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2019-2020年高考数学一轮复习第九章解析几何课时达标检测四十一双曲线文对点练(一)双曲线的定义和标准方程1若实数k满足0k9,则曲线1与曲线1的()A离心率相等B虚半轴长相等C实半轴长相等D焦距相等解析:选D由0k0,b0)的右焦点为F,点B是虚轴的一个端点,线段BF与双曲线C的右支交于点A,若2,且|4,则双曲线C的方程为()A.1B.1C.1D.1解析:选D不妨设B(0,b),由2,F(c,0),可得A,代入双曲线C的方程可得1,即,又|4,c2a2b2,a22b216,由可得,a24,b26,双曲线C的方程为1,故选D.5设双曲线1的左、右焦点分别为F1,F2,过点F1的直线l交双曲线左支于A,B两点,则|BF2|AF2|的最小值为()A.B11 C12D16解析:选B由题意,得所以|BF2|AF2|8|AF1|BF1|8|AB|,显然,当AB垂直于x轴时其长度最短,|AB|min23,故(|BF2|AF2|)min11.6(xx河北武邑中学月考)实轴长为2,虚轴长为4的双曲线的标准方程为_解析:2a2,2b4.当焦点在x轴时,双曲线的标准方程为x21;当焦点在y轴时,双曲线的标准方程为y21.答案:x21或y217设F1,F2分别是双曲线x21的左、右焦点,A是双曲线上在第一象限内的点,若|AF2|2且F1AF245,延长AF2交双曲线右支于点B,则F1AB的面积等于_解析:由题意可得|AF2|2,|AF1|4,则|AB|AF2|BF2|2|BF2|BF1|.又F1AF245,所以ABF1是以AF1为斜边的等腰直角三角形,则|AB|BF1|2,所以其面积为224.答案:4对点练(二)双曲线的几何性质1(xx广州模拟)已知双曲线C:1(a0,b0)的渐近线方程为y2x,则双曲线C的离心率为()A.B. C.D.解析:选B依题意知2,双曲线C的离心率e .故选B.2(xx安徽黄山模拟)若圆(x3)2y21上只有一点到双曲线1(a0,b0)的一条渐近线的距离为1,则该双曲线的离心率为()A.B.C.D.解析:选A不妨取渐近线为bxay0,由题意得圆心到渐近线bxay0的距离d2,化简得bc,b2c2,c2a2,e,故选A.3(xx湖北四地七校联考)双曲线1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1,F2,直线l经过点F1及虚轴的一个端点,且点F2到直线l的距离等于实半轴的长,则双曲线的离心率为()A.B.C. D. 解析:选D设虚轴的一个端点为B,则SF1BF2b2ca,即b2ca,4c2(c2a2)a2(a22c2),4e46e210,解得e2,e(舍负)故选D.4设双曲线1(a0,b0)的右焦点是F,左、右顶点分别是A1,A2,过F作A1A2的垂线与双曲线交于B, C两点若A1BA2C,则该双曲线的渐近线的斜率为()AB C1D解析:选C由题设易知A1(a,0),A2(a,0),B,C.A1BA2C,1,整理得ab.渐近线方程为yx,即yx,渐近线的斜率为1.5(xx江西五市部分学校联考)已知双曲线1(a0,b0)的一个焦点为(1,0),若双曲线上存在点P,使得P到y轴与到x轴的距离的比值为2,则实数a的取值范围为()A.B.C.D.解析:选D法一:由双曲线的焦点为(1,0),可知c1.由双曲线上存在点P,使得P到y轴与到x轴的距离的比值为2,可知,所以8b2a2,即8(1a2)a2,所以0aa2,可知8b2a2,即8(1a2)a2,所以0a0,b0)的两个焦点,若在双曲线上存在点P满足2|,则双曲线C的离心率的取值范围是()A(1,B(1,2C,)D2,)解析:选D设O为坐标原点,由2|,得4|2c(2c为双曲线的焦距),|c,又由双曲线的性质可得|a,于是ac,e2.故选D.7过双曲线1(a0,b0)的左焦点F1作斜率为1的直线,该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为A,B,若,则双曲线的渐近线方程为_解析:由得x,由解得x,不妨设xA,xB,由可得c,整理得b3a.所以双曲线的渐近线方程为3xy0.答案:3xy08(xx安徽池州模拟)已知椭圆1的右焦点F到双曲线E:1(a0,b0)的渐近线的距离小于,则双曲线E的离心率的取值范围是_解析:椭圆1的右焦点F为(2,0),不妨取双曲线E:1(a0,b0)的一条渐近线为bxay0,则焦点F到渐近线bxay0的距离d,即有2bc,4b23c2,4(c2a2)3c2,e1,1e0,b0)的右焦点为F(c,0)(1)若双曲线的一条渐近线方程为yx且c2,求双曲线的方程;(2)以原点O为圆心,c为半径作圆,该圆与双曲线在第一象限的交点为A,过A作圆的切线,斜率为,求双曲线的离心率解:(1)因为双曲线的渐近线方程为yx,所以ab,所以c2a2b22a24,所以a2b22,所以双曲线方程为1.(2)设点A的坐标为(x0,y0),所以直线AO的斜率满足()1,所以x0y0,依题意,圆的方程为x2y2c2,将代入圆的方程得3yyc2,即y0c,所以x0c,所以点A的坐标为,代入双曲线方程得1,即b2c2a2c2a2b2,又因为a2b2c2,所以将b2c2a2代入式,整理得c42a2c2a40,所以348240,所以(3e22)(e22)0,因为e1,所以e,所以双曲线的离心率为.3已知椭圆C1的方程为y21,双曲线C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点,而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点,O为坐标原点(1)求双曲线C2的方程;(2)若直线l:ykx与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B,且2,求k的取值范围解:(1)设双曲线C2的方程为1(a0,b0),则a2413,c24,再由a2b2c2,得b21,故双曲线C2的方程为y21.(2)将ykx代入y21,得(13k2)x26kx90.由直线l与双曲线C2交于不同的两点,得k21且k2.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x2,x1x2.x1x2y1y2x1x2(kx1)(kx2)(k21)x1x2k(x1x2)2.又2,即x1x2y1y22,2,即0,解得k23.由得k21,故k的取值范围为.
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