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2019-2020年高考数学二轮复习专题1.5立体几何教学案理一考场传真1. 【xx课标1，理7】某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为A10B12C14D16【答案】B 2【xx课标II，理10】已知直三棱柱中，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）A B C D【答案】C【解析】如图所示，补成四棱柱 ,则所求角为 ，因此 ，故选C.3【xx课标II，理4】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为（ ）A B C D【答案】B 4【xx课标3，理8】已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为ABCD【答案】B【解析】绘制圆柱的轴截面如图所示，由题意可得：，结合勾股定理，底面半径，由圆柱的体积公式可得：圆柱的体积是，故选B.5【xx课标3，理16】a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：当直线AB与a成60角时，AB与b成30角；当直线AB与a成60角时，AB与b成60角；直线AB与a所成角的最小值为45；直线AB与a所成角的最小值为60.其中正确的是_.（填写所有正确结论的编号）【答案】 6【xx课标1，理16】如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5 cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D、E、F为圆O上的点，DBC，ECA，FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起DBC，ECA，FAB，使得D、E、F重合，得到三棱锥.当ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为_.【答案】 7【xx课标1，理18】如图，在四棱锥P-ABCD中，AB/CD，且.（1）证明：平面PAB平面PAD；（2）若PA=PD=AB=DC，求二面角A-PB-C的余弦值.【解析】（1）由已知，得ABAP，CDPD.由于ABCD ，故ABPD ，从而AB平面PAD.又AB 平面PAB，所以平面PAB平面PAD. （2）在平面内作，垂足为，由（1）可知，平面，故，可得 8【xx课标II，理19】如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等比三角形且垂直于底面ABCD， E是PD的中点.（1）证明：直线 平面PAB；（2）点M在棱PC 上，且直线BM与底面ABCD所成角为 ，求二面角的余弦值.又M在棱PC上，设,则 .由，解得 (舍去)，.所以，从而.设是平面ABM的法向量，则即所以可取.于是 ，因此二面角的余弦值为.9【xx课标3，理19】如图，四面体ABCD中，ABC是正三角形，ACD是直角三角形，ABD=CBD，AB=BD（1）证明：平面ACD平面ABC；（2）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角DAEC的余弦值. 二高考研究【考纲解读】1.考纲要求（一）立体几何初步（1）空间几何体认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等简易组合）的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型，会用斜二测法画出它们的直观图.会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式.会画某些建筑物的三视图与直观图（在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等不作严格要求）.了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）.（2）点、直线、平面之间的位置关系理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理：公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点在此平面内.公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行.定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补.以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定定理.理解以下判定定理：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行.如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面平行.如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直.如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直.理解以下性质定理，并能够证明：如果一条直线与一个平面平行，经过该直线的任一个平面与此平面相交，那么这条直线就和交线平行.如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线相互平行.垂直于同一个平面的两条直线平行.如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题.（二）空间向量与立体几何（1）空间向量及其运算了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直.（2）空间向量的应用理解直线的方向向量与平面的法向量.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系.能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角计算问题，了解向量方法在研究立体几何问题中的应用.（三）空间想象能力能根据条件做出正确的图形，根据图形想象出直观形象；能正确地分析出图形中的基本元素及其相互关系；能对图形进行分解、组合；会运用图形与图表等手段形象地揭示问题的本质.空间想象能力是对空间形式的观察、分析、抽象的能力，主要表现为识图、画图和对图形的想象能力，识图是指观察研究所给图形中几何元素之间的相互关系；画图是指将文字语言和符号语言转化为图形语言以及对图形添加辅助图形或对图形进行各种变换；对图形的想象主要包括有图想图和无图想图两种，是空间想象能力高层次的标志.2 命题规律(1) 空间几何体的三视图成为近几年高考的必考点，单独考查三视图的逐渐减少，主要考查由三视图求原几何体的面积、体积，主要以选择题、填空题的形式考查；该部分的命题通常围绕三个点展开第一点是围绕空间几何体的三视图，设计由空间几何体的三视图判断空间几何体的形状，由其中的一个或者两个视图判断另外的视图等问题，其目的是考查对三视图的理解和空间想象能力；第二点是围绕空间几何体的表面积和体积展开，设计根据已知的空间几何体求空间几何体的表面积或体积的问题，其中空间几何体一般以三视图的形式给出，目的是考查空间想象能力和基本的运算求解能力；第三点是围绕多面体和球展开，设计求多面体的外接球的表面积、体积或者计算球的内接多面体的相关元素等问题，目的是考查空间想象能力、逻辑推理能力和基本的运算求解能力（2）高考对空间点、线、面位置关系的考查主要有两种形式：一是对命题真假的判断，通常以选择题、填空题的形式考查，难度不大；二是在解答题中考查平行、垂直关系的证明、常以柱体、锥体为载体，难度中档偏难该部分的命题主要在三个点展开第一点是围绕空间点、直线、平面的位置关系展开，设计位置关系的判断、简单的角与距离计算等问题，目的是考查对该部分基础知识的掌握情况及空间想象能力；第二点是围绕空间平行关系和垂直关系的证明，设计通过具体的空间几何体证明其中的平行关系、垂直关系的问题，目的是考查运用空间位置关系的相关定理、推理论证的能力及空间想象能力；第三个点是围绕空间角与距离展开(特别是围绕空间角)，设计求解空间角的大小、根据空间角的大小求解其他几何元素等问题，目的是综合考查利用空间线面位置关系的知识综合解决问题的能力（3）求解立体几何问题是高考的必考内容，每套试卷必有立体几何解答题，一般设2问，前一问较简单，最后一问难度较大，而选用向量法可以降低解题难度该部分的命题非常单纯，就是围绕用空间向量解决立体几何问题设计试题，考查空间向量在证明空间位置关系、求解空间角和距离问题中的应用，考查空间向量在解决探索性问题中的应用，其目的是考查对立体几何中的向量方法的掌握程度，考查运算求解能力试题大多是解答题，而且以使用空间向量求解空间角为主3学法导航 1. 空间几何体的三视图是从空间几何体的正面、左面、上面用平行投影的方法得到的三个平面投影图，因此在分析空间几何体的三视图问题时，先根据俯视图确定几何体的底面，然后根据正(主)视图或侧(左)视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对应的棱、面的位置，再确定几何体的形状，即可得到结果在还原空间几何体实际形状时，一般是以正(主)视图和俯视图为主，结合侧(左)视图进行综合考虑2.求多面体的表面积的基本方法就是逐个计算各个面的面积，然后求和求简单几何体的体积时若所给的几何体为柱体、锥体或台体，则可直接利用公式求解；求组合体的体积时若所给定的几何体是组合体，不能直接利用公式求解，则常用转换法、分割法、补形法等进行求解；求以三视图为背景的几何体的体积时应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解3. 与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径球与旋转体的组合，通常作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心(或“切点”“接点”)作出截面图4. 解决空间点、线、面位置关系的组合判断题，主要是根据平面的基本性质、空间位置关系的各种情况，以及空间线面垂直、平行关系的判定定理和性质定理进行判断，必要时可以利用正方体、长方体、棱锥等几何模型辅助判断，同时要注意平面几何中的结论不能完全引用到立体几何中5垂直、平行关系的基础是线线垂直和线线平行，常用方法如下(1)证明线线平行常用的方法：一是利用平行公理，即证两直线同时和第三条直线平行；二是利用平行四边形进行平行转换；三是利用三角形的中位线定理证线线平行；四是利用线面平行、面面平行的性质定理进行平行转换(2)证明线线垂直常用的方法：利用等腰三角形底边中线即高线的性质；勾股定理；线面垂直的性质，即要证两线垂直，只需证明一线垂直于另一线所在的平面即可，l，ala.6折叠问题中不变的数量和位置关系是解题的突破口存在探索性问题可先假设存在，然后在此前提下进行逻辑推理，得出矛盾或肯定结论7利用向量法证明平行、垂直关系，关键是建立恰当的坐标系(尽可能利用垂直条件，准确写出相关点的坐标，进而用向量表示涉及到直线、平面的要素).向量证明的核心是利用向量的数量积或数乘向量，但向量证明仍然离不开立体几何定理的条件.8二面角的大小可以利用分别在两个半平面内与棱垂直的直线的方向向量的夹角(或其补角)或通过二面角的两个面的法向量的夹角求得，它等于两个法向量的夹角或其补角.利用向量法求二面角，必须能判定“所求二面角的平面角是锐角或钝角”，否则解法是不严谨的.一基础知识整合1三视图：(1)三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线画三视图的基本要求：正俯一样长，正侧一样高，俯侧一样宽，即“长对正，高平齐，宽相等”(2)三视图排列规则：俯视图放在正视图的下面，长度与正视图一样；侧视图放在正视图的右面，高度和正视图一样，宽度与俯视图一样(3)画三视图时，可见的轮廓线用实线画出，被遮挡的轮廓线，用虚线画出.2直观图：空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：（1）原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x轴、y轴的夹角为45o（或135o），z轴与x轴和y轴所在平面垂直；（2）原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行.平行于x轴和z轴的线段长度在直观图不变，平行于y轴的线段长度在直观图中减半.3.体积与表面积公式：柱体的体积公式：；锥体的体积公式：；台体的体积公式：；球体的体积公式：.球的表面积公式：.棱柱、棱锥及棱台的各个面的面积之和，即为其表面积.4.空间直线、平面之间的位置关系的判定与性质：空间直线、平面之间的位置关系：（1）位置关系的分类（2）直线和平面的位置关系位置关系直线a 在平面内直线a与平面相交直线a与平面平行公共点有无数个公共点有且只有一个公共点没有公共点符号表示图形表示（3）两个平面的位置关系位置关系图示表示法公共点个数两平面平行0两平面相交斜交有无数个公共点在一条直线上垂直有无数个公共点在一条直线上空间直线、平面之间的位置关系的判定与性质：（1）异面直线的判定：1、定义法（不易操作）2、反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两直线平行或相交，由假设的条件出发，经过严密的推理，导出矛盾，从而否定假设肯定两条直线异面.此法在异面直线的判定中经常用到.3、客观题中，也可用下述结论：过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线，如图：（2）直线与直线平行 直线和平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.（线面平行线线平行）面面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行.（面面平行线线平行）公理4：平行于同一直线的两条直线互相平行 直线和平面垂直的性质：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行.（3）直线与直线垂直定义法：如果两条异面直线所成的角是直角，那么这两条异面直线互相垂直.如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于平面内的任何一条直线.（线面垂直线线垂直）两条平行线，若一条垂直于第三条直线，则另一条也垂直于第三条直线.（4）直线与平面平行：判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.（线线平行线面平行），面面平行的定义：两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面.（面面平行线面平行）结论：平面外的两条平行直线，若其中一条平行于一个平面，则另一条必定也平行于这个平面.（5）直线与平面垂直：定义法：如果一条直线和一个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线和平面 互相垂直.判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.（线线垂直线面垂直）面面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面.（面面垂直线面垂直）直线和平面垂直的性质：两条平行直线，若其中一条垂直于一个平面，则另一条必定也垂直于这个平面.结论：一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面.（6）平面与平面平行：定义法：两个平面没有公共点，称两个平面平行.判定法：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.（线面平行面面平行），借助法：垂直于同一条直线的两个平面平行.（7）平面与平面垂直：定义法：若两个平面所成的二面角是直二面角，则称这两个平面垂直.判定法：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.（线面垂直面面垂直）5.空间的角与距离（1）异面直线的夹角：定义：对于异面直线a和b，在空间任取一点P，过P分别作a和b的平行线和，我们把和所成的锐角或者叫做异面直线a和b所成的角.范围：(0，90】（2）斜线与平面所成的角：定义：把直线l与其在平面上的射影所成的锐角叫做直线l和平面所成的角.直线和平面所成的角的范围【0，90】（3）二面角：定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.范围为【0，180】（4）点到直线距离和点到平面的距离点到直线的距离：直接作直线的垂线.求点P到平面内的直线a的距离：第一步：过P作交平面于点Q， 第二步：在内过Q作作 ，垂足为R；第三步：连结、，则即为点P到直线的距离.点到平面的距离：直接作平面的垂线； 要作垂线，先作垂面； 体积法（等积法）.6空间向量与立体几何（1）空间向量与平行关系直线的方向向量：直线的方向向量是指和这条直线平行或重合的向量，一条直线的方向向量有无数个平面的法向量：直线l，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面的法向量空间中平行关系的向量表示线线平行：设直线l，m的方向向量分别为a(a1，b1，c1)，b(a2，b2，c2)，且a2b2c20，则lm.线面平行：设直线l的方向向量为a(a1，b1，c1)，平面的法向量为u(a2，b2，c2)，则l.(3)面面平行设平面，的法向量分别为u(a1，b1，c1)，v(a2，b2，c2)，则空间向量与垂直关系空间垂直关系的向量表示空间中的垂直关系线线垂直线面垂直面面垂直设直线l的方向向量为a(a1，a2，a3)，直线m的方向向量为b(b1，b2，b3)，则lm_设直线l的方向向量是a(a1，b1，c1)，平面的法向量u(a2，b2，c2)，则l若平面的法向量u(a1，b1，c1)，平面的法向量为v(a2，b2，c2)，则空间中垂直关系的证明方法线线垂直线面垂直面面垂直证明两直线的方向向量的数量积为0证明直线的方向向量与平面的法向量是共线向量证明两个平面的法向量垂直证明两直线所成角为直角.证明直线与平面内的相交直线垂直.证明二面角的平面角为直角._.1月20日 星期五空间向量与空间角空间中的角角的分类向量求法范围异面直线所成的角设两异面直线所成的角为，它们的方向向量为a，b，则cos 直线与平面所成的角设直线l与平面所成的角为，l的方向向量为a，平面的法向量为n，则sin 二面角设二面角l的平面角为，平面、的法向量为n1，n2，则|cos |0，二高频考点突破考点1 ： 空间几何体的三视图、表面积、体积【例1】我国古代数学名著九章算术中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器-商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：寸），若取3，其体积为12.6（立方寸），则图中的为_分析：以三视图为载体考查几何体的体积,解题的关键是根据三视图想象还原几何体的形状构成,并从三视图发现几何中各元素间的位置关系及数量关系,然后在直观图中求解.在求几何体的体积时,若给定的几何体是规则柱体,锥体或台体,可直接利用公式求解.若所给的几何体的体积不能直接利用公式得出,常用转换法,分割法,补形法等求解.【答案】 【例2】一块边长为的正方形铁皮按如图（1）所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，将该容器按如图（2）放置，若其正视图为等腰直角三角形，则该容器的体积为（ ）A B C D分析：(1)解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件构建几何模型，在几何模型中进行判断；(2)解决本类题目的技巧：三棱柱、四棱柱、三棱锥、四棱锥是常用的几何模型，有些问题可以利用它们举特例解决或者学会利用反例对概念类的命题进行辨析【答案】D【规律方法】1、画三视图的基本原则是：长对正，宽相等，高平齐.在做题时也要根据这个原则来画直观图.要根据这个原则来验证所画直观图是否正确.2、三视图问题关键是搞清楚三视图中的每条轮廓线代表的意义，三视图中给出的尺寸在几何体中对应哪些线段的尺寸，三视图中的角度在几何体对应的角度是多少.尤其要注意图中的直角，这是一个很重要的信息.必须结合三视图弄清几何体的直观图的构成，根据三视图的信息确定直观图中相关的量，然后才能进行相关计算.3、求几何体体积问题，可以多角度、多方位地考虑问题在求三棱锥体积的过程中，等体积转化法是常用的方法，转换底面的原则是使其高易求，常把底面放在已知几何体的某一面上4、求不规则几何体的体积，常用分割或补形的思想，将不规则几何体变为规则几何体，易于求解【举一反三】【xx黑龙江齐齐哈尔八中三模】如图，网格纸上小正方形的边长为，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】A考点2 ： 球与多面体【例3】已知正四棱锥的底面边长为，体积为，则此棱锥的内切球与外接球的半径之比为（ ）A.1:2 B.4:5 C.1:3 D.2:5分析:本题考查的是正四棱锥的内切球与外接球的半径的计算的综合运用问题,解答时先准确的画出示意图,搞清该几何体的内切球与外接球的半径所在的几何图形,再运用所学知识进行求解.求解时先借助体积公式构建含四棱锥高的方程,求出,再依据图形建立方程和,求出与,使得问题获解.【答案】D【例4】已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，为球的直径，若该三棱锥的体积为，则球的表面积为（ ）A B C D【分析】本题主要考查了球与棱锥的组合体问题、棱锥的体积和球的体积表面积等基础知识，考查考生的空间想象能力和计算能力，属于中档题.解答本题的关键是根据棱锥的体积公式求出点到平面的距离，再由球的截面性质求出球的半径，解答时要注意根据判断截面圆的直径，最后根据球的表面积公式得到答案.【答案】A【解析】设棱锥的高为，因为,所以，所以，因此点到平面的距离为，外接圆的直径为，所以,所以球的表面积为，故选A.【规律方法】1、涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点或线作截面，把空间问题化归为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系2、求与球有关的“切”或者“接”球半径时，往往用到的方法有构造法或者直接确定球心3、球体中常常用到以下结论：设球的半径为，球的截面圆的半径为，则球心到截面的距离为4、求三棱锥的体积要注意如何选取底面和顶点.因为三棱锥的每一个面都可以作为底面，每一个顶点都可以作为顶点.【举一反三】【xx河北衡水武邑中学三调】在九章算术中,将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑(bie nao).已知在鳖臑中, 平面, ,则该鳖臑的外接球与内切球的表面积之和为_【答案】考点3 ：线面位置关系的命题真假判断【例5】设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，给出下列四个命题：若，则；若，则；若，则；若，则其中真命题的个数是（ ）A1 B2 C3 D4分析：本题主要考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的位置关系,属于易错题. 易错的地方: 对于,要注意除了结论外另一种特殊情况:. 其余三个都是正确的.本题综合性强,方法灵活,考查了学生的空间想象能力,要注意直线、平面之间的判定定理和性质定理以及课本例题结论的应用.【答案】C【解析】对于,假设，因为,所以,又,所以,而,所以,正确；对于,若，则或,故错误；对于,若，则,又,所以在平面内一定存在一条直线,使,而,所以,则,正确；对于,由面面平行的判定定理,可以判断出是正确的.故真命题有个.选C.【规律方法】解决空间点、线、面位置关系的组合判断题，主要是根据平面的基本性质、空间位置关系的各种情况，以及空间线面垂直、平行关系的判定定理和性质定理进行判断，必要时可以利用正方体、长方体、棱锥等几何模型辅助判断，同时要注意平面几何中的结论不能完全移植到立体几何中【举一反三】【xx广东德清中学一模】设，是两个不同的平面，l是一条直线，给出下列说法：若l，则l； 若l，则l；若l，则l ； 若l，则l.其中说法正确的个数为()A. 3 B. 2 C. 1 D. 0【答案】C考点4 ：空间中的线、面位置关系的判定与性质 【例6】如图，四棱锥的底面为矩形，底面，分别为的中点，.（1）求证：平面；（2）求证：.分析：（1）欲证平面，只要在平面内找到一条直线与平行即可，记中点为，连接，通过构造平行四边形，证之即可；（2）欲证，只要证平面即可，由已知可知，在平面内，通过三角形相似证即可证明平面.【例7】在多面体中，四边形与是边长均为的正方形，四边形是直角梯形，且（1）求证：平面平面；（2）若，求四棱锥的体积分析：（1）证明面面垂直，一般利用面面垂直判定定理，即从线面垂直出发给予证明，而线面垂直的证明往往利用线面垂直判定定理给予证明，即从线线垂直出发给予证明，而线线垂直，往往需要从两方面进行寻找与论证，一是结合平几知识，本题利用勾股定理证得，二是利用线面垂直性质定理，即先由线线垂直得线面垂直平面，而，则平面，因此可得，最后根据线面垂直判定定理得平面，（2）求四棱锥的体积，关键是求高，而高的寻找依赖于线面垂直：过作于，则易证过作，即为高，最后根据体积公式得体积【规律方法】1、证明线面垂直，就考虑证明直线垂直平面内的两条相交直线；而证明异面的线线垂直，很多题都要通过线面垂直来证明；对相交直线垂直的证明，一般考虑用平面几何里的方法.常见的有以下几种，若是等腰三角形，则底边上的中线与底边垂直；若是锥形、菱形（正方形），则对角线互相垂直；若是矩形，则邻边互相垂直；有时还用到以下结论：如下图，在矩形中，若，则；若告诉了线段的长度，或者是告诉了边与边之间的关系，则用勾股定理2线面、线线垂直与平行的位置关系在面面平行与垂直位置关系的证明中起着承上启下的桥梁作用，依据线面、面面位置关系的判定定理与性质定理进行转化是解决这类问题的关键证明面面平行主要依据判定定理，证明面面垂直时，关键是从现有直线中找一条直线与其中一个平面垂直，若图中不存在这样的直线应借助添加中线、高线等方法解决【举一反三】【xx河南中原名校质检】如图，四边形是平行四边形，平面平面， ， ， 为的中点.（1）求证： 平面；（2）求证：平面平面. 考点5： 空间距离和角【例8】有共同底边的等边三角形和所在平面互相垂直，则异面直线和所成角的余弦值为_【答案】【解析】过B作BE平行CD，过D作DE平行CB,两直线交于E点，则为异面直线和所成角的补角，设等边三角形边长为1，则由面面垂直可得,由余弦定理得，所以异面直线和所成角的余弦值为【例9】如图，在三棱锥中，已知三角形和三角形所在平面互相垂直，则直线与平面所角的大小是（ ）A B C D【答案】B 【规律方法】1、异面直线所成的角，通过作平行线，转化为相交直线所成的角.具体地，有以下两种方法：一是在其中一条上的适当位置选一点，过该点作另一条的平行线；二是在空间适当位置选一点，过该点作两条异面直线的平行线.求异面直线所成的角，点的选取很重要.2、直线与平面所成的角就是直线与其在该平面内的射影所成的角.求线面角的关键是找出斜线在平面内的射影，一般在斜线上的某个特殊的位置找一点，过该点平面的垂线，从而作出射影；3、作二面角的平面角，有以下两种方法，一是在棱上适当位置取一点，过该点分别在两个面内作棱的垂线；二是通过作棱的垂面来作.二面角是理科数学的重点考查内容，必须予以高度重视.4、求点到平面的距离除直接作出面的垂线外，常常用到等体积法.5、求空间的角与距离，总的原则是转化到同一平面内在三角形中进行求解.【举一反三】【广东省深圳市xx届11月考】如图,在正方体中,棱长为1, 分别为与的中点, 到平面的距离为A. B. C. D. 【答案】D考点6 ：折叠问题【例10】如图1 ，正方形的边长为分别是和的中点，是正方形的对角线与的交点，是正方形两对角线的交点，现沿将折起到的位置，使得，连结（如图2）（1）求证：；（2）求三棱锥的高分析：（1）首先由中位线定理及已知条件推出平面，然后由线面垂直的性质定理平面，从而可使问题得证；（2）分别把和当做底面求出棱锥的体积，由此列出方程求解即可 【规律方法】(1)解决折叠问题的关键是搞清翻折前后哪些位置关系和数量关系改变，哪些不变，抓住翻折前后不变的量，充分利用原平面图形的信息是解决问题的突破口(2)把平面图形翻折后，经过恰当连线就能得到三棱锥、四棱锥，从而把问题转化到我们熟悉的几何体中解决【举一反三】【xx湖北重点高中联考】如图（1）所示，已知四边形是由和直角梯形拼接而成的，其中.且点为线段的中点， ， .现将沿进行翻折，使得二面角的大小为90，得到图形如图（2）所示，连接，点分别在线段上. （）证明： ；（）若三棱锥的体积为四棱锥体积的，求点到平面的距离.考点7 ：立体几何的探索性问题【例11】在四棱锥中，底面是正方形，侧面底面，且，分别为的中点.（1）求证：平面；（2）在线段上是否存在点，使得二面角的余弦值为，若存在，请求出点的位置；若不存在，请说明理由.分析：（1）根据题意可连接，与相交于点，易证，根据线面平行的判定定理即可证得平面；（2）取的中点，连接，可证得平面，以为原点，分别以射线和为轴，轴和轴建立空间直角坐标系，不妨设，分别求出平面和平面的法向量，根据二面角的求法得到的方程，求出其值，若满足，则存在，否则不存在. 【规律方法】解决探究某些点或线的存在性问题，一般方法是先研究特殊点(中点、三等分点等)、特殊位置(平行或垂直)，再证明其符合要求，一般来说是与平行有关的探索性问题常常寻找三角形的中位线或平行四边形对于是否存在问题，首先要分析条件，看结论需要的条件已有哪些，分析欲使结论成立，还需要什么条件，结合所求，不难作出辅助线【举一反三】【四省名校xx届第一次大联考】直角三角形中， ， ， ， 是的中点， 是线段上一个动点，且，如图所示，沿将翻折至，使得平面平面.（1）当时，证明： 平面；（2）是否存在，使得与平面所成的角的正弦值是？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.（2）以为原点， 所在直线为轴， 所在直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系.则， ， ， ，由（1）知是中点， ，而平面平面.平面，则.假设存在满足题意的，则由.可得，则.设平面的一个法向量为，则即令，可得， ，即.与平面所成的角的正弦值.解得（舍去）.综上，存在，使得与平面所成的角的正弦值为.考点8 ：利用空间向量求角与距离问题【例12】如图，在三棱柱中，为的重心，.（1）求证：平面；（2）若侧面底面，求直线与平面所成角的正弦值.分析：（1） 连接，并延长，交于点，过作，交于点，分别连接,只要证明所以平面平面，由面面平行的性质可证平面；（2）由题意先证明侧面底面，由面面垂直的性质可证平面，所以可以为原点，分别以为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，求出平面的法向量以及直线的方向向量，由空间向量夹角公式求之即可. 【例13】在直三棱柱中，是 的中点，是的中点（1）求证：平面 ；（2）求点到平面的距离；（3）求二面角的平面角的余弦值大小【解析】（1）如图所示，取中点，连结，又，四边形为平行四边形，又平面，平面，平面【规律方法】1、运用空间向量坐标运算求空间角的一般步骤：建立恰当的空间直角坐标系；求出相关点的坐标；写出向量坐标；结合公式进行论证、计算；转化为几何结论2.建立空间直角坐标系时，一定要注意三轴是否两两互相垂直（有的学生斜线也拿来作为轴）；3.证线线垂直，只需它们的方向向量的数量积为0即可；4两异面直线所成的角不一定是直线的方向向量的夹角；两平面的法向量的夹角与二面角相等或互补；直线的方向向量与平面的法向量的夹角与线面角的余角相等或互补 5.用向量求二面角有以下两种方法，一是过棱上的点（不一定是同一个点）分别在两个面内作垂直于棱的向量，然后求这两个向量的夹角，二是求两个面的法向量的夹角；6.直线与平面所成的角的正弦等于直线与平面的法向量的夹角的余弦的绝对值.7用空间向量求点到平面的距离的方法步骤是：(1)求出平面的法向量n；(2)任取一条过该点的该平面的一条斜线段，求出其向量坐标n1；(3)求点到平面的距离d.【举一反三】如图，菱形中，与相交于点，平面，.（1）求证：平面；（2）当直线与平面所成角的大小为时，求的长度.（2）以为原点，以所在直线分别为轴，轴，以过点且平行于的直线为轴建立空间直角坐标系.则.设，则，设平面的法向量为，则即令，得， ， 直线与平面所成角的大小为，解得或（舍），.1. 如图所示，小正方形的边长为，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A B C D 【答案】C 押题依据求空间几何体的表面积或体积是立体几何的重要内容之一，也是高考命题的热点此类题常以三视图为载体，给出几何体的特征，求几何体的表面积或体积2. 如图，在三棱锥中，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）A B C D 【答案】A 押题依据求空间几何体的体积是立体几何的重要内容之一，也是高考的热点问题之一，主要是求柱体、锥体、球体或简单组合体的体积本题通过球的内接圆柱，来考查球与椎体的体积计算，设问角度新颖，值得关注3. 直三棱柱中，底面是正三角形，三棱柱的高为，若是中心，且三棱柱的体积为，则与平面所成的角大小是（ ）A. B. C. D. 【答案】C押题依据求线面角是立体几何的重要内容之一，也是高考的热点问题之一4如图，在四边形中，.现沿对角线折起，使得平面平面，且三棱锥的体积为，此时点，在同一个球面上，则该球的体积是（ ）A B C D【答案】A 押题依据以平面图形的翻折为背景，探索空间直角与平面位置关系的考题创新性强，可以考查考生的空间想象能力和逻辑推理能力，预计将成为今年高考的命题形式5在如图所示的几何体中，平面平面，四边形是菱形，四边形是矩形，是的中点()求证：平面；(II)在线段上是否存在点，使二面角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由【解析】()连结BD，因为四边形是菱形，是的中点，所以， 因为四边形是矩形，平面平面且交线为，所以平面，又平面，所以，又，所以平面 zyxNMDCEBA押题依据空间向量是高考考试的重点，探索性命题也是高考常考题型，此类题创新性强，可以考查考生的空间想象能力和逻辑推理能力
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