2019-2020年高考数学大一轮复习 高考大题专项练4 文.doc

2019-2020年高考数学大一轮复习 高考大题专项练4 文1.(xx福建质检)如图,三棱柱ABC-A1B1C1的底面是正三角形,AA1底面ABC,M为A1B1的中点.(1)求证:B1C平面AMC1;(2)若BB1=5,且沿侧棱BB1展开三棱柱的侧面,得到的侧面展开图的对角线长为13,求三棱锥B1-AMC1的体积.2.如图,在四棱台ABCD-A1B1C1D1中,D1D平面ABCD,底面ABCD是平行四边形,AB=2AD,AD=A1B1,BAD=60.(1)证明:AA1BD;(2)证明:CC1平面A1BD.3.(xx江西,文19)如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1BC,A1BBB1.(1)求证:A1CCC1;(2)若AB=2,AC=,BC=,问AA1为何值时,三棱柱ABC-A1B1C1体积最大,并求此最大值.4.如图所示,在RtABC中,AC=6,BC=3,ABC=90,CD为ACB的平分线,点E在线段AC上,CE=4.如图所示,将BCD沿CD折起,使得平面BCD平面ACD,连接AB,BE,设点F是AB的中点.图图(1)求证:DE平面BCD;(2)若EF平面BDG,其中G为直线AC与平面BDG的交点,求三棱锥B-DEG的体积.5.如图,在三棱锥P-ABC中,PB底面ABC,BCA=90,PB=BC=CA=4,E为PC的中点,M为AB的中点,点F在PA上,且AF=2FP.(1)求证:CM平面BEF;(2)求证:BE平面PAC;(3)求三棱锥B-PAE的体积.6.(xx重庆,文20)如图,四棱锥P-ABCD中,底面是以O为中心的菱形,PO底面ABCD,AB=2,BAD=,M为BC上一点,且BM=.(1)证明:BC平面POM;(2)若MPAP,求四棱锥P-ABMO的体积.答案：1.(1)证明:如图,连接A1C,交AC1于点O,连接OM.三棱柱ABC-A1B1C1的侧面是矩形,O为A1C的中点.又M为A1B1的中点,OMB1C.又OM平面AMC1,B1C平面AMC1,B1C平面AMC1.(2)解:三棱柱侧面展开图是矩形,且对角线长为13,侧棱BB1=5,三棱柱底面周长为=12.又三棱柱的底面是正三角形,A1C1=4,B1M=2,C1M=2.B1MC1M=22=2,AA1=25=,即三棱锥B1-AMC1的体积为.2.证明:(1)方法一:因为D1D平面ABCD,且BD平面ABCD,所以D1DBD.又因为AB=2AD,BAD=60,在ABD中,由余弦定理得BD2=AD2+AB2-2ADABcos 60=3AD2,所以AD2+BD2=AB2.所以ADBD.又ADD1D=D,所以BD平面ADD1A1.又AA1平面ADD1A1,故AA1BD.方法二:因为D1D平面ABCD,且BD平面ABCD,所以BDD1D.如图,取AB的中点G,连接DG,在ABD中,由AB=2AD,得AG=AD.又BAD=60,所以ADG为等边三角形.因此GD=GB,故DBG=GDB.因为AGD=60,所以GDB=30.故ADB=ADG+GDB=60+30=90,所以BDAD.又ADD1D=D,所以BD平面ADD1A1.又AA1平面ADD1A1,故AA1BD.(2)如图,连接AC,A1C1,设ACBD=E,连接EA1.因为四边形ABCD为平行四边形,所以EC=AC.由棱台定义及AB=2AD=2A1B1知A1C1EC且A1C1=EC,所以四边形A1ECC1为平行四边形,所以CC1A1E.又EA1平面A1BD,CC1平面A1BD,所以CC1平面A1BD.3.(1)证明:由AA1BC知BB1BC,又BB1A1B,故BB1平面BCA1,即BB1A1C,又BB1CC1,所以A1CCC1.(2)解法一:设AA1=x,在RtA1BB1中,A1B=,同理,A1C=.在A1BC中,cosBA1C=-,sinBA1C=,所以A1BA1CsinBA1C=.从而三棱柱ABC-A1B1C1的体积V=AA1=.因x=,故当x=时,即AA1=时,体积V取到最大值.解法二:过A1作BC的垂线,垂足为D,连接AD.由AA1BC,A1DBC,故BC平面AA1D,BCAD.又BAC=90,所以SABC=ADBC=ABAC得AD=.设AA1=x,在RtAA1D中,A1D=,A1DBC=.从而三棱柱ABC-A1B1C1的体积V=AA1=.因x=,故当x=时,即AA1=时,体积V取到最大值.4.(1)证明:AC=6,BC=3,ABC=90,ACB=60.CD为ACB的平分线,BCD=ACD=30.CD=2.CE=4,DCE=30,DE2=CE2+CD2-2CECDcos 30=4.DE=2,则CD2+DE2=EC2.CDE=90,DEDC.又平面BCD平面ACD,平面BCD平面ACD=CD,DE平面ACD,DE平面BCD.(2)解:EF平面BDG,EF平面ABC,平面ABC平面BDG=BG,EFBG.点E在线段AC上,CE=4,点F是AB的中点,AE=EG=CG=2.如图,作BHCD于H.平面BCD平面ACD,BH平面ACD.由条件得BH=,SDEG=SACD=ACCDsin 30=,三棱锥B-DEG的体积V=SDEGBH=.5.(1)证明:取AF的中点G,连接CG,GM,因为E为PC中点,FA=2FP,所以EFCG.又CG平面BEF,EF平面BEF,所以CG平面BEF.同理可证:GM平面BEF.又CGGM=G,所以平面CMG平面BEF.因为CM平面CMG,所以CM平面BEF.(2)证明:因为PB底面ABC,且AC底面ABC,所以PBAC.由BCA=90,得ACCB.又因为PBCB=B,所以AC平面PBC.因为BE平面PBC,所以ACBE.因为PB=BC,E为PC中点,所以BEPC.因为PCAC=C,所以BE平面PAC.(3)解:由(2)可知BE平面PAC,AC平面PBC,PC=4.又由已知可得BE=2.因为PE=PC=2,所以SAPE=SPAC=ACPC=4.所以VB-PAE=SPAEBE=.故三棱锥B-PAE的体积为.6.(1)证明:如图,因ABCD为菱形,O为菱形中心,连接OB,则AOOB.因BAD=,故OB=ABsinOAB=2sin=1,又因BM=,且OBM=,在OBM中,OM2=OB2+BM2-2OBBMcosOBM=12+-21cos.所以OB2=OM 2+BM 2,故OMBM.又PO底面ABCD,所以POBC.从而BC与平面POM内两条相交直线OM,PO都垂直,所以BC平面POM.(2)解:由(1)可得,OA=ABcosOAB=2cos.设PO=a,由PO底面ABCD知,POA为直角三角形,故PA2=PO2+OA2=a2+3.由POM也是直角三角形,故PM2=PO2+OM2= a2+.连接AM,在ABM中,AM2=AB2+BM2-2ABBMcosABM=22+-22cos.由已知MPAP,故APM为直角三角形,则PA2+PM2=AM2,即a2+3+a2+,得a=,a=-(舍去),即PO=.此时SABMO=SAOB+SOMB=AOOB+BMOM=1+.所以四棱锥P-ABMO的体积VP-ABMO=SABMOPO=.