2019-2020年高考数学二轮复习 专题3 三角函数 第2讲 解三角形 文.doc

2019-2020年高考数学二轮复习 专题3 三角函数 第2讲 解三角形 文 正、余弦定理及其简单应用1.(xx辽宁沈阳一模)在ABC中,若=3,b2-a2=ac,则cos B的值为(B)(A)(B)(C)(D)解析:由正弦定理及=3可得c=3a,代入b2-a2=ac可得b2=a2,所以cos B=.故选B.2.(xx大连市高三一模)已知ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a2=b2+c2-bc,bc=4,则ABC的面积为(C)(A)(B)1(C) (D)2解析:由a2=b2+c2-bc得bc=b2+c2-a2,所以cos A=.又A(0,),所以A=.所以SABC=bcsin A=4sin =.故选C.3.(xx河南省郑州市第二次质量预测)已知a,b,c分别为ABC三个内角A,B,C的对边,且(b-c)(sin B+sin C)=(a-c)sin A,则角B的大小为(A)(A)30(B)45(C)60(D)120解析:由正弦定理及条件等式可得(b-c)(b+c)=(a-c)a所以a2+c2-b2=ac.所以cos B=.又B(0,180),所以B=30.故选A.4.(xx河南三市第三次调研)ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且asin Bcos C+csin Bcos A=b,则B=.解析:由asin Bcos C+csin Bcos A=b及正弦定理得,sin Asin Bcos C+sin Csin Bcos A=sin B.因为sin B0,所以sin Acos C+cos Asin C=.即sin(A+C)=,所以sin B=sin-(A+C)=sin (A+C)=.所以B=或.答案:或 三角恒等变换与解三角形的综合5.在ABC中,A,B,C的对边分别为a,b,c,若acos C,bcos B,ccos A成等差数列,则B等于(C)(A)(B)(C)(D)解析:因为acos C,bcos B,ccos A成等差数列,所以acos C+ccos A=2bcos B,根据正弦定理可得sin Acos C+sin Ccos A=2sin Bcos B,即sin (A+C)=2sin Bcos B,又A+B+C=,所以sin B=2sin Bcos B,又sin B0,所以cos B=,又B(0,),所以B=,故选C.6.在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,S表示ABC的面积,若acos B+bcos A=csin C,S=(b2+c2-a2),则B等于(B)(A)30(B)45(C)60(D)90解析:根据正弦定理得sin Acos B+sin Bcos A=sin2C,即sin (A+B)=sin C=sin2C,因为sin C0,所以sin C=1,即C=90.由S=(b2+c2-a2),得bcsin A=(b2+c2-a2),即sin A=cos A,即tan A=1,又A(0,180),所以A=45,所以B=45.故选B.7.(xx东北三校第一次联合模拟)已知ABC的面积为2,且满足04,设和的夹角为.(1)求的取值范围;(2)求函数f()=2sin2(+)-cos 2的取值范围.解:(1)设ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,则由已知bcsin =2,0bccos 4,可得tan 1,所以,).(2)f()=2sin2(+)-cos 2=1-cos(+2)-cos 2=1+sin 2-cos 2=2sin(2-)+1.因为,),所以2-,),所以22sin(2-)+13.即当=时,f()max=3;当=时,f()min=2,所以所求函数的取值范围是2,3. 正、余弦定理的实际应用8.(xx吉林模拟)一船向正北航行,看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上,继续航行半小时后,看见一灯塔在船的南偏西45,另一灯塔在船的南偏西75,则这艘船的速度是每小时(D)(A)5海里 (B)5(-1)海里(C)10海里(D)10(-1)海里解析:如图所示, 依题意有BAC=45,BAD=75,所以CAD=30,CDA=15,在ACD中,由正弦定理得=20,则AC=20sin 15=5(-),在直角三角形ABC中,得AB=ACsin 45=5(-1),于是这艘船的速度是=10(-1)(海里/小时).故选D.9.已知甲船正在大海上航行,当它位于A处时获知,在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救,甲船立即以10海里/小时的速度匀速前往救援,同时把消息告知在甲船的南偏西30,相距10海里C处的乙船,乙船当即也决定匀速前往救援,并且与甲船同时到达.(1)试问乙船航行速度的大小;(2)试问乙船航行的方向(试用方位角表示,结果精确到1).解:(1)设C与B的距离为x海里,所用时间为=2(小时),则x2=AC2+AB2-2ABACcos 120=102+202+22010=700,所以x=10.v乙=5(海里/小时),所以乙船航行速度为5海里/小时.(2)设ACB=,则=,=,则sin =,得41,所以乙船应朝北偏东71的方向沿直线前往B处救援. 一、选择题1.(xx湖南卷)在锐角ABC中,角A,B所对的边长分别为a,b.若2asin B=b,则角A等于(D)(A)(B)(C)(D)解析:根据正弦定理,2sin Asin B=sin B,所以sin A=,又ABC为锐角三角形,所以A=.故选D.2.(xx广东卷)设ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=2,c=2,cos A=且bc,则b等于(C)(A)3(B)2 (C)2(D)解析:由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,即4=b2+12-6bb2-6b+8=0(b-2)(b-4)=0,由bB,则BD等于(B)(A)2或4(B)1或3(C)3或2(D)4或1解析:在ABC中,由正弦定理,得sin B=,所以B=45或B=135,又BACB,所以B=45.因为AD=,则在ABD中,由余弦定理得AD2=AB2+BD2-2ABBDcos 45,即5=8+BD2-22BDcos 45,解得BD=1或BD=3.故选B.10.设ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a2+b2=mc2(m为常数),若tan C(tan A+tan B)=2tan Atan B,则m的值为(A)(A)2(B)4(C)7(D)8解析:因为tan C(tan A+tan B)=2tan Atan B,所以=tan C.即=.所以sin Asin Bcos C=sin Csin (A+B)=sin2 C.由正弦定理,上式可化为abcos C=c2,由余弦定理知,cos C=.由得,a2+b2=2c2.因为a2+b2=mc2,所以m=2.选A.二、填空题11.(xx北京卷)在ABC中,a=3,b=,A=,则B=.解析:由正弦定理=,得=sin B=,因为ab,所以B=.答案:12.(xx宁夏石嘴山高三联考)已知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos C=,且sin C=sin B,则ABC的内角A=.解析:因为cos C=,所以整理得a2+c2=b2.所以B=.所以sin B=1.又由sin C=sin B可得sin C=,所以C=.所以A=.答案:13.(xx广东卷)在ABC中,角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,已知bcos C+ccos B=2b,则=.解析:根据正弦定理得a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C,代入已知式子中,可得sin Bcos C+sin Ccos B=2sin B,即sin A=2sin B,由此可知a=2b,即=2.答案:214.(xx湖北卷)如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30的方向上,行驶600 m后到达B处,测得此山顶在西偏北75的方向上,仰角为30,则此山的高度CD=m.解析:在ABC中,BAC=30,BCA=75-30=45,所以由正弦定理得,BC=AB=600=600=300.在BCD中,CD=BCtan 30=300=100.故此山的高度为100 m.答案:100 正、余弦定理的简单应用训练提示: 利用正、余弦定理解三角形的关键是正确判断边角关系,合理选择正、余弦定理,实现边角互化,注意题目中的隐含条件,如A+B+C=,大边对大角等.同时注意方程思想的应用.1.(xx郑州市第三次质量预测)在ABC中,a,b,c分别为A,B,C所对的边,且a=2csin A.(1)求角C;(2)若c=,且ABC的面积为,求a+b.解:(1)因为a=2csin A,所以由正弦定理得sin A=2sin Csin A.所以sin C=.因为0C180,所以C=60或120.(2)因为SABC=absin C=,所以ab=6.若C=60,由余弦定理c2=a2+b2-2abcos C可得a+b=5,若C=120,可得a2+b2=1,无解.综上,a+b=5.2.在ABC中,=.(1)证明:B=C;(2)若cos A=-,求sin(4B+)的值.(1)证明:在ABC中,由正弦定理及已知得=,于是sin Bcos C-cos Bsin C=0,即sin(B-C)=0.因为-B-C,从而B-C=0,所以B=C.(2)解:由A+B+C=和(1)得A=-2B,故cos 2B=-cos(-2B)=-cos A=.又02B,于是sin 2B=.从而sin 4B=2sin 2Bcos 2B=,cos 4B=cos22B-sin22B=-.所以sin(4B+)=sin 4Bcos +cos 4Bsin =. 三角恒等变换与解三角形的综合训练提示:解三角形与三角函数、恒等变换、向量等的综合问题,一般是以向量、边角关系式为载体.其解题思路是由向量、边角关系建立三角函数关系式或三角恒等式.结合正、余弦定理进行边角互化求解.注意角的范围在求值中的限制作用.3.(xx黑龙江高三模拟)ABC中内角A,B,C的对边分别为a,b,c向量m=(2sin B,-),n=(cos 2B,2cos2-1)且mn.(1)求锐角B的大小;(2)如果b=2,求ABC的面积S的最大值.解:(1)因为mn,所以2sin B(2cos2-1)=-cos 2B.所以sin 2B=-cos 2B,即tan 2B=-.又因为B为锐角,所以2B(0,).所以2B=,所以B=.(2)因为B=,b=2,所以由余弦定理得cos B=,即a2+c2-ac-4=0,又因为a2+c22ac,代入上式得ac4(当且仅当a=c=2时等号成立),SABC=acsin B=ac(当且仅当a=c=2时等号成立).即ABC面积的最大值为.4.(xx天津卷)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知ABC的面积为3,b-c=2,cos A=-.(1)求a和sin C的值;(2)求cos的值.解:(1)在ABC中,由cos A=-,可得sin A=,由SABC=bcsin A=3,得bc=24,又由b-c=2,解得b=6,c=4.由a2=b2+c2-2bccos A,可得a=8.由=,得sin C=.(2)cos(2A+)=cos 2Acos -sin 2Asin =(2cos2A-1)-2sin Acos A=. 正、余弦定理的实际应用训练提示:利用正、余弦定理解决实际问题的关键是将实际问题转化为数学模型,即转化为三角形中解决.注意基线的选取,基线所在的三角形往往是解决问题的突破口.5.(xx厦门模拟)某度假区依山修建了高山滑雪场.为了适应不同人群的需要,从山上A处到山脚滑雪服务区P处修建了滑雪赛道A-C-P和滑雪练习道A-E-P(如图).已知cosACP=-,cosAPC=,cosAPE=,公路AP长为10(单位:百米),滑道EP长为6(单位:百米). (1)求滑道CP的长度;(2)由于C,E处是事故的高发区,为及时处理事故,度假区计划在公路AP上找一处D,修建连接道DC,DE.问DP多长时,才能使连接道DC+DE最短,最短为多少百米?解:(1)因为cosACP=-,cosAPC=,所以sinACP=,sinAPC=.sinPAC=sin(APC+ACP)=sinAPCcosACP+sinACPcosAPC=,由=,得CP=5.所以滑道CP的长度是5百米.(2)设DP=x,x0,10.因为EP=6,CP=5,cosAPC=,cosAPE=,所以DE=.DC=,所以DE+DC=+令f(x)=DE+DC=+=+,当且仅当x=4时,f(x)min=f(4)=3+2.所以当DP为4百米时,DE+DC最短,为(3+2)百米.