使得,(1)a+ (2)b+ (3)c- f(0) 得,（2）,（3）,（4）,得,并注意到,而系数行列式D=20 (范德蒙行列式),所以有唯一解.,系数行列式,02年数二8分,例,具有二阶连续导数,且,证明:当,证法二: ()式两边取极限得,（1）,使得,()式两边除以h并取极限得,(),得，,（）,()式两边除以h 2并取极限得,(),(利用罗必塔法则),得，,（3）,注：若函数二阶可导则前面的运算存在错误,看一看在何处？,（下面解法同前面）,应按下面的做法,得，,（3）,显然不如证法一简便!,（看出利用泰勒公式的作用了吗?）,