2019-2020年高中数学第一章基本初等函数II1.2任意角的三角函数例题与探究新人教B版必修.doc

2019-2020年高中数学第一章基本初等函数II1.2任意角的三角函数例题与探究新人教B版必修典题精讲例1 已知角的终边经过点P(3，4)，求角的六个三角函数值；思路分析:本题考查三角函数的定义.分别写出x,y,r的值，应用定义求得.解:由题意知x=3，y=4，得r=5.sin=，cos=，tan=，cot=，sec=，csc=.绿色通道:如果已知角的终边上的点求三角函数值，通常应用三角函数的定义求解.变式训练 1 若角的终边与直线y=3x重合且sin0，又P(m，n)是角终边上一点，且|OP|=，则m-n等于( )A.2 B.-2 C.4 D.-4思路解析:因为sin0，所以角的终边在第三或第四象限或y轴的负半轴上.y=3x经过第一象限和第三象限，所以角的终边在第三象限.可得m0，n0.又因为P(m，n)在直线y=3x上，所以满足n=3m；同时|OP|=10，可得m2+n2=10.解方程组得或(舍去).所以m-n=-1-(-3)=2.答案:A变式训练 2 已知角的终边经过点P(3，4t)，且sin(-)=-，则t=_.思路解析:应用三角函数的定义求解.由题意得t0,sin=，所以有=-,解方程得t=-.答案:-变式训练 3 已知角的终边经过点P(3t，4t)，t0，求角的六个三角函数值.思路分析:应用三角函数的定义.解:由x=3t，y=4t，得r=5|t|. 当t0时，r=5t. 因此sin=，cos=，tan=，cot=，sec=，csc=； 当t0时，r=-5t. 因此sin=-，cos=-，tan=-，cot=-，sec=-，csc=-.例2 已知cos=，且角是第四象限角，求sin和tan.思路分析:本题考查同角三角函数基本关系式和三角函数值的符号.是第四象限角，于是可利用平方关系式求出sin，进而利用商数关系式求出tan.解:cos=，且是第四象限角，sin=-=-=-.tan=-.绿色通道:已知某角的弦函数值求其他三角函数值时，先利用sin2+cos2=1求出另一弦函数值，再利用tan=求出切函数值.变式训练 1 已知sin(+)=-，那么cos的值为( )A. B. C. D.思路解析:由已知得sin=，所以cos=.答案:D变式训练 2 已知tan=2，求sin和cos的值.思路分析:应用方程的思想，列方程组求得.解:由题意得 解之，得 或sin=变式训练 3 已知0，2)，而sin、cos是关于x的方程x2-kx+k+1=0的两实数根，求k和的值.思路分析:利用一元二次方程根与系数的关系，得到sin、cos与k的关系式，再结合平方关系式，就可建立k的方程，求出k之后再计算的值.解:由题意得=k2-4(k+1)0，解得k2-或k2+.sin、cos是方程x2-kx+k+1=0的两实数根，(sin+cos)2=1+2sincos，k2=1+2(k+1)，即k2-2k-3=0.k=-1或k=3(舍去). 解方程组 得或0，2)，=或=.例3 (xx河南新乡第四次调研卷，文2)已知tan=2，则的值为( )A. B. C.3 D.5思路解析:考查同角三角函数基本关系式的应用.tan=2，cos0.=3.答案:C绿色通道:(1)已知tan=m，求关于sin、cos的齐次式之值的问题，需注意以下几点：解决此类问题的策略是先化简再求值(用tan来表示)；一定是关于sin、cos的齐次式(或能化为齐次式)的三角函数式；因为cos0，可用cosn(nN*)去除原式分子、分母的各项，这样可以将原式化为关于tan的表达式，再整体代入tan=m的值，从而完成求值任务；(2)形如或的分式，分子、分母同时除以cos、cos2，将正、余弦转化为正切，从而求值.(3)同角三角函数基本关系式的应用：化简三角函数式.黑色陷阱:如果先求出sin和cos的值，那么运算量会很大，问题就会变得很烦琐.变式训练 1 (xx河南新乡第四次调研卷，理2)已知tan=，则cos-sin的值为( )A.- B. C. D.思路解析:求出的值，即可得解.tan=，=.cos-sin=cos-sin=.答案:C变式训练 2 已知tan=3，求sin2+4sincos-2cos2的值.思路分析:先化简再求值.解:原式= =.例4 若sintan0，则在( )A.第一、二象限 B.第一、三象限C.第一、四象限 D.第二、三象限思路解析:考查三角函数值的符号.思路1：sintan0，sin0，tan0或sin0，tan0.当sin0，tan0时，在第二象限；当sin0，tan0时，在第三象限.综上可知在第二、三象限.思路2：sintan00cos0，在第二、三象限.答案:D绿色通道:已知同角的某两个三角函数积或商的符号，可通过分类讨论来确定此角所在的象限；还可以把已知两个三角函数积或商的符号化归为此角的另一个三角函数值的符号后，再判断此角所在的象限.此种类型的题目要用三角函数值的符号来解决.变式训练 1 (xx江苏徐州一模，2)若是第一或第四象限角,则有( )A.0 B.0C.0 D.0思路解析:考查三角函数值的符号.思路1：当在第一象限时，sin0，cos0，tan0，排除A、D；当在第四象限时，sin0，cos0，tan0，排除C；思路2：是第一或第四象限角，cos0，sin的符号不确定.又=cos，=，仅有0.答案:B变式训练 2 已知点P(tan，cos)在第三象限，则|tan|等于( )A.tan B.-tan C.tan D.思路解析:由于点P在第三象限，则tan0,cos0，所以的终边在第二象限，则在第一、三象限，|tan|=tan.答案:A问题探究问题1 三角函数式的化简与证明是三角部分的重要问题，那么三角函数式的化简与证明有哪些常用方法？导思:探究思路是明确什么是三角函数式的化简与证明.探究:三角函数式的化简是将三角函数式尽量化为最简单的形式，其基本要求：尽量减少角的种数，尽量减少三角函数的种数，尽量化同角、化同名角等.三角函数式的化简实质上是一种不指定答案的恒等变形，体现了由繁到简的最基本的数学解题原则.它不仅要求熟悉和灵活运用所学的三角公式，还需要熟悉和灵活运用这些公式的等价形式.同时，这类问题还具有较强的综合性，对其他非三角知识的运用也具有较高的要求，因此在平常学习时要注意经验的积累.而三角函数的证明是证明等式两边相等，它是一种指定答案的恒等变形，与三角函数式的化简相比要简单一些. 化简三角函数式时，在题设的要求下，应合理利用有关公式，常见的化简方法：异次化同次、高次化低次、切化弦、化和差为乘积、化乘积为和差、特殊角三角函数与特殊值互化等. 证明三角恒等式就是通过转化和消去等式两边差异来促成统一的过程，证明的方法在形式上显得较为灵活，常用的有以下几种：(1)直接法：从不等式的一边开始直接化为等式的另一边，常从比较复杂、繁杂的一边开始化简到另一边，其依据是相等关系的传递性；(2)综合法：由一个已知成立的等式(如公式等)恒等变形得到所要证明的等式,其依据是等价转化的思想；(3)中间量法：证明等式左右两边都等于同一个式子.其依据是等于同一个量的两个量相等，即“a=c,b=c，则a=b”，它可由等量关系的传递性及对称性推出；(4)分析法：即从结论出发，逐步推向已知条件.其证明过程的书写格式为“要证明，只需”，只要所需的条件都已经具备，则结论就成立. 例如：求证=. 证法一：(分析法) 要证明原等式成立，只需coscos=(1+sin)(1-sin)成立， 即cos2=1-sin2,sin2+cos2=1, 上式显然成立，故原等式成立. 证法二：(综合法)sin2+cos2=1，cos2=1-sin2.coscos=(1+sin)(1-sin).=. 证法三：(直接法) 左边=右边.原等式成立. 证法四：(中间量法) 左边=, 右边=.左边=右边，原等式成立. 三角恒等式的证明的关键是选择适当的证明方法，而三角函数式的化简的关键是选择适当的变形手段.问题2 sin+cos,sin-cos,sincos之间有什么关系？导思:这三个三角函数式都含有sin和cos，因此探究思路是从sin和cos的关系式sin2+cos2=1开始讨论.探究:sin2+cos2=1，sin2+2sincos+cos2=1+2sincos.(sin+cos)2=1+2sincos. 同理，可得(sin-cos)2=1-2sincos.(sin+cos)2+(sin-cos)2=2，sincos=(sin+cos)2-=-(sin-cos)2.sin+cos,sin-cos,sincos“知一求二”，也就是已知这三个三角函数式中任意一个式子的值，就能求其他两个三角函数式的值.这些关系式的应用非常广泛，是高考的热点之一，应引起我们的重视. 例如：已知sin+cos=，(0,)，求sin2-cos2的值.思路分析:由sin+cos的值求出sin-cos的值，从而求得sin2-cos2的值.解:sin+cos=，sincos=(sin+cos)2-=-=-0.sin和cos的符号相反.又(0，)，(,).sin0,cos0.sin-cos0.sin-cos=.sin2-cos2=(sin+cos)(sin-cos)=. 又如：已知sincos=，且，则cos-sin的值是_.思路解析:利用三角函数线可得：当时，cossin，则cos-sin=-.答案:-